Operazioni con gli insiemi

Nella figura la parte tratteggiata in rosso rappresenta l’intersezione Dati due insiemi, A e B, si chiama loro intersezione l’insieme degli elementi appartenenti contemporaneamente sia ad A sia a B. A B Nella figura la parte tratteggiata in rosso rappresenta l’intersezione

. . Insieme intersezione Esempio Con i diagrammi di Eulero-Venn a b c

Insieme intersezione Quando due insiemi A e B non hanno elementi in comune si dicono disgiunti. A B

Unione L’ unione di due insiemi A e B è l’insieme degli elementi appartenenti ad A o a B. A B Nella figura la parte colorata in turchese rappresenta l’unione

Insieme unione Esempio Con i diagrammi di Eulero-Venn a b c d A B e

Differenza Si dice differenza di due insiemi A e B considerati nell’ordine e si indica con A-B, l’insieme costituito dagli elementi di A che non appartengono a B. A A B B A-B A-B La parte colorata in rosa rappresenta l’insieme differenza

Insieme delle parti E’ l’insieme formato da tutti i sottoinsiemi di un insieme, propri e impropri e si indica con Esempio A = {1,2,3} I suoi sottoinsiemi sono: { } {1,2,3} {1} {2} {3} {1,2} {1,3} {2,3} L’insieme che li contiene tutti è l’insieme delle parti = {{ } {1,2,3} {1} {2} {3} {1,2} {1,3} {2,3}} E’ possibile stabilire il numero di elementi dell’insieme delle parti calcolando la potenza di 2 elevato al numero di elementi dell’insieme Nel nostro esempio: 3 elementi, l’insieme delle parti contiene 23 = 8 elementi

Insieme complementare Si definisce complementare di un insieme A rispetto ad un insieme ambiente o universo U, l’insieme degli elementi di U che non appartengono ad A. U Nella figura la parte colorata in verde rappresenta il complementare di A e si può indicare sia con CUA sia con CUA A CUA

In simboli scriveremo: Prodotto cartesiano Dati due insiemi A e B non vuoti si chiama PRODOTTO CARTESIANO di A e B,  l'insieme C formato da tutte le COPPIE ORDINATE tali che il primo elemento appartiene ad A ed il secondo elemento appartiene a B.  In simboli scriveremo: C = A x B che si legge C uguale A per B   In simboli l'operazione di PRODOTTO CARTESIANO si scrive: A per B è uguale all'insieme delle coppie ordinate x, y tali che x appartiene ad A e y appartiene a B. 

Esempio A = {1, 5} B = {2, 3, 4} A x B = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (5, 2), (5, 3) (5, 4)}.   Vediamo un secondo esempio: A = {b, c} B = {a, e, i, o, u} A x B = {(b, a), (b, e), (b, i), (b, o), (b, u), (c, a), (c, e) (c, i), (c, o), (c, u)}.

Con i DIAGRAMMI DI VENN.   Colleghiamo con delle frecce ogni elemento di A con ogni elemento di B: La freccia indica l'ORDINE con il quale devono essere presi i vari elementi. Ad esempio, la freccia che collega 1 con 2 indica l'ordine col quale vanno considerati i componenti della coppia (1, 2). Il grafico che abbiamo disegnato prende il nome di DIAGRAMMA A FRECCE di AxB. Questa rappresentazione del prodotto cartesiano di dice anche DIAGRAMMA SAGITTALE.

Con una TABELLA A DOPPIA ENTRATA Si tratta di una tabella nella quale nella PRIMA COLONNA  indichiamo gli elementi che compongono l'insieme A, mentre nella PRIMA RIGA  indichiamo gli elementi che compongono l'insieme B. Su ogni cella successiva della tabella indicheremo la coppia di elementi formati dall'elemento di quella data riga e di quella data colonna.  AxB 2 3 4 1 (1,2) (1,3) (1,4) 5 (5,2) (5,3) (5,4)

Con il DIAGRAMMA CARTESIANO Rappresentiamo gli elementi dell'insieme A con dei punti sull'asse delle x e gli elementi dell'insieme B con dei punti sull'asse delle y. In questo modo ogni punto dell'insieme AxB ha uno ed un solo punto rappresentativo.