THE DRIPPING FAUCET: TRANSIZIONE AL CAOS UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI TORINO Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali Laurea Triennale in Fisica Anno scolastico 2004/2005 THE DRIPPING FAUCET: TRANSIZIONE AL CAOS Candidato: Isabella Rosso Relatore: Guido Boffetta Correlatore: Antonello Provenzale Ringraziamenti: Ferruccio Balestra Giovanni Maniscalco

Jules-Henri Poincaré La Teoria del Caos… Jules-Henri Poincaré Fondatore teoria qualitativa sistemi dinamici Descrizione del caos deterministico 1903: “..Può accadere che piccole differenze nelle condizioni iniziali ne producano di grandissime nei fenomeni finali..” Anni ’30: la scuola russa con Lyapunov, Kolmogorov, Andronov. Edward Lorenz EFFETTO FARFALLA: piccole incertezze evolvono in maniera esponenziale Impredicibilità dello stato del sistema dopo un certo tempo caratteristico Sistemi apparentemente semplici in realtà nascondono nature molto complesse ed irregolari

 MAPPA (valori discreti) A livello quantitativo… Fulcro della Teoria del Caos: studio sistemi dinamici dissipativi non lineari  MAPPA (valori discreti) x(t) x(t+1)=g(x(t)) dx(t) x(0) dx(0) x’(0) |dx(t)| = |x(t)- x’(t)| ~ |dx(0)| exp( l t) dx(0) = |x(0)- x’(0)| x’(t) l positivo  crescita esponenziale Una piccola incertezza sulla condizione iniziale si amplifica molto velocemente Anche nel caso ipotetico di poter disporre di un modello perfetto rimane il grande problema delle condizioni iniziali

Cos’è l… |dx(t)| = |x(t)- x’(t)| ~ |dx(0)| exp( l t)

Cos’è l… Esponente di Lyapunov Dipende dal sistema Misura quantitativa della caoticità di un sistema: quanto si separano nel tempo le traiettorie Se l≤0  il sistema non è caotico (l’attrattore è un punto fisso o un ciclo limite)

L’attrattore… x(t+1)=g(x(t)) Regione dello spazio delle fasi in cui le traiettorie sono attratte dopo un tempo abbastanza lungo Indipendentemente dalla condizione iniziale, x(t) si avvicina indefinitamente ad esso (invariante per evoluzione temporale) La presenza è determinata dal valore di un parametro di controllo Vari tipi: Punto fisso: punto di equilibrio o stato stazionario Soluzione dell’equazione g(x(t))=x(t) Orbita circolare o attrattore ciclico Attrattore strano

L’esperimento…  Rubinetto che gocciola  Sistema molto complicato con molti gradi di libertà  Può presentare un comportamento caotico Variando la portata  regime di gocciolamento: inizialmente periodico transizione al caos

L’apparato sperimentale… Tanica Tubo  diametro: 1 cm Rubinetto Tubicino  diametro: 6 mm Regolatore Fotocellula

I valori ottenuti… q = (0,30 ± 0,03) ml/s

 Mappa dei Ritorni: Tn+1 =f(Tn) I valori ottenuti…  Mappa dei Ritorni: Tn+1 =f(Tn) q = (0,30 ± 0,03) ml/s

I valori ottenuti… q = (0 ,41 ± 0,04) ml/s

I valori ottenuti…  Mappa dei Ritorni q = (0 ,41 ± 0,04) ml/s

I valori ottenuti… q = (0 ,79 ± 0,07) ml/s

Le gocce secondarie… Z. Néda, B. Bakό, E. Rees, Chaos, Vol.6, No.1, Am. Inst. Phys. (1996)

Nuova configurazione… q = (0 ,15 ± 0,03) ml/s

Nuova configurazione… q = (0 ,17 ± 0,02) ml/s

Nuova configurazione… q = (0 ,23 ± 0,02) ml/s

Nuova configurazione… q = (0 ,36 ± 0,04) ml/s

Nuova configurazione… q = (0 ,36 ± 0,04) ml/s Funzione non monotona  “stretching e folding”

La mappa logistica… r=3.2 Attrattore di periodo 2 r=3.52 Attrattore di periodo 4

La mappa logistica… r=4 Attrattore caotico l = ln2

I valori ottenuti a confronto… q = 0 ,15 ml/s q = 0 ,17 ml/s q = 0 ,23 ml/s q = 0 ,34 ml/s

Conclusioni…  Comprensione delle caratteristiche proprie di un sistema caotico  Presentato un esperimento in cui si è investigato il comportamento non lineare e un meccanismo di transizione al caos  L’esperimento conferma la ricchezza di un comportamento dinamico in un sistema apparentemente semplice

Bibliografia… A. Vulpiani, Determinismo e Caos, Carocci (1994) Z. Néda, B. Bakό, E. Rees, Chaos, Vol.6, No.1, Am. Inst. Phys. (1996) H. N, Núñez-Yépez, A. L. Salas-Brito, C. A. Varga e L. Vicente, Chaos in a dripping faucet, Eur. J. Phys. (1989) D. R. Hofstadter, Metamagical Themas, Sci. Am. 245 22 November (1981) J. K. Hale, H. Koçak, Dynamics and bifurcations, Springer-Verlag (1991)