Trasformazioni Geometriche Si chiama trasformazione geometrica piana una corrispondenza biunivoca che associa punti di un piano a punti dello stesso piano. (endofunzione) Se in una trasformazione l’immagine di un punto P coincide con il punto P stesso esso è un punto unito L’ identità è la trasformazione che associa a ogni punto del piano se stesso.

Isometrie Una trasformazione geometrica si chiama isometria quando, comunque si scelgano due punti A e B del piano, se A’ e B’ sono i loro corrispondenti, il segmento A’B’ risulta congruente al segmento AB. Proprietà In un isometria f, a una retta corrisponde una retta L’isometria conserva il parallelismo e l’incidenza delle rette L’isometria conserva l’ampiezza dell’angolo

Un po’ di storia ... Fin dai tempi più antichi l’uomo ha osservato le caratteristiche della natura provando a comprenderne regole e segreti. Lo studio dell’organizzazione corporea degli animali e delle piante ha addirittura indotto qualche studioso a proporre una classificazione degli organismi in base alla simmetria, anche se oggi si è compreso che pur esistendo una correlazione fra forma, tipo di simmetria, movimento e modalità di vita, la simmetria non costituisce un parametro sufficiente per la classificazione degli organismi!

Felix Klein Nel 1872 il matematico Felix Klein (1849-1925), divenuto professore ad Erlangen, descriveva la geometria euclidea del piano come lo studio delle proprietà delle figure che restano invariate rispetto ad un certo gruppo di trasformazioni.

Le Isometrie si dividono in: Traslazioni Simmetrie centrali Simmetrie assiali rotazioni

Traslazioni Siano A e B due punti del piano e dato un vettore v, siano A’ e B’ i rispettivi corrispondenti in Tr: Dimostriamo che i segmenti A’B’ e AB sono congruenti Ipotesi: A’= Tr (A); B’= Tr (B) Tesi: A’B’= AB Osserviamo che è AA’//BB’ perche entrambi paralleli a v. Uniamo B con A’ e consideriamo i triangoli ABA’ e A’BB’: essi sono congruenti per il primo criterio di congruenza, avendo AA’= BB’, per ipotesi l’angolo AA’B = ABB’ perche angoli alterni interni delle rette parallele AA’ e BB’ tagliate da BA’, e hanno BA’ in comune . Perciò risulta AB=A’B’ c.v.d. A A’ B B’ v

Simmetrie Centrali Si dice simmetria centrale la trasformazione che fa corrispondere a un punto del piano il suo simmetrico rispetto a un punto dato O, detto centro della simmetria Le simmetrie centrali sono isometrie perche sussiste il seguente teorema In una simmetria centrale sO a due punti corrispondono due punti aventi la stessa distanza Ipotesi: A’= sO (A); B’= sO (B) Tesi: A’B’ = AB Sia sO la simmetria centrale di centro O che fa corrispondere ad A il punto A’ e a B il punto B’. Si ha AO=OA’ e BO=OB’ , per definizione di simmetria, e l’angolo AOB=A’OB’ , perche angoli opposti al vertice. I triangoli AOB e A’OB’ sono quindi congruenti per il primo criterio di congruenza: ne deriva che A’B’ e AB sono congruenti c.v.d. B O A A’ B’

Simmetrie Assiali La simmetria assiale è la trasformazione che associa a un punto del piano il suo simmetrico rispetto a una retta fissa,detta asse di simmetria . Dimostriamo che la simmetria assiale è un’isometria. Siano A e B due punti del piano e A’ e B’ i rispettivi simmetrici rispetto alla retta a dimostriamo che A’B’=AB cioè la simmetria assiale conserva le distanze Ipotesi: A’=sa(A); B’=sa(B); Tesi: A’B’=AB; Supponiamo ora che né A e né B appartengono all’asse; detti H e K i punti di intersezione con l’asse di simmetria rispettivamente di AA’ e BB’,i triangoli rettangoli AHK e A’HK sono congruenti perché hanno due cateti congruenti e hanno quindi l’angolo AKH=HKA’ e AK=A’K. I triangoli AKB e A’KB’ sono anch’essi congruenti per il primo criterio di congruenza avendo BK=KB’ ,AK=A’K e l’angolo AKB=A’KB’ perché complementari di angoli congruenti si deduce così che A’B’=AB c.v.d. A H A’ B’ K a B

Rotazioni La rotazione di centro O e angolo α è la trasformazione che associa ad ogni punto A il punto A’ tale che OA=OA’ e l’angolo AOA’ è uguale a α Dimostriamo che la rotazione è un’isometria Ipotesi: A’=rO (A); B’=rO(B); Tesi: A’B’= AB; Se A e B non sono allineati con P, possono presentarsi due casi: l’angolo AOB> α; (fig.1) l’angolo AOB< α; (fig.2) In entrambi i casi i triangoli AOB e A’OB’ sono congruenti per il primo criterio di congruenza dei triangoli avendo OA=OA’, OB=OB’ e l’angolo AOB=A’OB’ perché somma di angoli congruenti se è l’angolo AOB > α, oppure differenza di angoli congruenti se è l’angolo AOB< α. Perciò sarà A’B’=AB, il che ci assicura che questa rotazione è un isometria. c.v.d. B α A O A’ B’ (fig.2) α O A B B’ A’ (fig.1)

Simmetrie nell’ arte

Esempi Reali traslazione Simmetria assiale rotazione Simmetria centrale

FINE Con la partecipazione di: Gentile Marcovalerio Patanè Samuel