CURVE CURVE CURVE CURVE ... CURVE CURVE CURVE CURVE 1 1

Orologio TV Motore a Vapore esplosivo La stampa c b a d e g h f i l 2 COMPUTER RUOTA b Telefono a d Penicillina e Orologio h g f TV Motore elettrico Motore a Vapore esplosivo Il patrimonio culturale ed artistico italiano deve essere salvaguardato La stampa i l 2

Ordinale secondo un tuo criterio di importanza TEST Nella diapositiva precedente abbiamo visto delle grandi invenzioni che hanno cambiato la vita dell’uomo. Ordinale secondo un tuo criterio di importanza TEST 3

Alcune grandi invenzioni oggi sono, per noi, scontate (pensa alla ruota, alla stampa...) altre ci appaiono più complesse (il computer, la televisione…) TEST Quale invenzione, non solo tra quelle già elencate, ti affascina maggiormente? 4

sono le grandi invenzioni Anche in matematica ci sono le grandi invenzioni Il Teorema di Pitagora! La scrittura posizionale dei numeri! Il logaritmo! Keplero : ”il logaritmo ha allungato la vita degli astronomi.” Ti piacerebbe fare i conti usando i numeri romani? Prova a calcolare in modo ROMANO e POSIZIONALE a) XVIII+LVII b) XIII•XVII TEST 5

Pensa ad un’altra grande INVENZIONE MATEMATICA SEMPLICE PO T E N PENSA R I VO L U ZIO NA RIA Pensa ad un’altra grande INVENZIONE MATEMATICA GRANDE PENSA Qual è? 6

Le coordinate cartesiane Cogito ergo sum! y Le coordinate cartesiane u . P(x,y) • O • x Sapresti calcolare la distanza tra i punti A(0,3) e B(4,0)? TEST 7

Nel ‘600 grazie a. Pierre de Fermat (1601-1665). e Nel ‘600 grazie a Pierre de Fermat (1601-1665) e René Descartes (1596-1650) nasce la Descartes :”È applicando l’algebra dei moderni alla geometria degli antichi che si sono trovati i fondamenti di una scienza meravigliosa” Geometria analitica I punti sono collegati ai numeri, le linee alle equazioni, l’algebra e la geometria si fondono insieme. 8

Le coordinate cartesiane non esistono senza un opportuno riferimento cartesiano. Sai cosa si intende per: riferimento cartesiano del piano? - Penso di sì riferimento cartesiano dello spazio? - Forse sì riferimento cartesiano della retta? - Ho dei dubbi 9

. ECCOLI: . . 10 u La retta cartesiana R PR (x)P u z P x P O y O u Lo spazio cartesiano R3 P R3 (x,y,z)P Il piano cartesiano R2 P R2 (x,y)P 10

Consideriamo l’equazione x2-1=0 Quanti e quali punti di R soddisfano tale equazione? … Quanti e quali punti di R2 soddisfano tale equazione? … Quanti e quali punti di R3 soddisfano tale equazione? … 1 –1 x 1 2 y x= 1 x= –1 x –1 1 3 z x=1 x= –1 x y 11

Consideriamo l’equazione x2+1=0 TEST Consideriamo l’equazione x2+1=0 Quanti e quali punti di R soddisfano tale equazione? … Quanti e quali punti di R2 soddisfano tale equazione? … Quanti e quali punti di R3 soddisfano tale equazione? … 2 3 1 12

Sapendo che l’equazione X3+1=0 ha come unica soluzione reale x=-1,cosa descrive la stessa equazione su R, su R2 e su R3 ? TEST R: 1) Ø 2) un punto 3) una retta 4) 3 rette R2: 1) Ø 2) un punto 3) una retta 4) 3 rette R3: 1) Ø 2) un piano 3) una retta 4) 3 rette 13

Come hai visto ATTENZIONE ATTENZIONE ? La stessa equazione può rappresentare luoghi diversi a seconda dell’insieme in cui cerchiamo le soluzioni! ATTENZIONE ? Ancora un’esempio: x2+y2=1 ... ... non ha senso su R ... è una circonferenza su R2 y z -1 1 x ... è un cilindro su R3 y 14 x

RICORDATI ossia TEST Da qui in avanti lavoriamo nel piano R2 le soluzioni delle equazioni che trattiamo saranno da ricercarsi nell’insieme delle coppie di numeri reali (x,y) ossia VERO o FALSO ? TEST  >3,14 A C B 15

Richiamando l'isiemistica prova a leggere le seguenti affermazioni: Richiamando l'isiemistica a) 3N b) -2N c) -2Z d) 2/3Z e) 2/3Q f) g) h) R i) NZQR l) R-Q m) NZ=Z n) N  Z=N TEST Sono tutte corrette, vero?! 16

   Ritorniamo al piano cartesiano R2 e  consideriamo l’equazione xy=0 Quale sottoinsieme di R2 essa rappresenta?  Ricorda: Legge di annullamento del prodotto a,bR ab=0  a=0 oppure b=0   Ed allora ...  17

Cosa rappresenta l’equazione: x2-y2=0 ?????????????? Ovvero l’unione degli assi x e y Cosa rappresenta l’equazione: x2-y2=0 ?????????????? TEST a) un’iperbole b) due rette c) l’origine 18

In R2 consideriamo le soluzioni del sistema: cioè l’insieme = intersezioni delle due bisettrici= il punto O(0,0) N.B: le coppie di rette che passano per O sono infinite! y x O 19

TEST È vero che x2+y2=0 rappresenta O in R2? 1) Si: perché è una circonferenza di centro O e raggio 0 2) No:perché rappresenta una retta 3) Si: perché la somma di due numeri positivi è zero  sono entrambi nulli 4) Non lo so 20

Cosa rappresenta x2=0 in R2? TEST 1) 2 rette coincidenti 2) O 3) L’insieme vuoto 4) 1 retta 21

Ogni equazione lineare in x e y, ovvero di primo grado in x e y, RAPPRESENTA in R2 una retta Es: y-2x+1=0 (1/2,0) x TEST (0,-1) Cosa rappresenta (x2+y2)(x-1)=0? 1 2 punti 2 1 retta e 1 punto 3 3 rette 4 Non lo so 22

Un’equazione di secondo grado in x e y rappresenta in R2 uno dei seguenti sottoinsiemi: a) b) 1 punto c) 1 retta d) 2 rette e) 1 circonferenza f) 1 ellisse g) 1 parabola h) 1 iperbole Riconosci l’iperbole, l’ellisse e la parabola? 1) 2x2+y2=1 2) 2x2-y=1 3) 2x2- y2 =1 Esempi: a) x2+y2+1=0   b) x2+y2=0  O (0,0) c) x2=0  l’asse y contato 2 volte d) x2+y2 -1 =0  circonferenza e) x2-y2 =0  2 rette TEST 23

F y O x PARABOLA y=ax2 Galileo (1564-1643) scopre che: la traiettoria di una pallina da golf è una parabola! MA la scoperta è la traiettoria parabolica o il golf? Mediante una rotazione ed una traslazione l’equazione di una parabola può essere scritta nella forma y=ax2 24

Il punto F è detto fuoco della parabola Applicazioni Fari d’automobile Antenna Parabolica F Il punto F è detto fuoco della parabola Attenzione nel fuoco può fare veramente caldo! Biliardo Parabolico F Bel tiro! F clack! 25

Mediante una rotazione ed una traslazione l’equazione di una ellisse può essere scritta nella forma: x y (b , 0) (-a , 0) F1 F2 (a , 0) (-c , 0) (c , 0) (-b , 0) Keplero (1609): “Le orbite dei pianeti del sistema solare sono ellittiche ed il sole occupa uno dei due fuochi”. (I legge) N.b.: b2+c2=a2 26

Proprietà: PF1+PF2=COSTANTE Lune Lune Lune Sono archi di ellisse P P Applicazioni F1 F2 La superficie di un liquido in una caraffa cilindrica inclinata ha un contorno ellittico P Proprietà: PF1+PF2=COSTANTE 27

IPERBOLE Mediante una rotazione ed una traslazione l’equazione di un’iperbole può essere scritta nella forma: Si disegnano sempre prima gli asintoti (le 2 rette verdi), poi l’iperbole. L’equazione rappresenta i due asintoti dell’ iperbole 28

Gli asintoti coincidono con gli assi x, y. Caso particolare N.B.: Gli asintoti coincidono con gli assi x, y. 29

L’ombra di un paralume può avere un contorno iperbolico Applicazioni Biliardo iperbolico L’ombra di un paralume può avere un contorno iperbolico F F 1 2 F F 1 2 30

Curve di grado maggiore di 2 I punti evidenziati in rosso sono detti punti singolari Gli incroci si chiamano nodi, le punte (cissoide e bicorno) cuspidi Bicorno (di grado 4) Strofoide destra (di grado 3) Curva di Lissajuos (di grado 8) Cissoide (di grado 3) Trifoglio (di grado 4) Curva ornamentale (di grado 18) Curva del diavolo (di grado 4) 31

Finora abbiamo visto solo curve algebriche cioè luoghi di punti del piano che soddisfano un’equazione f(x,y)=0, dove f(x,y) è un polinomio in x e y. Ora cambiamo un po’! 32

Se f(x,y)= y-senx allora la curva y-senx=0 ha come grafico : y=sinx ANALOGAMENTE: Se f(x,y)= y-cosx allora la curva y-cosx=0 ha come grafico : y=cosx 33

Proviamo ora a combinare seno e coseno TEST a) sen(3.14)>sen(p) b) cos(1)>cos(p/3) ? Proviamo ora a combinare seno e coseno y=sen7x+cos8x 34

Combinando un numero opportuno di seni e coseni è possibile ricostruire, con buona approssimazione, il grafico di una qualsiasi onda! (Sviluppo di Fourier) Lo sai che... Per questo motivo i computer possono suonare la musica e leggere le parole! 35

Funzione d'onda rettangolare x y  3 2 4 - -2 1 36

La curva ESPONENZIALE Scala dimetrica y=ex 4 y=ex 2 e55metri  un miliardo di anni luce e34metri  un anno luce  1016metri e14mm  1Km = 103metri e7 mm  1Km=100metri e-1 mm  0.036 mm e3 mm  2 cm e-2 metri  0.013 mm e2 mm  7 mm e-3 metri  0.04 mm e1 mm  2.7 mm e-7 metri  0.001mm e0 mm  1 mm -0.5 0.5 37

Ribaltando y=ex rispetto alla retta y=x otteniamo: y=log x La curva LOGARITMICA Il logaritmo misura delle aree particolari: lg x =+A A lg 1 = 0 1 x lg x = -A A x 1 38

Le mille e una applicazioni dei logartmi La magnitudo m dei terremoti si misura con la scala Richter, mediante la seguente formula: Il pH, che misura l’acidità delle soluzioni, è una scala logaritmica: ecc. ecc. ecc. ecc. Che curva è il profilo della coda del pianoforte? TEST 39

Nel piano non esiste solo il riferimento cartesiano ortogonale Nel piano non esiste solo il riferimento cartesiano ortogonale. Ad esempio un altro riferimento è quello polare: un punto P nel piano risulta essere individuato da un raggio detto  e da un angolo  il tutto rispetto ad una retta fissata e ad una origine O individuata su di essa. P(, )   O 40

Vediamole... Nel sistema di riferimento polare:  = costante è l’equazione di una circonferenza  = k  è una spirale di Archimede, con k costante  = ek  è una spirale logaritmica o di Bernoulli, con k costante Vediamole... 41

Circonferenza Spirale logaritmica Spirale di Archimede  =4, 02  =5, 02  = e 0,2 , - 3 3 42

Arrivederci !!! Ariivederci !!! Arrivederci !!! 43