Elementi di Geometria Geometria

Introduzione: il nostro spazio Lo spazio in cui viviamo è uno spazio TRIDIMENSIONALE (3D) ciò vuol dire che distinguiamo 3 DIMENSIONI: In esso possiamo trovare o costruire oggetti Altezza TRI-DIMENSIONALI Che possiamo considerare UNI-DIMENSIONALI Lunghezza Larghezza Che possiamo considerare BI-DIMENSIONALI 1 / 28

? Elementi geometrici Secondo voi quali possono essere Per poter descrivere, lavorare, disegnare gli oggetti dello spazio bisogna definire alcuni ELEMENTI GEOMETRICI che formano le fondamenta della geometria: Spazio Punto Secondo voi quali possono essere ? Segmento Ango lo Retta Piano Linea Superficie 2 / 28

Elementi geometrici FONDAMENTALI Un elemento geometrico si definisce FONDAMENTALE se: .- NON ESISTE UNA DEFINIZIONE CHE LO DESCRIVA .- È NECCESSARIO PER COSTRUIRE LE ALTRE FIGURE Secondo voi, Cosa si intende per Elementi geometrici ‘FONDAMENTALI ’ ? ? Spazio Punto Retta ? Ango lo ? ? Segmento ? Piano Superficie ? Linea ? ? 3 / 28

Elementi geometrici FONDAMENTALI PUNTO NON NON esiste una definizione di PUNTO Il PUNTO NON ha dimensioni Le linee, le superfici, … sono insiemi di PUNTI : Superficie Linea Secondo voi, C’è una diversa disposizione di punti tra linea e superficie? Cosa indica? ? I PUNTI vengono indicati con le lettere MAIUSCOLE: A P H B 4 / 28

Elementi geometrici FONDAMENTALI RETTA NON NON esiste una definizione di RETTA La RETTA è INFINITA (= non ha ne inizio ne fine) : Il tratteggio alle estremità indica che NON c’è INIZIO e NON c’è FINE Le RETTE vengono indicate con le lettere minuscole: a r s b 5 / 28

Elementi geometrici FONDAMENTALI PIANO NON NON esiste una definizione di PIANO Il PIANO è INFINITO (= non ha ne inizio ne fine) : I PIANI vengono indicati con le lettere minuscole dell’alfabeto greco: a p b 6 / 28

PUNTO e RETTA P  r P  r Quando un punto P è “sopra” a una retta si dice che: r P Il punto appartiene alla retta: P  r oppure La retta passa per il punto Il punto NON appartiene alla retta: P  r r P 7 / 28

Per un punto passano INFINITE rette Quando sarete grandi direte che: PUNTO e RETTA Quante rette posso far passare per un punto ? Per un punto passano INFINITE rette d a b P c Quando sarete grandi direte che: Le rette formano un FASCIO centrato nel punto 8 / 28

3 o più punti che appartengono PUNTI ALLINEATI 3 o più punti che appartengono alla stessa retta si dicono ALLINEATI r A B C I punti S, T, U NON sono allineati perchè uno di essi NON appartiene alla retta r I punti A, B, C sono ALLINEATI perchè appartengono TUTTI alla stessa retta r U r S T 9 / 28

in comune un solo punto si dicono RETTE INCIDENTI Due rette che abbiano in comune un solo punto si dicono INCIDENTI s r P 10 / 28

Un punto P appartenete a una retta r la divide in due SEMIRETTE a, b SEMIRETTA Un punto P appartenete a una retta r la divide in due SEMIRETTE a, b b P r a La semiretta INIZIA nel punto P detto ORIGINE della semiretta ma NON ha una fine: prosegue all’infinito La semiretta ha un INIZIO e una FINE ? P s Origine della semiretta 11 / 28

La porzione di retta compresa tra SEGMENTO La porzione di retta compresa tra due punti distinti P e Q è detta SEGMENTO Segmento PQ P Q r Estremi del Segmento PQ I punti P e Q sono detti ESTREMI del segmento I SEGMENTI vengono indicati con le lettere che rappresentano gli estremi: P Q PQ B A AB 12 / 28

Due segmenti si dicono CONSECUTIVI se hanno un estremo in comune SEGMENTI CONSECUTIVI Due segmenti si dicono CONSECUTIVI se hanno un estremo in comune R P Q PQ e QR sono CONSECUTIVI perchè hanno l’estremo Q in comune I segmenti AB e FG sono CONSECUTIVI ? AB e FG NON sono CONSECUTIVI perchè NON hanno estremi in comune A B G F 13 / 28

? ? SEGMENTI ADIACENTI I segmenti AB e BC I segmenti sono ADIACENTI Due segmenti si dicono ADIACENTI se sono consecutivi e appartengono alla stessa retta P Q R PQ e QR sono ADIACENTI perchè sono consecutivi: hanno l’estremo Q in comune e appartengono alla stessa retta I segmenti AB e BC sono ADIACENTI ? AB e BC NON sono ADIACENTI perchè sebbene SIANO consecutivi NON appartengono alla stessa retta AB e DE NON sono ADIACENTI perchè sebbene appartengano alla stessa retta NON SONO consecutivi I segmenti AB e DE sono ADIACENTI ? C B A A B E D 14 / 28

? SEGMENTO INCIDENTI Due segmenti che abbiano in comune un solo punto che non sia un estremo si dicono INCIDENTI P Q S R K AK e KB NON sono INCIDENTI perchè sebbene abbiano il punto K in comune, esso coincide con un estremo I segmenti AK e KB sono INCIDENTI ? PQ e RS sono INCIDENTI perché hanno in comune il punto K distinto dai loro estremi K A B 15 / 28

Quale dei due tavolini è il più stabile Secondo VOI Quale dei due tavolini è il più stabile PERCHÈ ? B A 16 / 28

Per individuare UNO E UN SOLO PIANO servono 3 punti NON ALLINEATI PUNTO e PIANO Per individuare UNO E UN SOLO PIANO servono 3 punti NON ALLINEATI P Q R TRE PUNTI NON ALLINEATI INDIVIDUANO UNO E UN SOLO PIANO 17 / 28

E ora cosa rispondete ? B A 18 / 28

RETTA e PIANO UNA RETTA E UN PUNTO CHE NON LE APPARTIENE INDIVIDUANO Siccome tra 2 punti passa UNA e UNA SOLA retta possiamo anche dire che: UNA RETTA E UN PUNTO CHE NON LE APPARTIENE INDIVIDUANO UNO E UN SOLO PIANO t R DUE RETTE (non parallele) INDIVIDUANO UNO E UN SOLO PIANO t s 19 / 28

? Difficile RETTA e PIANO Se i 3 punti P, Q, R fossero allineati avremmo ancora un piano ? Difficile t P Q R Nel caso di 3 PUNTI ALLINEATI SI INDIVIDUANO INFINITI PIANI attorno alla retta individuata dai tre punti 20 / 28

? RETTA e PIANO La retta t è contenuta nel piano  La retta individuata da 2 punti del piano, è interamente contenuta nel piano a La retta t è contenuta nel piano  perchè passa per i punti P e R entrambi appartenenti al piano  P t R r a La retta r NON è contenuta nel piano  perchè il punto B NON appartenente al piano  A La retta r è contenuta nel piano a ? B 21 / 28

Una retta r appartenete a un piano lo divide in due semipiani SEMIPIANO Una retta r appartenete a un piano lo divide in due semipiani t d a b d t Il semipiano INIZIA nella retta t detta ORIGINE del semipiano ma NON ha una fine: prosegue all’infinito Origine del semipiano 22 / 28

Angolo CONCAVO Lati dell’angolo Vertice dell’angolo ANGOLO L’ANGOLO è ciascuna delle due parti di piano individuate da due semirette con l’origine in comune Lati dell’angolo r Angolo CONCAVO Angolo CONVESSO s V Vertice dell’angolo Le rette prendono il nome di LATI dell’ANGOLO L’origine delle rette prende il nome di VERTICE dell’ANGOLO 23 / 28

Esistono due modalità per indicare un ANGOLO ANGOLO - notazione Esistono due modalità per indicare un ANGOLO r R a t T V Lettere minuscole greche Il semipiano compreso tra le due rette viene indicato con una lettera minuscola greca Terna di lettere maiuscole Si riporta un punto su ciascun lato L’angolo viene ora indicato con la terna RVT la lettera centrale rappresenta il vertice dell’angolo notare il simbolo “ “ sopra la lettera centrale 24 / 28

si formano 2 angoli Piatti ANGOLO Angoli PARTICOLARI t t Angolo PIATTO Angolo GIRO si formano 2 angoli Piatti t Angolo RETTO r simbolo dell’ angolo Retto 25 / 28

? ? ANGOLI CONSECUTIVI gli angoli p e g sono CONSECUTIVI gli angoli Due angoli si dicono CONSECUTIVI se hanno .- un lato in comune .- gli altri due lati sono posti da parti opposte rispetto al lato comune b t a r f V a e b sono CONSECUTIVI perché: Il lato f è in comune I lati t e r sono opposti rispetto f p e g NON sono CONSECUTIVI perchè sebbene abbiano un lato in comune a (c) gli altri 2 b, d sono dalla stessa parte rispetto il lato a (c) gli angoli p e g sono CONSECUTIVI ? gli angoli p e g sono CONSECUTIVI ? p e g NON sono CONSECUTIVI perchè NON hanno un lato in comune g a b g a b c p d p d c V V 26 / 28

? ? ANGOLI ADIACENTI gli angoli gli angoli p e g p e g sono ADIACENTI Due angoli si dicono ADIACENTI se .- sono consecutivi .- i lati non comuni giacciono sulla stessa retta a f r b t a e b sono ADIACENTI perché: sono consecutivi (il lato f è in comune) I lati t e r giacciono sulla stessa retta V gli angoli p e g sono ADIACENTI ? gli angoli p e g sono ADIACENTI ? p e g NON sono ADIACENTI perchè sebbene a e c giacciano sulla stessa retta NON sono consecutivi (non hanno lati in comune) p e g NON sono ADIACENTI perchè sebbene siano consecutivi (b è in comune) a e c NON giacciono sulla stessa retta b a g b c a c d p a V V 27 / 28

ANGOLI OPPOSTI AL VERTICE Due angoli si dicono OPPOSTI AL VERTICE se I lati di un angolo sono il prolungamento dei lati dell’altro a f r b a e a’ sono OPPOSTI AL VERTICE perché: f’ è il prolungamento di f e r’ è il prolungamento di r r’ V a’ b’ f’ gli angoli p e g sono OPPOSTI AL VERTICE ? In realtà si formano 2 coppie di angoli opposti al vertice: a, a’ e b, b’ p e g NON sono OPPOSTI AL VERTICE perchè Il lato c NON è il prolungamento del lato b g a b V c d p 28 / 28

Fine Elementi di Geometria