Corso di Formazione per docenti di Scuola Superiore: Il calcolo infinitesimale nei licei non scientifici Febbraio-Marzo 2013 LaboratorioDidattico effediesse Dipartimento diMatematica – Politecnico di Milano Prof. Marco Bramanti Pagina web del corso (materiale scaricabile ecc.): www1.mate.polimi.it/~bramanti/corsi/corso_formazione_analisi_2013.htm Raggiungibile anche dalla pagina web effediesse: http://fds.mate.polimi.it/ formazione, formazione docenti, calcolo infinitesimale, link a fondo pagina.

Lezione 3. Calcolo differenziale Dalle indicazioni nazionali per il 5° anno dei licei non scientifici. Matematica, Relazioni e funzioni “Lo studente acquisirà i principali concetti del calcolo infinitesimale – in particolare la continuità, la derivabilità e l’integrabilità – anche in relazione con le problematiche in cui sono nati (velocità istantanea in meccanica, tangente di una curva, calcolo di aree e volumi). Non sarà richiesto un particolare addestramento alle tecniche del calcolo, che si limiterà alla capacità di derivare le funzioni già studiate, semplici prodotti, quozienti e composizioni di funzioni, le funzioni razionali (…) L’obiettivo principale sarà soprattutto quello di comprendere il ruolo del calcolo infinitesimale in quanto strumento concettuale fondamentale nella descrizione e nella modellizzazione di fenomeni fisici o di altra natura. In particolare, si tratterà di approfondire l’idea generale di ottimizzazione e le sue applicazioni in numerosi ambiti”.

Problemi da cui nasce il calcolo differenziale Il problema della tangente, legato anche alla ricerca di massimi e minimi di una funzione (teorema di Fermat) e il problema di definire la velocità istantanea di variazione di una qualsiasi grandezza. (v. prima lezione). Tangente: riprendere le definizioni di tangente incontrate a scuola: tangente alla circonferenza come retta perpendicolare al raggio, tangente a una conica come retta che ha un solo punto di intersezione con la curva; necessità di generalizzare la definizione (v. es. cubica, curva con infinite oscillazioni...). Velocità istantanea: già il concetto di velocità media non è banale (rapporto di grandezze non omogenee). Arrivati a questa, è piuttosto naturale l'idea intuitiva di velocità istantanea. Soprattutto per noi che conosciamo il concetto di limite...

Il concetto di derivata. Derivata e retta tangente La ricerca di una definizione di retta tangente al grafico di una funzione definita in un intervallo (a,b): coefficiente angolare come limite del rapporto incrementale. Definizione di funzione derivabile e derivata. Definizione (sì, è una definizione!) di retta tangente. (v. grafici Mathematica Demonstrations) Esempio: calcolo della derivata di x2. In realtà si è calcolata la derivata in ogni punto, cioè: la derivata è una nuova funzione. Ma allora… Definizione di derivata seconda e derivate successive. Esempio: derivata di una retta. Derivata prima e seconda di x2.

Il concetto di derivata. Derivata e velocità istantanea La derivata come velocità istantanea, di un punto materiale in moto su una retta con legge x=s(t) … …ma anche come velocità istantanea di variazione di una qualsiasi grandezza variabile. Significati fisici di derivata: velocità, accelerazione, velocità e accelerazione angolare, intensità di corrente, ed anche: densità lineare di massa (significativo perché qui si deriva rispetto allo spazio). Quindi la seconda legge della dinamica, F=ma diventa (per il punto materiale mobile su una retta), mx’’=F(t,x,x’), che è un’equazione differenziale. Da 300 anni la fisica formula le sue leggi così. Questo è uno dei punti qualificanti per cui ha senso parlare di analisi ai licei.

Il calcolo delle derivate Starei con cura su questa parte, alternando “concreto” (=derivate di funzioni elementari) e “astratto” (=regole di derivazione). Derivata della costante. Derivata della potenza xn con n intero >1. (Usando il prodotto notevole di (an-1) Linearità della derivata. (Dimostrazione) Esempi: derivata di un polinomio; legge oraria s=(1/2)gt2 e sue derivata prima e seconda. Derivata di alcune potenze a esponente non intero, in base alla definizione, es.

Il calcolo delle derivate Derivata e cambiamento di scala: f(ax+b). Esempio: Derivata delle funzioni trigonometriche ed esponenziali. Stare con cura sulla dimostrazione di queste formule, che dipendono dai limiti notevoli studiati. Combiniamo queste derivate con la formula per il cambiamento di scala, calcolando la derivata di eat, at, e la derivata prima e seconda di Asin(bt), Acos(bt). Far osservare le equazioni differenziali soddisfatte dalle funzioni esponenziali e trigonometriche, motivo della loro importanza.

Il calcolo delle derivate Derivata del logaritmo: logx e log|x|. Derivabilità e linearizzazione. Se f è derivabile in x0 la sua retta tangente approssima localmente il grafico di f nel senso che: Derivabilità e continuità. (Conseguenza immediata della linearizzazione) e contresempio. (Ma non approfondirei il tema della non derivabilità oltre un paio di esempi). Derivata del prodotto. (Dimostrazione per linearizzazione?). Osservazione dimensionale. Esempi di applicazione: derivata di xn, iterativamente; derivata della radice; derivata di xex, xsinx, …

Il calcolo delle derivate Derivata del reciproco e del quoziente. (Dimostrare la prima per linearizzazione –o al solito modo- e la seconda dalla prima). Esempi: derivata di tanx e cotgx, funzioni razionali (es. iperbole equilatera), 1/xn… Derivazione della funzione composta. (“Dimostrazione” per linearizzazione, osservazione dimensionale, caso particolare del cambiamento di scala). Qualche esempio utile:

Il calcolo delle derivate Derivazione della funzione inversa. Richiamare cos’è la funzione inversa, esemplificando. Dimostrazione parziale supponendo l’inversa già derivabile. Esempi: radice n-esima, potenza a esponente razionale, (arctanx)’, (arcsinx)’, logx (ritroviamo). Esempi tipici di riepilogo:

I teoremi fondamentali del calcolo differenziale Il problema della ricerca dei massimi e minimi: definizioni…. Teorema di Fermat. La dimostrazione usa la definizione di derivata e il teorema di permanenza del segno. Contresempi: |x| in [-1,1], x3 in [-1,1], x in (0,1)… Talvolta Fermat è sufficiente a discutere max e min. Ad esempio... Teorema di Lagrange (si può dimostrare inglobando il teorema di Rolle). Si utilizza il teorema di Weierstrass e il teorema di Fermat. Test di monotonia. Dimostrarlo, è istruttivo e si userà molto. Studio dei punti di massimo e minimo di una funzione. Esempio... Caratterizzazione delle funzioni a derivata nulla, primitiva e loro insieme. Tutto questi è un blocco logico che è significativo sviluppare; insieme ai teoremi di Weierstrass e permanenza del segno sono un esempio significativo di “teoria”. Si possono ora fare degli studi di funzione in cui si completano le informazioni di limiti e asintoti con l'indicazione quantitativa dei punti di massimo e minimo. Qualche esempio tipico: