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Sistemi dinamici discreti e computabilità intrinseca Marco Giunti Università di Cagliari

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Presentazione sul tema: "Sistemi dinamici discreti e computabilità intrinseca Marco Giunti Università di Cagliari"— Transcript della presentazione:

1 Sistemi dinamici discreti e computabilità intrinseca Marco Giunti Università di Cagliari

2 Sommario Tesi generale – La teoria della computazione è una branca speciale della teoria dei sistemi dinamici e i suoi oggetti (i sistemi computazionali) sono un tipo speciale di sistemi dinamici discreti. La differenza specifica di questi oggetti, cioè la proprietà di essere computazionale, può essere pensata come una proprietà intrinseca alla loro dinamica. 1.Sistemi dinamici: definizione ed esempi. 2.Sistemi computazionali: definizione 1 e perché, secondo questa definizione, essere computazionale non è una proprietà intrinseca. 3.Rappresentazioni dinamicamente effettive di sistemi discreti e una nuova definizione 2, intrinseca, di sistema computazionale. 4.Possibili conseguenze per la teoria della computabilità: (alcune) funzioni non ricorsive possono risultare computabili da una particolare classe di sistemi computazionali intrinseci.

3 Un Sistema Dinamico (DS) è un modello matematico che esprime lidea di un sistema deterministico arbitrario (discreto/continuo, revers./irrevers.) Un Sistema Dinamico (DS) è un modello (M, (g t ) tT ) tale che: 1.linsieme M non è vuoto; M è detto lo spazio degli stati del sistema; 2.linsieme T è Z, Z + (interi), oppure R, R + (reali); T è detto linsieme tempo; 3.(g t ) tT è una famiglia di funzioni da M a M; ciascuna funzione g t è detta una transizione di stato o un t-avanzamento del sistema; 4.per ogni t e w T, per ogni x M, a.g 0 (x) = x; b.g t+w (x) = g w (g t (x)).

4 Significato intuitivo della definizione di sistema dinamico gt+wgt+w x gwgw x g0g0 x gtgt t0t0 t0+tt0+t gt(x)gt(x) t gtgt

5 Esempio di un DS continuo (Modello Galileiano della caduta libera dei gravi) Specificazione esplicita Sia F = (M, (g t ) tT ) tale che M = SV and S = V = T = numeri reali g t (s, v) = (s + vt + at 2 /2, v + at) Specificazione implicita Sia F = (M, (g t ) tT ) tale che M = SV and S = V = T = numeri reali ds(t)/dt = v(t), dv(t)/dt = a

6 Uno schema funzionale standard di una macchina di Turing Una realizzazione fisica di una macchina di Turing è un qualsiasi sistema concreto che soddisfa (implementa, funziona secondo) lo schema funzionale astratto qui sotto Unità di controllo Memoria interna Memoria esterna Testa leggi/scrivi Testa leggi/scrivi/muovi ajaj qiqi ajaj qiqi.. :... q i a j :a k Lq m... : :... akLakL qmqm

7 Esempio di un DS discreto (Schema funzionale di una macchina di Turing) Lo schema funzionale astratto di una macchina di Turing può essere identificato con il sistema dinamico discreto T = (M, (g t ) tT ) tale che: M = PCQ, dove P = Z (interi) è linsieme delle possibili posizioni relative della testa leggi/scrivi/muovi, C è linsieme dei possibili contenuti di tutta la memoria esterna, e Q è linsieme dei possibili contenuti della memoria interna; T = Z + (interi non negativi); sia g la funzione da M a M determinata dalla tavola delle istruzioni dello schema funzionale; allora, g 0 è la funzione identità su M e, per ogni t 0, g t è la t-esima iterazione di g.

8 Sistemi computazionali: concetto intuitivo Caratterizzazione estensionale: il termine sistema computazionale si riferisce a qualsiasi apparato del tipo studiato dalla teoria della computazione standard o elementare; per es. macchine di Turing, macchine a registri, automi cellulari, automi a stati finiti, ecc. Discretezza e determinismo sono due proprietà condivise da tutti questi apparati; perciò, i cosiddetti calcolatori analogici non sono sistemi computazionali in questo senso. Caratterizzazione intensionale: i sistemi computazionali possono essere identificati con quei sistemi dinamici deterministici discreti che possono essere rappresentati in modo effettivo.

9 La domanda cruciale: che cosè una rappresentazione effettiva di un sistema dinamico discreto? Una definizione naturale (forse la più naturale?) di rappresentazione effettiva è la seguente: una rappresentazione effettiva di un sistema dinamico discreto DS = (M, (g t ) tT ) è una coppia (u, DS # ) tale che: 1. DS # = (N, (h t ) tT ) è un sistema dinamico discreto, dove N è Z +, oppure un segmento iniziale finito di Z + ; 2. u: N M è un isomorfismo di DS # in DS; 3. per ogni t T, h t è una funzione ricorsiva.

10 La prima definizione di sistema computazionale. E intrinseca? Se prendiamo per buona la definizione precedente di rappresentazione effettiva di un sistema dinamico discreto, possiamo definire: DS è un sistema computazionale 1 sse DS è un sistema dinamico discreto, ed esiste una rappresentazione effettiva di DS. Domanda: la proprietà di essere computazionale 1 è intrinseca alla dinamica del sistema discreto DS? In effetti, DS potrebbe ammettere due rappresentazioni numeriche isomorfe, tali che una è ricorsiva e laltra no. In questo caso, la proprietà di essere computazionale 1 non potrebbe dirsi intrinseca alla dinamica di DS, perché dipenderebbe dalla rappresentazione numerica di tale dinamica che abbiamo scelto.

11 Essere computazionale 1 non è una proprietà intrinseca Esiste un DS discreto tale che: esso è ovviamente computazionale 1 (cioè, ha una rappresentazione effettiva = ha una rappresentazione numerica ricorsiva); ma ha anche una rappresentazione numerica che non è ricorsiva (cioè, essa soddisfa le prime due condizioni della definizione di rappresentazione effettiva, ma non la terza). Piuttosto sorprendentemente, questo sistema è DS 1 = (Z +, (s n ) nZ + ), cioè, il sistema dinamico discreto generato dalliterazione della funzione successore s.

12 DS 1 = (Z +, (s n ) n Z + ) è computazionale 1, ma non intrinseco. Schizzo della prova (1/2) Ovviamente, una rappresentazione numerica ricorsiva di DS 1 = (Z +, (s n ) nZ + ), è (i, DS 1 ), dove i: Z + Z + è la funzione identità. Si consideri una biiezione arbitraria p: Z + Z +, e la nuova funzione successore s p su Z + che corrisponde allordine indotto da p:

13 DS 1 = (Z +, (s n ) n Z + ) è computazionale 1, ma non intrinseco. Schizzo della prova (2/2) Perciò, (p -1, DS p ), dove DS p è il sistema dinamico discreto generato da s p, è una rappresentazione numerica di DS 1. Quante rappresentazioni (p -1, DS p ) ci sono? Tante quante il numero delle biiezioni p sugli interi non negativi. Ma il numero di tali biiezioni è più che numerabile. Perciò, esiste p* tale che (p* -1, DS p* ) è una rappresentazione numerica non ricorsiva di DS 1. Q.E.D.

14 La dimostrazione precedente è sorprendente E strano arrivare a capire che un sistema dinamico come DS p*, che ha esattamente la stessa struttura della successione dei numeri naturali, è generato da una funzione pseudo-successore non ricorsiva s p*, e che (p* 1, DS p* ) perciò costituisce una fedele rappresentazione numerica non ricorsiva di DS 1, il quale, al contrario, è generato dalla funzione successore autentica, che è ovviamente ricorsiva.

15 Potrebbe ( p* 1, DS p* ) essere una rappresentazione numerica non fedele della dinamica di DS 1 ? Confrontiamo la buona rappresentazione (i, DS 1 ) con la strana (p* 1, DS p* ): se ci è data tutta la struttura di DS 1 (cioè, la funzione successore s: Z + Z + ), possiamo produrre meccanicamente la funzione identità i semplicemente partendo dallo stato 0 e contando 0, poi andando allo stato s(0) = 1 e contando 1, e così via; ma sembra che, per ogni stato di partenza, andare avanti e indietro sulla struttura di DS 1 e contare ogni volta che si raggiunge un nuovo stato non possa permetterci di produrre una biiezione così complessa come p* 1.

16 La rappresentazione strana ( p* 1, DS p* ) non è dinamicamente effettiva Quindi, la buona rappresentazione (i, DS 1 ) può essere costruita effettivamente per mezzo di una procedura meccanica che prende per data la struttura completa dello spazio degli stati M di DS 1 ; sembra invece che la strana (p* 1, DS p* ) non possa essere costruita effettivamente in questo modo. Per distinguere i due tipi di rappresentazione, introduciamo il concetto di rappresentazione dinamicamente effettiva.

17 Rappresentazione dinamicamente effettiva (la condizione 3 non è formale) Una rappresentazione dinamicamente effettiva di un sistema dinamico discreto DS = (M, (g t ) tT ) è una coppia (u, DS # ) tale che: 1. DS # = (N, (h t ) tT ) è un sistema dinamico discreto, dove N è Z +, oppure un segmento iniziale finito di Z + ; 2. u: N M è un isomorfismo di DS # in DS; 3. lenumerazione u: N M può essere costruita effettivamente per mezzo di una procedura meccanica che prende per data la struttura completa dello spazio degli stati M di DS (e nientaltro).

18 Linee per unanalisi formale della condizione 3 La condizione 3 della precedente definizione può essere analizzata una volta che si sia chiarito il significato di: struttura completa dello spazio degli stati; procedura meccanica che prende per data tale struttura. In estrema sintesi: la struttura dello spazio degli stati può essere identificata con un tipo speciale di grafo (infinito) connesso, che può assumere nove tipi di forme generali; La procedura meccanica è quella eseguita da un tipo speciale di macchina ideale, che può muoversi avanti e indietro sui lati di tale grafo e contare 0, 1, 2,..., n,... ogni volta che raggiunge un nuovo nodo.

19 La seconda definizione di sistema computazionale. E intrinseca? Perciò, adesso abbiamo due possibili esplicazioni formali dellidea intuitiva di rappresentazione effettiva di un DS discreto; La prima definizione è la base del concetto di sistema computazionale 1. Ma questo concetto non è intrinseco alla dinamica di DS, perché dipende dal modo in cui rappresentiamo numericamente tale dinamica; sulla base della seconda definizione, possiamo ora definire: DS è un sistema computazionale 2 sse DS è un sistema dinamico discreto, ed esiste una rappresentazione dinamicamente effettiva di DS. Domanda: la proprietà di essere computazionale 2 è intrinseca alla dinamica del sistema discreto DS?

20 Essere computazionale 2 è una proprietà intrinseca Primo, essere computazionale 2 è intrinseca alla dinamica di un DS discreto in un senso ovvio, ma non banale: infatti, DS ha una rappresentazione numerica (u, DS # ) la cui enumerazione u: N M è costruita effettivamente per mezzo di una procedura meccanica che prende per data la struttura completa dello spazio degli stati M di DS, e cioè, proprio la dinamica di DS. Secondo, cè un forte argomento informale in favore della congettura che due qualsiasi rappresentazioni dinamicamente effettive dello stesso DS siano o ambedue ricorsive o ambedue non ricorsive.

21 Due scenari per la teoria della computabilità Se (i) accettiamo la seconda definizione di sistema computazionale e (ii) la congettura precedente è vera, ci sono due scenari possibili: 1. ogni sistema computazionale 2 DS è intrinsecamente ricorsivo, cioè, per ogni rappresentazione dinamicamente effettiva (u, DS # = (N, (h t ) tT )) di DS, la dinamica (h t ) tT risulta ricorsiva; 2. qualche sistema computazionale 2 DS è intrinsecamente non ricorsivo, cioè, per ogni rappresentazione dinamicamente effettiva (u, DS # = (N, (h t ) tT )) di DS, la dinamica (h t ) tT risulta non ricorsiva.

22 Conseguenze per la tesi di Turing-Church come tesi matematica La tesi di Turing-Church (tesi-TC) può essere interpretata in molti modi diversi. La tesi Matematica di Turing-Church (tesi-MTC) può essere enunciata nel modo seguente: ogni funzione numerica che può essere computata da un sistema computazionale (nel senso intuitivo) è ricorsiva. Ma allora, ammesso che sistema computazionale 2 sia una buona esplicazione per il concetto intuitivo di sistema computazionale, è chiaro che la verità dello scenario (1) o dello scenario (2) implica, rispettivamente, la verità o la falsità della tesi-MTC.

23 E tutto Grazie


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