Fotonica Proprietà generali 2

Posto Si ha Proprietà di scala 1 a a/s V sistema fotonico un cambio di scala spaziale rinormalizza TUTTI gli stati allo stesso modo

Thickness d 1 Thickness d 2 =d 1 /2 (s=2) costante Proprietà di scala 1

costante No modes

Proprietà di scala in QM Hydrogen Harmonic oscillator

Proprietà di non scala in QM

Proprietà di scala Photonics vs. QM

Proprietà di scala QM seguendo Joannopolous una scala intrinseca di lunghezze ed una scala intrinseca di energia

Proprietà di scala 2 Che succede se? Dobbiamo risolvere Quindi

Proprietà di scala 2 Gli autovettori (i modi) restano invariati ma le frequenze sono scalate di s Che succede se? Dobbiamo risolvere Quindi

Spettro discreto vs continuo Se e solo se V =  Spettro continuo  Stati delocalizzati Spettro discreto  Stati localizzati

Metodi perturbativi Perturbazione dielettrica Perturbazione magnetica

Metodi perturbativi Perturbazione dielettrica Perturbazione magnetica

Metodi perturbativi Perturbazione dielettrica

Mezzo dielettrico non magnetico (  =1,  =  (r))) Perturbazione dielettrica

Metodo perturbativo Autostati e autovalori del problema iniziale Perturbazione dielettricaSoluzione generale Stima variazione n-esimo autostato (hp piccola perturbazione) Stima variazione n-esimo autovalore

Metodo perturbativo Proiezione sullo stato n-esimo Ricordando che per autostati vale: Si ha:

Metodo perturbativo Quindi Ponendo: e se Si ottiene: Un aumento di dielettrico produce un red shift Una diminuzione di dielettrico produce un blue shift

Correzione Perturbativa Fotonica Correzione Perturbativa Elettronica

Correzione Perturbativa Fotonica Correzione Perturbativa Elettronica

Metodi perturbativi Perturbazione dielettrica Perturbazione magnetica

Mezzo dielettrico e magnetico

Metodi perturbativi Perturbazione magnetica in un mezzo dielettrico

Perturbazione magnetica Mezzo dielettrico non magnetico (  =1,  =  (r)))

Metodo perturbativo Autostati e autovalori del problema iniziale Perturbazionemagnetica Stima variazione n-esimo autostato (hp piccola perturbazione) Stima variazione n-esimo autovalore

Metodo perturbativo Proiezione sullo stato n-esimo Ricordando che per autostati vale: Si ha:

Metodo perturbativo Quindi Ponendo: e se Si ottiene: Un aumento di  produce un red shift Una diminuzione di  produce un blue shift

Correzione Perturbativa Fotonica Correzione Perturbativa Elettronica

Teorema di Bloch n=indice di banda (numera i modi in ordine di  crescente) k=vettore onda modo fotonico

First Brillouin Zone Il vettore d’onda definisce univocamente un modo solo nella FBZ Tutti I modi sono rappresentati nella FBZ Prima zona di Brilluoin (FBZ) Th. Bloch

Time-reversal Le bande sono simmetriche in k

n1n1 n2n2 a PhC in 1D z

Infinite 1D systems at Legge di scala

n1n1 n2n2 a x y PhC in 2D  X M  -point k=0 X-point k=(  /a,0), etc. M-point k=(  /a,  /a), etc.

Struttura a bande

a PhC in 3D FCC n1n1 n2n2

FotonicaElettronica Campo Problema autovalori Operatore Hermitiano Principio variazionale

FotonicaElettronica Energia Legge di scala Teorema Bloch

FotonicaElettronica Bande FBZ Correzione perturbativa Contiene tutti e soli i valori non ridondanti di k