APPUNTI DI GEOMETRIA ANALITICA DELLA RETTA Prima parte

RETTE PARTICOLARI Rette orizzontali: hanno equazione In particolare: asse X delle ascisse y=0 Rette del semipiano inferiore: y=k con k<0 (III e IV quadrante) Rette del semipiano superiore: y=k con k>0 (I e II quadrante) Rette verticali: hanno equazione In particolare: asse Y delle ordinate x=0 Rette del semipiano di sinistra: x=k con k<0 (II e III quadrante) Rette del semipiano di destra: x=k con k>0 (I e IV quadrante)

LUNGHEZZA DI SEGMENTI PARTICOLARI Segmento verticale di estremi Differenza, in valore assoluto, fra le coordinate che cambiano valore (le ordinate dei due estremi) Nella formula, poiché i valori assoluti di un argomento o del suo opposto sono uguali… è indifferente l’ordine! Segmento orizzontale di estremi Differenza, in valore assoluto, fra le coordinate che cambiano valore (le ascisse dei due estremi) Nella formula, poiché i valori assoluti di un argomento o del suo opposto sono uguali… è indifferente l’ordine!

RETTE OBLIQUE L’equazione contiene entrambe le variabili in essa: m è il COEFFICIENTE ANGOLARE e controlla l’inclinazione della retta corrispondente (è definito dal rapporto dove A e B sono due qualunque punti della retta) q è il TERMINE NOTO e rappresenta l’ordinata del punto in cui la retta corrispondente interseca l’asse delle ordinate (infatti la coppia di valori (0,q) soddisfa l’equazione data)

Se m<0 l’equazione rappresenta una retta DECRESCENTE Se m=0 l’equazione rappresenta una retta orizzontale N.B. non è possibile descrivere rette verticali con questa equazione Se m<0 l’equazione rappresenta una retta DECRESCENTE che forma, con la direzione X positiva UN ANGOLO OTTUSO Se m>0 l’equazione rappresenta una retta CRESCENTE che forma, con la direzione X positiva UN ANGOLO ACUTO

CONDIZIONE DI APPARTENENZA DI UN PUNTO AD UNA RETTA Un punto appartiene ad una retta se le sue coordinate ne soddisfano l’equazione, cioè se,sostituite rispettivamente l’ascissa alla variabile x e l’ordinata alla variabile y, danno luogo ad un’identità (uguaglianza sempre vera) Es: data la retta 2x-y=4 nel piano, il punto appartiene alla retta, infatti: è un’identità, mentre il punto non le appartiene, per analogo motivo

Trovare l’equazione di una retta passante per un P assegnato e di m assegnato Si deve usare la formula: Ad es. punto P(-1,8) e m=-3  la retta ha equazione: y-8=-3(x+1) cioè: y=-3x+5 Punto T(0,-6) e m=5  la retta ha equazione: y+6=5(x-0) cioè: y=5x-6 Punto S(0,2) e m=0  la retta ha equazione: (y-2)=0(x-0) cioè: y=2

Se q=0 la retta passa per l’origine degli assi cartesiani Condizione di parallelismo fra rette: due rette parallele distinte hanno lo stesso coefficiente angolare e diverso termine noto Due rette parallele coincidenti hanno lo stesso coefficiente angolare e lo stesso termine noto Condizione di perpendicolarità fra rette: due rette sono perpendicolari se i loro coefficienti angolari sono antireciproci

FASCIO IMPROPRIO E’ UN INSIEME DI INFINITE RETTE PARALLELE FRA LORO La caratteristica comune a tali rette è la DIREZIONE quindi il coefficiente angolare Non vi sono punti in comune fra ogni retta e le altre L’equazione è: dove è una costante

esempio Un fascio di rette crescenti: di cui alcune rappresentate sotto si possono calcolare i valori di q osservando il grafico

FASCIO PROPRIO E’ UN INSIEME DI INFINITE RETTE AVENTI UN PUNTO (il centro del fascio) IN COMUNE La caratteristica comune a tali rette è tale punto, mentre varia la DIREZIONE quindi il coefficiente angolare L’equazione è: dove è una costante

esempio Un fascio di rette di centro C(-4,2): di cui alcune rappresentate sotto si può notare come i valori di q dipendano da m, esplicitando y

Se si tiene l’equazione in forma implicita : ax+by+c=0 a,b,c numeri reali Se è nullo il coefficiente di y: b=0 => si ottiene l’equazione di una retta verticale Se è nullo il coefficiente di x: a=0 => si ottiene l’equazione di una retta orizzontale Se è nullo solo il termine noto c=0 => si ottiene una retta passante per l’origine Se i tre coefficienti sono diversi da zero => si ottiene una generica retta obliqua non passante per l’origine N.B. quest’equazione descrive tutti i tipi di rette del piano, al variare del valore dei coefficienti a, b, c

Dato un sistema lineare di due equazioni in due incognite Se allora le rette corrispondenti alle due equazioni del sistema sono incidenti (o secanti) e il sistema è DETERMINATO Se allora le rette corrispondenti alle due equazioni del sistema sono parallele distinte e il sistema è IMPOSSIBILE Se allora le rette corrispondenti alle due equazioni del sistema sono parallele COINCIDENTI (SOVRAPPOSTE) e il sistema è INDETERMINATO

sistema determinato: rette incidenti nel punto P

sistema impossibile: rette parallele distinte (nessun punto in comune)

sistema indeterminato: rette parallele sovrapposte (tutti i punti in comune)

PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO Dato un segmento AB le coordinate del punto medio M si trovano così: Se è noto l’estremo A e il punto medio M, è possibile determinare le coordinate dell’estremo incognito B con la formula: (naturalmente è analogo se l’estremo noto è B e quello incognito è A!)

ASSE DI UN SEGMENTO Per determinare l’asse di un segmento di cui siano noti gli estremi, è possibile procedere con la definizione. (vedi oltre: metodo 1) ASSE DI UN SEGMENTO è LA RETTA PERPENDICOLARE AL PUNTO MEDIO DEL SEGMENTO Oppure considerare l’asse come un luogo di punti. (vedi oltre: metodo 2) ASSE DI UN SEGMENTO è IL LUOGO DI TUTTI E SOLI I PUNTI EQUIDISTANTI DAGLI ESTREMI DEL SEGMENTO

Metodo 1: Usando la definizione Si trova il punto medio M del segmento (vedi diapo n.18) Si trova la pendenza del segmento (attenzione: non interessa l’equazione completa del segmento, ma basta la sua inclinazione!) Si scrive l’equazione della retta perpendicolare (vedi diapo n.8) al segmento AB e passante per il suo punto medio M (retta per un punto assegnato e di coefficiente angolare noto, vedi diapo n.7)

esempio Trova l’asse della segmento di estremi A=(-2,3) e B=(4,-6) Punto medio di AB: M=((-2+4)*1/2;(3-6)*(1/2))=(1;-3/2)

Pendenza di AB: vedi diapo n.4 m=(-6-3)/(4+2)=-9/6=-3/2 (infatti è decrescente; si può controllare contando i quadretti!!) Pendenza m della retta perpendicolare (m antireciproco, vedi diapo n. 8) m asse=2/3 Formula della retta per un punto e di m dato: y-(-3/2))=2/3(x-1) e cioè: y=2/3x-13/6 che è l’equazione dell’asse di AB

Disegno

Metodo 2: Usando la definizione Si utilizza il fatto che, se P(x,y) è un generico punto dell’asse di AB, allora la distanza PA è uguale alla distanza PB. È questo è vero anche per i loro quadrati:

Si scrive la distanza punto-punto fra P(x,y) e A, al quadrato Si scrive la distanza punto-punto fra P(x,y) e B, al quadrato Si eseguono i calcoli che permettono di eliminare “i quadrati” delle variabili Si ottiene l’equazione di una retta che rappresenta l’asse del segmento AB

esempio Distanza al quadrato fra P e A: Trova l’asse della segmento di estremi A=(-2,3) e B=(4,-6) Distanza al quadrato fra P e A: Distanza al quadrato fra P e B: Eguagliando le distanze e sviluppando i quadrati: semplificando si trova: y=2/3x-13/6 che è l’equazione dell’asse di AB

BISETTRICE DI UN ANGOLO Sapendo che la bisettrice di un angolo è il luogo di tutti e soli i punti equidistanti dai lati dell’angolo (dimostrare per esercizio!!) se sono note le equazioni delle rette lati di tale angolo, è possibile, mediante la formula della distanza punto- retta, scrivere l’equazione per trovare la bisettrice; Il punto è il generico punto P(x,y) della bisettrice e le rette da cui si calcola la distanza sono, appunto, i lati. È utile ricordare che Il modo in cui “si tolgono” i simboli di valore assoluto, è strettamente legato a quale delle due bisettrici si deve trovare: infatti, poiché due rette incidenti formano 4 angoli (opposti al vertice ed uguali a coppie fra loro), le bisettrici sono due!