1 Seminario Gestire il rischio e la vulnerabilità Cagliari, 22/23 giugno 2005 Sistemi Complessi, probabilità dei beta e bolla speculativa

2 MERCATI FINANZIARI, PROBABILITA DEI BETA E BOLLA SPECULATIVA Lanalisi qui condotta costituisce la continuazione di precedenti seminari in cui si è discusso: Sono emerse nuove classi di fenomeni e nuove grandezze. Sono emerse nuove classi di fenomeni e nuove grandezze. Di particolare rilievo sembrano essere le seguenti: Di particolare rilievo sembrano essere le seguenti: delle connessioni tra moto browniano, meccanica statistica e CAPM. delle connessioni tra moto browniano, meccanica statistica e CAPM. dellequazione di stato dei mercati finanziari; dellequazione di stato dei mercati finanziari; b) il volume di contenimento del rischio del mercato b) il volume di contenimento del rischio del mercato a) lenergia del mercato finanziario c) la formula di previsione del prezzo

3 ALCUNE DELLE RELAZIONI NOTEVOLI TROVATE Le relazioni notevoli trovate sono in sostanza le seguenti (mercato ed aspettative omogenee): [1] dove indica la tolleranza al rischio per linvestitore ad aspettative omogenee.

4 indice di Sharpe su un mercato ad efficienza forte; [2] [3] premio per il rischio totale; lindice di Sharpe su un mercato ad efficienza forte moltiplicato per dà il premio per il rischio totale del titolo. [4]

5 [5] Lindice di Sharpe nelle stesse condizioni è pari al premio per il rischio totale del titolo diviso per. [6] Equazione di stato con K = capitalizzazione di borsa e. [7] Energia del sistema dove è il volume di contenimento del rischio

6 I MOVIMENTI DEI PREZZI I movimenti dei prezzi di singoli titoli e/o di portafogli simulano un moto browniano ed originano processi di deriva che possono utilmente essere studiati. Ci si propone di interpretare il grado di entropia del sistema indagando la sua struttura interna e ricercando i suoi macrostati più probabili. In questa ricerca si è deciso di prendere in considerazione il comportamento degli operatori nella logica della CML e della SML (si applica il CAPM). La teoria tradizionale suppone una distribuzione normale dei tassi di rendimento.

7 Al fine di condurre unanalisi secondo la statistica di Boltzmann, occorre conoscere: Ciò significa che intendono acquisire un plusvalore di mercato (VAN). Ma ciò può accadere solo in presenza di extrarendimenti rispetto ai tassi attesi coerenti con il rischio. Si suppone che gli operatori soddisfino le proprie funzioni di utilità pretendendo dai gestori di fondi dei benchmark di rendimenti coerenti con il rischio operativo e finanziario dei titoli. b) quali titoli sono negoziati nel mercato a) la forma, i caratteri ed i costituenti della CML e della SML

8 Lanalisi verrà condotta sul portafoglio di mercato. Le relazioni base per tale portafoglio sono: [6] [7] [8a][8b]

9 Allinterno del portafoglio di mercato accade dove ogni [13] [9] [10] [11] [12]

10 Ad esempio, un titolo che ha = 0,70 può nel portafoglio essere espresso come È importante sottolineare che ogni titolo J che si colloca lungo la SML può essere espresso come combinazione lineare tra D e M e perciò come un portafoglio. 0,70 0,70 1 = 0,70 con = 0 e 1 risulta

11 In generale con dipendente dai caratteri dellinvestimento. e cioè >1 borrowing < 1lending = 1investimento solo in M [15] Perciò si ha che con = 1 = 0 [14]

12 Immaginiamo applicato il principio del two-fund separation: in luogo di considerare investimenti in singoli titoli o portafogli, considereremo il corrispondente investimento sulla CML e sulla SML, dato il profilo di rischio prescelto Fissato il beta (profilo di rischio), si decide linvestimento sulla SML. Tutti i titoli sono equivalenti in termini di trade off rischio rendimento. Immaginiamo linvestimento alla stregua di una combinazione lineare di D e M. E come investire in un fondo comune dinvestimento guardando le quote del fondo e non i titoli sottostanti.

13 La statistica di Boltzmann potrebbe aiutare nellinterpretazione del grado di stabilità del mercato (elemento significativo per i giudizi di efficienza). Ogni titolo diversificato interno al portafoglio di mercato è caratterizzato da una funzione di energia e partecipa al processo di contenimento del rischio. Individuata lenergia di base del mercato studiato, si procede allanalisi della suddivisione dello stesso in livelli di energia. Il numero dei titoli non è rilevante. Attraverso il processo di diversificazione i titoli hanno dato vita allequazione di stato del mercato.

14 Nella pratica di gestione del risparmio i livelli energetici possono corrispondere a benchmark elaborati dai gestori dei fondi. Il modello si attiva attraverso la costruzione dei vari livelli di energia da parte dei gestori dei fondi con mix appropriati di titoli capaci di interpretare i desideri dei risparmiatori. Sulla base di informazioni pubbliche e private i gestori ricercano un rendimento coerente col profilo di rischio e auspicabilmente un extrarendimento. Che cosa ignora il gestore di fondi? a) Il grado di preferenza dei risparmiatori verso i fondi con un dato beta: si sa che a ogni beta corrisponde un dato profilo di rischio, ma non si conosce la proporzione con cui i risparmiatori si indirizzeranno verso quei beta.

15 b) come il sistema riesca nel suo insieme a percepire i possibili livelli di energia costruibili e perciò quale copertura di popolazione ciascuno di essi possa ricevere. Si tratta cioè di costruire una distribuzione dei titoli in funzione del grado di energia. Per quanto il portafoglio di mercato esprima le proporzioni di ciascun titolo date dal rapporto tra valore di mercato del titolo e capitalizzazione di borsa può rivelarsi utile chiarire il posizionamento più probabile di quel portafoglio in termini di livelli di energia

16 Nel caso specifico il contenitore è quello del rischio di mercato dato da. Il raggiungimento dellenergia di sistema implica che gli operatori, con le loro negoziazioni, riempiranno dapprima i livelli di energia più bassi. Si deve riflettere in merito ai processi di arbitraggio che dunque, saturato un livello di energia, porterebbero alloccupazione di un livello successivo. Dal punto di vista del mercato ogni risparmiatore tenderà a scegliere coerenti con il proprio livello di rischio e con le prospettive di extrarendimento.

17 La proiezione verso livelli energetici molto alti potrebbe costituire un elemento, talora sorprendente, del comportamento di alcuni risparmiatori, ma dovrebbe essere suffragato dallaspettativa di ingenti rendimenti. Mano a mano che detto processo si svolge, si attiva il meccanismo dei prezzi, prende forma e contenuto, da una parte, la capitalizzazione, dallaltra loccupazione di strati energetici più alti. Il fenomeno finanziario si compone, quindi, delle scelte dei soggetti più prudenti evolvendo via via verso quelle compiute da soggetti più propensi a correre dei rischi in relazione allenergia di cui i titoli nei quali si investe sono portatori.

18 La statistica di Boltzmann, al termine del processo, deve consentire di verificare quali macrostati hanno suscitato maggiore osservazione e interesse da parte degli operatori, cosa dimostrata dalla molteplicità dei microstati che in ciascun macrostato hanno avuto manifestazione. Si presume che i macrostati più frequentati siano i più probabili, per cui tutti i macrostati possono essere ordinati dai più probabili ai meno probabili.

19 Dovendo chiarire la nuova informazione, essa può dirsi definita dalla conoscenza della frequenza con cui gli operatori si collocheranno negli intervalli energetici. Mentre con il CAPM si stabilisce quali sono le classi di rischio e quale è il rendimento minimo coerente per ogni livello di rischio, ora si perviene alla conoscenza della distribuzione dei titoli entro ideali classi energetiche. Per quanto gli operatori possano scegliere titoli compresi in un intervallo non si era in grado di identificare sulla S.M.L. i punti maggiormente popolati. Con lapplicazione della statistica in oggetto il mondo dei riceve una misura di probabilità.

20 Il tentativo è quello di esprimere, dato il portafoglio di mercato il più probabile e più frequentato dagli investitori. Ciò si stima analizzando i livelli energetici come sopra descritto. Sul piano operativo, data lenergia unitaria di qualunque mercato, che dallo studio macroscopico risulta pari a 3, si possono seguire i due procedimenti sotto descritti: 1. si distribuisce il solo valore 3 proporzionalmente alle sole frazioni di investimento che compongono il mercato. In generale: [16] [17]

21 Tutti i titoli della capitalizzazione sono incasellati in comparti di energia ε la cui applicazione mette in evidenza i cluster dei titoli. I titoli della capitalizzazione vengono così ordinati per livelli energetici che sotto molti aspetti somigliano a dei portafogli con un beta medio risultante. Il più rilevante vantaggio dellimpostazione descritta consiste nellaiutare il gestore a ragionare, nel costruire i portafogli in termini di livelli di energia. Dopo lanalisi egli può introdurre nel portafoglio ogni titolo che è utile ai fini del raggruppamento dei prescelti livelli di energia. Non si dimentichi che tutti i titoli della SML pur essendo distinguibili sono tutti equivalenti in termini di trade off rischio/rendimento.

22 Un gestore potrebbe in questo modo organizzare un fondo. Nel medesimo macrostato passando a un livello successivo di energia, si individua un altro cluster caratterizzato da unenergia semiforte per il quale è possibile calcolare il beta. Si procede analogamente per i successivi livelli energetici occupati dai titoli restanti. Ad esempio, dato il macrostato iniziale, nasce un portafoglio a energia debole costituito dai titoli che occupano il primo strato energetico il cui beta totale è dato da [23]

23 num_macro = 2 W = num_micro = 55 Ni = macrostato = % Numero di particelle N=10; % Unità energetica base e0=1; % Livelli energetici e=e0*[ ]; % Energia massima del microstato en=12*e0; % Numero di livelli energetici q=length(e); Primo esempio

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25 % Numero di particelle N=10; % Unità energetica base e0=1; % Livelli energetici e=e0*[ ]; % Energia massima del microstato en=18*e0; Secondo esempio

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27 num_macro = 8 W = num_micro = 7225 Ni = macrostato = Terzo esempio

28 % Numero di particelle N=10; % Unità energetica base e0=1; % Livelli energetici e=e0*[ ]; % Energia massima del microstato en=12*e0; num_macro = 5 W =

29 num_micro = 3750 Ni = >> macrostato macrostato =

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31 Lobiettivo di un gestore è certo quello di sviluppare il consenso dei risparmiatori. In questa operazione potrebbe essere agevolato dallinterpretazione statistica appena trattata che gli fornirebbe alcune preziose informazioni: 1. individuazione del macrostato a molteplicità più elevata e perciò più probabile su cui orientare la costruzione dei portafogli; 2. determinazione della propensione dei risparmiatori a collocarsi su dati livelli di energia (costruzione della funzione di distribuzione coinvolgente tutti i livelli).

32 Un rilevante vantaggio dellimpostazione descritta consiste nellaiutare il gestore a ragionare, nel costruire i portafogli, in termini di livelli di energia. In sostanza i livelli di energia diventano il risultato notevole cui intende pervenire. Questi livelli sviluppano uninformazione aggiuntiva rispetto ai Beta. Anche se una volta condotta lanalisi il gestore perdesse la consapevolezza dei singoli titoli entrati in ciascun livello di energia egli può pur sempre introdurre nei nuovi portafogli ogni titolo che sia utile ai fini del raggiungimento dei livelli di energia del macrostato prescelto (può farlo in quanto si conosce il grado di energia afferente a ciascun titolo del portafoglio di mercato). Non si dimentichi che tutti i titoli della SML pur essendo distinguibili sono tutti equivalenti in termini di trade off rischio/rendimento.

33 Elaborazioni realizzate sulla bolla speculativa Il 10 marzo 2000, lindice Nasdaq raggiunse il prezzo di chiusura di 5.048,62. A marzo del 1997 lo stesso indice chiudeva a 1322,72, mentre a marzo del 2001 registrava il valore di 2052,78. Linaspettato innalzamento e ribasso nel prezzo dei titoli tecnologici ha persuaso molti studiosi ed esperti del settore a descrivere levento come una bolla speculativa. Il 10 marzo 2000, lindice Nasdaq raggiunse il prezzo di chiusura di 5.048,62. A marzo del 1997 lo stesso indice chiudeva a 1322,72, mentre a marzo del 2001 registrava il valore di 2052,78. Linaspettato innalzamento e ribasso nel prezzo dei titoli tecnologici ha persuaso molti studiosi ed esperti del settore a descrivere levento come una bolla speculativa.

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35 Obiettivi Al fine dinterpretare tale processo si sono messi a confronto, adottando lo stesso procedimento riportato nellultimo bollettino Aiaf, i prezzi del Nasdaq ed i reciproci del tasso ufficiale di sconto su base giornaliera. Al fine dinterpretare tale processo si sono messi a confronto, adottando lo stesso procedimento riportato nellultimo bollettino Aiaf, i prezzi del Nasdaq ed i reciproci del tasso ufficiale di sconto su base giornaliera. Si è tentato inoltre di analizzare la bolla speculativa in analogia con le trasformazioni suggerite dal modello precedentemente esposto Si è tentato inoltre di analizzare la bolla speculativa in analogia con le trasformazioni suggerite dal modello precedentemente esposto

36 Elaborazioni realizzate La distribuzione considerata per lanalisi empirica va dal 10 marzo 1997 al 10 marzo 2000, per un totale di 759 osservazioni giornaliere. La distribuzione considerata per lanalisi empirica va dal 10 marzo 1997 al 10 marzo 2000, per un totale di 759 osservazioni giornaliere. I tassi di sconto r s sono scaricati dal sito I tassi di sconto r s sono scaricati dal sito

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39 Risultati ottenuti Si constata come in prossimità del marzo del 2000 i due valori tendano ad uniformarsi, la qualcosa suggerisce che la bolla speculativa stia raggiungendo il culmine. Si constata come in prossimità del marzo del 2000 i due valori tendano ad uniformarsi, la qualcosa suggerisce che la bolla speculativa stia raggiungendo il culmine. A questo punto dellanalisi si è deciso di calcolare i tassi di rendimento giornalieri per i periodi 10 marzo 97 – 10 marzo 98; 10 marzo 98 – 10 marzo 99; 10 marzo 99 – 10 marzo 2000 al fine di disporre di dati previsivi di rendimento. Tali dati sono stati quindi annualizzati moltiplicandoli per 252 (giorni di apertura delle borse). A questo punto dellanalisi si è deciso di calcolare i tassi di rendimento giornalieri per i periodi 10 marzo 97 – 10 marzo 98; 10 marzo 98 – 10 marzo 99; 10 marzo 99 – 10 marzo 2000 al fine di disporre di dati previsivi di rendimento. Tali dati sono stati quindi annualizzati moltiplicandoli per 252 (giorni di apertura delle borse).

40 Data Prezzo Storico Tasso di rendimento effettivo di periodo Prezzo teorico Tasso di rendimento teorico di periodo Reciproci del tasso ufficiale di sconto Rapporto di densità 10 Marzo ,72 10 Marzo ,500, ,5640, , Marzo ,000, ,2850, , Marzo ,601,14210,5190, ,1008 La sintesi dei risultati ottenuti è contenuta nella seguente tabella

41 Si è deciso di interpretare il grado di pressione esercitato sul mercato pari a e nel contempo il volume di contenimento del rischio su base unitaria di capitalizzazione dato da ottenendo i seguenti risultati. Si è poi interpretata la densità con il rapporto PressioneVolumeDensità0,2169,260,0207 0,2697,4350,0384 0,7052,8370,1008

42 Il parametro di tolleranza al rischio è stato desunto applicando la relazione [6] esprimente lequazione di stato del mercato finanziario. I valori ottenuti sono contenuti nella seguente tabella

43 Si constata come al crescere della bolla speculativa si incrementi fortemente la pressione esercitata sul mercato e nel contempo si riscontri una forte diminuzione del volume di contenimento del rischio generato dalla stessa pressione crescente e presumibilmente dalle aspettative di extrarendimenti degli investitori. Da tale contesto emerge che la crescita vertiginosa del Nasdaq è interpretabile attraverso due componenti del prezzo contenute nella relazione seguente:

44 La prima componente è rappresentata dal mero aggiornamento del prezzo sulla base del tasso privo di rischio. La seconda componente mostra che il prezzo è funzione anche di, pari a due volte il reciproco del volume di contenimento unitario del rischio

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47 Lesempio proposto fondato sui dati del Nasdaq ha consentito di mettere in luce una metodologia, che dovrà essere ulteriormente testata. Questa mostra che il processo della bolla speculativa prende piede quando su un mercato finanziario o allinterno di unindice il volume di contenimento del rischio tende gradualmente ad abbassarsi. A causa di ciò in particolari condizioni di densità del mercato ( crescente) si genera dentro quel mercato o nellindice una trasformazione che innalza lenergia del sistema in modo abnorme. Il prezzo dellindice evolve proiettandosi verso il livello corrispondente al valore attuale del rendimento del titolo privo di rischio. Non di rado avviene anche lo sconfinamento generato dalla prospettiva di extra rendimenti di soggetti lenders e borrowers che operano con criteri speculativi. Unidea del comportamento dellindice Nasdaq e delle modalità con cui interpretarlo si ha dai seguenti percorsi dei prezzi variamente immaginati: costruzione di distribuzioni log-normali dellindice; simulazione attraverso la funzione logistica

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49 Appendice

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53 E interessante notare che lampiezza delle funzioni di utilità espressa in funzione del parametro cambia al variare del parametro stesso ed in particolare cresce nel passaggio dal 1998 al 1999 e decresce dal 1999 al 2000.