LA RETTA NEL PIANO CARTESIANO Rappresentazione grafica di una funzione polinomiale di 1° grado

In questa lezione esamineremo, in un piano cartesiano, il grafico di un’equazione di primo grado in due variabili che, scritta in forma esplicita, assume la forma di una funzione polinomiale di primo grado in una variabile.

y = mx + q * (con m e q numeri qualsiasi) es.: y = - 4x + 6 Quindi possiamo considerare indifferentemente un’equazione di 1° grado in due incognite nella forma ax + by + c = 0 * (con a, b, c numeri qualsiasi) es.: 2x – 5y + 4 = 0 oppure nella forma y = mx + q * (con m e q numeri qualsiasi) es.: y = - 4x + 6 * Nel primo caso parleremo di forma implicita, nel secondo di forma esplicita dell’equazione della retta. Con semplici passaggi e’ possibile modificare la nostra equazione espressa in una forma in modo da ottenerla nell’altra.

Considerando inizialmente l’equazione y = mx, che rappresenta un caso particolare della forma esplicita (y = mx + q), risulta più agevole stabilire alcune caratteristiche del corrispondente grafico che è costituito da una retta passante per l’origine degli assi*. Dagli esempi seguenti si può avere un’idea di come si modifichi il grafico al variare di m. * Per x = 0 si ottiene infatti y = m . 0, quindi y = 0. Pertanto il grafico passerà per il punto di coordinate ( 0; 0) e cioè l’origine.

y = 0,1 x

y = 0,5 x

y = 1x (y = x)

y = 2x

y = 10x

y = -0,1x

y = -0,5x

y = -1x (y = -x)

y = -2x

y = -10x

E’ quindi evidente che al variare di m varia anche quella che potremmo definire “l’inclinazione della retta”. Questo concetto viene espresso in modo più rigoroso facendo riferimento all’angolo che la retta forma con “il semiasse positivo delle x”*. In conclusione conoscendo m siamo in grado di calcolare la misura di tale angolo e viceversa. * Parlando di “semiasse positivo delle x” ci riferiamo alla parte dell’asse delle x che comunemente è indicata a destra dell’origine.

Cerchiamo ora di chiarire il motivo di questo legame. Immaginiamo di poter osservare lateralmente due scale e di vedere un’immagine simile alla seguente

Risulta evidente che “l’inclinazione” delle due scale è diversa e ciò è dovuto al fatto che, a parità di “larghezza” dei gradini, è diversa, tra una scala e l’altra, la loro altezza e di conseguenza è anche diverso il rapporto tra le due dimensioni. Ridisegnando l’immagine delle scale in un piano cartesiano e tracciando una retta passante per gli spigoli dei gradini si ottengono i grafici seguenti

L’inclinazione delle rette ottenute è quindi determinata dal rapporto tra l’altezza di ciascun gradino e la sua larghezza. Ma tale rapporto è proprio uguale a m. Infatti, osservando ad esempio il punto che rappresenta lo spigolo del primo gradino di ciascuna retta, il rapporto tra altezza e larghezza del gradino è uguale al rapporto tra le sue coordinate y ed x * e se prendiamo nuovamente in considerazione l’equazione y = mx da questa si può facilmente ricavare y m = ——— x *E’ facile dimostrare che tale rapporto rimane inalterato qualunque sia lo spigolo considerato e quindi qualunque sia il punto sulla retta preso in considerazione

Il valore negativo di m per le rette che formano con il semiasse positivo delle x angoli maggiori di un angolo retto ma minori di un angolo piatto, è determinato dal diverso segno tra il valore della x e quello della y.

coefficiente angolare. E’ inoltre possibile dimostrare con analoghi ragionamenti che m mantiene il suo significato geometrico anche nel caso in cui l’equazione è nella forma y = mx +q e quindi la corrispondente retta non passa per l’origine degli assi. E’ per tale motivo che m viene denominato coefficiente angolare.

l’ordinata del punto in cui la nostra retta interseca Concentriamo ora la nostra attenzione sul significato geometrico di q. Per comprenderlo basta considerare che, assegnando il valore 0 alla x nell’equazione y = mx + q, si ottiene y = m.0 +q e cioè y = q. Quindi se x = 0 y= q. Questo vuol dire che la retta passa per il punto di coordinate (0; q), ma tale punto, avendo ascissa 0, appartiene, oltre che alla retta, anche all’asse delle y. Quindi possiamo concludere che il termine q rappresenta l’ordinata del punto in cui la nostra retta interseca l’asse delle y.

Il termine q viene denominato termine noto dell’equazione. Di seguito vengono riportati alcuni grafici che aiutano a comprendere i risultati fino ad ora ottenuti.

y = 3x + 1(in rosso) e della retta di equazione y = 3x – 2 (in nero). Nella figura seguente sono riportati i grafici della retta di equazione y = 3x + 1(in rosso) e della retta di equazione y = 3x – 2 (in nero). Possiamo osservare che le due rette sono tra loro parallele (hanno uguale inclinazione), infatti per entrambe m = 3. Inoltre passano per punti diversi dell’asse y, infatti per la prima q = +1 mentre per la seconda q = -2.

y = 3x + 1(in rosso) e della retta di equazione y = -2x + 1 (in nero). Nella figura seguente sono riportati i grafici della retta di equazione y = 3x + 1(in rosso) e della retta di equazione y = -2x + 1 (in nero). Possiamo osservare che le due rette non sono tra loro parallele (hanno diversa inclinazione), infatti per la prima m = +3 mentre per la seconda m = -2, ma passano per lo stesso punto dell’asse delle y infatti sia per la prima che per la seconda q = +1.

FINE