Sistemi di riferimento La retta orientata e piano cartesiano

Contenuti Breve ripasso: gli insiemi numerici Che cosa è un sistema di riferimento: la retta orientata e il piano cartesiano (sistema di assi cartesiani ortogonali) Rappresentazione degli insiemi numerici su una retta orientata Il piano cartesiano

Gli insiemi numerici I numeri naturali: N N={0; 1; 2; 3; …} I numeri interi: Z Z={0; ±1; ± 2; ± 3; …} I numeri razionali: Q Sono tutti quei numeri che possono essere scritti sotto forma di frazione. Sono i numeri decimali limitati e illimitati periodici, infatti ad esempio: 3,4 = 34/10; 5,1(7)=466/90 I numeri irrazionali: I Sono tutti quei numeri che non sono razionali, cioè che non possono essere scritti sotto forma di frazione. Sono i numeri decimali illimitati non periodici come ad esempio: 3,023024025026…; π= 3,14159265358979323846264… I numeri reali: R Dato dall’unione dei due insiemi: razionali e irrazionali

Riassumendo R Q I Z N Numeri REALI Numeri RAZIONALI Numeri IRRAZIONALI Numeri INTERI N Numeri NATURALI {…, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, …}

Sistemi di riferimento Un sistema di riferimento è l’insieme degli elementi utili ad individuare la posizione di un oggetto nello spazio. A seconda del numero di riferimenti usati si può parlare di: Sistema di riferimento monodimensionale (ad esempio la retta orientata) Sistemi di riferimento bidimensionale (ad esempio coordinate cartesiane nel piano) Sistemi di riferimento tridimensionale (3D) (ad esempio coordinate cartesiane nello spazio)

La retta orientata La retta orientata è una retta su cui viene fissato: Un verso di percorrenza serve a dare un ordine ai punti della retta Un punto di riferimento detto Origine rispetto al quale è possibile stabilire dove si trova un determinato punto Una unità di misura serve a stabilire a che distanza dall’origine si trova un determinato punto u -2 1 +4 B A Il numero -2 è l’ascissa del punto B, +4 è l’ascissa del punto A e si scrive B(-2), A(+4). Dunque ad ogni numero x corrisponde un punto P sulla retta orientata ed ad ogni punto P corrisponde un numero x: P(x) Dunque il numero x indica la posizione, rispetto all’origine, del punto P di ascissa x

I Numeri interi positivi o Naturali sulla retta orientata: la retta è in realtà una semiretta costituita da un numero discreto di punti. N u 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … u Z Numeri interi con segno o Relativi sulla retta orientata (costituita da un numero discreto di punti) … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … u Numeri esprimibili come frazioni o Razionali rappresentati sulla Retta orientata : la retta presenta ancora “buchi” determinati dai numeri Irrazionali Q 1 2 3 -1 -2 -3 R u Numeri Reali: Razionali ed Irrazionali sulla retta reale; i numeri Reali “coprono”, in modo continuo, tutti i punti della retta orientata. 1 2 3 -1 -2 -3

Misura di un segmento Un segmento sulla retta è individuato dai suoi punti estremi. u Il segmento AB è individuato dai punti B(+6) e A(+ ) 3 2 O +6 3 2 A B r + Nel nostro esempio per trovare la misura di AB (si indica con AB): AB = OB – OA = (+6) – (+ ) = 6 − = 3 2 9 ascissa di B di A

Misura di un segmento AB = |xA – xB| = |xB – xA| La misura di un segmento AB si determina calcolando la differenza fra le ascisse dei suoi punti estremi A e B, presi in un ordine qualsiasi, e considerandone poi il valore assoluto in modo da garantire la positività del risultato. Se A(xA) e B(xB), la misura di AB è data dalla relazione AB = |xA – xB| = |xB – xA| ESEMPI Se A(+4) e B(−2), allora AB = |(+4) – (-2)| = |+4 +2| = |+6|= 6 oppure AB = |(−2) – (+4)| = |-2 -4| = |-6|= 6 Se A(−3) e B(−8), allora AB = |−3 – (−8)| = |−3 +8| = |+5|= 5 oppure AB = |−8 – (−3)| = |−8+3| = |−5|= 5

Punto medio di un segmento Il punto medio M di un segmento è il punto per il quale si verifica che AM ≅ MB. M xM xB A B r xA Se A(xA) e B(xB) si ha che: AM = xM – xA e MB = xB − xM xA + xB 2 xM = Quindi xM − xA = xB − xM , cioè risolvendo rispetto a xM Possiamo allora concludere che l’ascissa del punto medio di un segmento AB è data dalla semisomma delle ascisse dei suoi estremi. ESEMPIO Se A(+2) e B(−7), allora +2 − 7 2 xM = = − 5

Riassumendo Date le ascisse xA e xB di due punti A e B di una retta avremo: La misura del segmento AB è: L’ascissa xM del punto medio M del segmento AB è: OSS L’ascissa del punto medio di un segmento risulta pertanto pari alla media aritmetica delle ascisse degli estremi.

Sistema di assi cartesiani È costituito da una coppia di rette orientate aventi la stessa origine. Ad esempio: Noi ci occuperemo di un sistema di assi cartesiani ortogonali monometrico (stessa unità di misura su entrambe le rette orientate).

Piano cartesiano Il piano cartesiano è suddiviso da 2 assi (asse x delle ascisse e asse y delle ordinate) in 4 angoli retti chiamati quadranti Partendo dall’angolo in alto a destra e seguendo il verso antiorario sono chiamati 1°,2°,3° e 4° quadrante y (Asse delle ordinate) 2° Quadrante 1° Quadrante Unità di misura +4 +3 +2 (origine) O -1 -2 -3 -5 -4 +1 1 2 3 4 5 3° Quadrante -1 4° Quadrante x (Asse delle ascisse) -2 -3

Piano cartesiano