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GLI INSIEMI 2^PARTE LE OPERAZIONI
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INTERSEZIONE “A B” ^ ^ A B B A A B = xx A x B
è l’insieme degli elementi che appartengono contemporaneamente ad A e a B cioè gli elementi in comune A B B A Scriveremo: A B = xx A x B ^ simbolo di congiunzione , si legge: e contemporaneamente ^
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C A = a; b; c; d; e; f m B = d; e; f; g; h; i; l n g
esempio - intersezione fra tre insiemi Dati gli insiemi: C A = a; b; c; d; e; f m B = d; e; f; g; h; i; l n g C = m; n; d B A a d b i e h Trovare: A B C c f l Solo l’elemento d appartiene contemporaneamente ai tre insiemi, quindi: A B C = {d}
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CASI PARTICOLARI di INTERSEZIONE
A A = A A = A Ā = A U = A se A B = , A e B si dicono DISGIUNTI se B A allora A B = B
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UNIONE “A B” A B B A A B = xx A v x B
è l’insieme degli elementi che appartengono ad A “o” a B, cioè ad almeno uno dei due insiemi dati A B B A Scriveremo: A B = xx A v x B V simbolo di disgiunzione si legge: “o” – “oppure”
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CASI PARTICOLARI DELL’UNIONE
A A = A A = A A Ā= U se B A allora A B = A se A e B sono insiemi disgiunti allora A B è formata da tutti gli elementi di A e di B
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A B = a; b; c; d; e; f; g; h; i; l
A B esempi A B A = a; b; c; d; e; f B = d; e; f; g; h; i; l B A g a d i b e h c f l A B = d; e; f A B = a; b; c; d; e; f; g; h; i; l
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si tolgono ad A tutti gli elementi che appartengono a B (cioè A B)
DIFFERENZA. “A - B” è l’insieme formato da tutti gli elementi di A che non appartengono a B si tolgono ad A tutti gli elementi che appartengono a B (cioè A B) A B Scriveremo: A - B = xx A x B ^
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A = a; b; c; d; e; f B = d; e; f; g; h; i; l A B g a d i
esempi: differenza A - B e B - A A = a; b; c; d; e; f B = d; e; f; g; h; i; l A B g a d i b e h c f l A - B = a; b; c B - A = g; h; i; l si noti che A - B ≠ B-A
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CASI PARTICOLARI DELLA DIFFERENZA
A - A = A - = A se A B = allora A - B = A e B - A = B se B A allora B - A =
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INSIEME DELLE PARTI “P(A)”
dato un insieme A, si definisce insieme delle parti di A e si indica con P(A) l’insieme di tutti i SOTTOINSIEMI propri e impropri di A. A = a; b; c; A a c b dato l’insieme A di fig. tutti i suoi sottoinsiemi sono: a b c a; b a; c b; c a; b; c quindi: P(A) = ; a; b; c; a; b; a; c; b; c; a; b; c Si noti che gli elementi di P(A) sono INSIEMI Se A contiene n elementi, P(A) contiene 2n sottoinsiemi Nell’es. di fig. si ha: n =3 → 23 =8
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PARTIZIONE DI UN INSIEME
dato un insieme A, si consideri un certo numero n di suoi sottoinsiemi (che indichiamo con Ai) si dice che questi sottoinsiemi formano una partizione di A se: A A2 A1 A3 A5 A4 ogni sottoinsieme è proprio Ai A e Ai , i 1 i sottoinsiemi sono a due a due disgiunti Ai Ak = con i k 2 l’unione di tutti i sottoinsiemi dà l’insieme A A1 A2 A3 A4 A5 = A 3
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es. Dati gli insiemi: A = a; b; c; e
PRODOTTO CARTESIANO dato due insiemi A e B, considerati gli elementi x A e y B, si definisce prodotto cartesiano dei due insiemi A e B (si indica A x B, si legge A cartesiano B), l’insieme formato da tutte le possibili coppie ordinate (x; y) Scriveremo: A x B = (x; y)x A e y B (è un insieme di coppie di elementi) A B a 1 es. Dati gli insiemi: A = a; b; c; e B = 1; 2 b 2 c avremo: A x B = (a; 1), (a; 2), (b; 1), (b; 2), (c; 1), (c; 2) IL NUMERO DELLE COPPIE ORDINATE CHE COMPONGONO IL PRODOTTO CARTESIANO E’ UGUALE AL PRODOTTO FRA I NUMERI DEGLI ELEMENTI DI CIASCUN INSIEME Nell’es. rappresentato avremo: 3x2 =6 coppie.
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RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEL PRODOTTO CARTESIANO
b c 1 2 A B RAPPRESENTAZIONE DELL’ES. PRECEDENTE: Rappresentazione SAGITTALE a c 1 2 b A B x y Rappresentazione CARTESIANA sull’asse x si rappresentano nell’ordine gli elementi di A sull’asse y si rappresentano nell’ordine gli elementi di B OGNI PUNTO RAPPRESENTA UNA COPPIA ORDINATA DI ELEMENTI Rappresentazione mediante TABELLE A DOPPIA ENTRATA
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OSSERVAZIONI SUL PRODOTTO CARTESIANO
ogni coppia è una coppia ordinata di elementi, quindi: (x; y) (y; x) di conseguenza: A x B B x A A x A = A2 A x B x C B x A x C B x A x C A x C x B …. se m, n, p sono il numero degli elementi degli insiemi A, B, C allora l’insieme prodotto cartesiano dei tre insiemi conterrà mxnxp elementi.
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il diagramma ad albero C x B x A Es. Siano dati gli insiemi:
Esso è utile per determinare l’insieme di tutte le possibili “coppie” ordinate di un prodotto cartesiano. Es. Siano dati gli insiemi: A = a; b B = ; C = 1; 2; 3 e si voglia determinare il prodotto cartesiano A x B x C SI DISPONGONO GLI ELEMENTI DI OGNI INSIEME, IN ORDINE, COME IN FIG. (a; ; 1) Nel nostro caso non avremo delle “coppie” ma delle “terne” ordinate di elementi. Per la determinazione è sufficiente seguire il percorso delle frecce 1 (a; ; 2) 2 (a; ; 3) 3 a 1 (a; ; 1) (a; ; 2) 2 (a; ; 3) 3 (b; ; 1) 1 (b; ; 2) 2 (b; ; 3) 3 b (b; ; 1) 1 ESERCIZIO: ESEGUIRE IL PROD. CARTES. C x B x A (b; ; 2) 2 (b; ; 3) 3
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C A = a; b; c; d; e; f m B = d; e; f; g; h; i; l n g
Esercizio - intersezione e differenza fra insiemi Dati gli insiemi: C A = a; b; c; d; e; f m B = d; e; f; g; h; i; l n g C = m; n; d B A a d b i e h Trovare: C – ( A B) c f l troviamo prima A B : A B = d; e; f quindi: C – (A B ) = {m; n}
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C B A (B C ) – A Esercizio - intersezione e differenza fra insiemi
Dati gli insiemi A, B, C C Individuare quale espressione fra insiemi rappresenta l’area evidenziata: B A Notiamo che è una parte fra l’intersezione di B con C (C B) ma che non appartiene ad A … quindi (B C ) – A
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C B A (A B ) – C Esercizio - unione e differenza fra insiemi
Dati gli insiemi A, B, C C Individuare quale espressione fra insiemi rappresenta l’area evidenziata: B A Notiamo che è una parte fra l’unione di A con B (A B) ma che non appartiene ad C … quindi (A B ) – C
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C B A [C – (A B )] [(A B ) – C]
Esercizio - intersezione, unione e differenza fra insiemi Dati gli insiemi A, B, C C Individuare quale espressione fra insiemi rappresenta l’area evidenziata: B A Notiamo che: una 1^parte rappresenta C meno gli elementi di A e B C – (A B ) una 2^parte rappresenta gli elementi in comune fra A e B ma che non appartengono a C (A B ) – C Quindi la l’area evidenziata è l’unione fra le due parti [C – (A B )] [(A B ) – C]
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LE PROPRIETA’ DEGLI INSIEMI
Propr. COMMUTATIVA A B = B A LEGGI di DE MORGAN A B = B A A B = A B Propr. ASSOCIATIVA A B = B A (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) Propr. DISTRIBUTIVA A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) Propr. dell’ ASSORBIMENTO A (A C) = A A (A C) = A
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