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Educazione al pensiero statistico dalla scuola primaria alle superiori Statistica in classe Gianfranco Arrigo Dipartimento dell’istruzione e della cultura,

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Presentazione sul tema: "Educazione al pensiero statistico dalla scuola primaria alle superiori Statistica in classe Gianfranco Arrigo Dipartimento dell’istruzione e della cultura,"— Transcript della presentazione:

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3 Educazione al pensiero statistico dalla scuola primaria alle superiori Statistica in classe Gianfranco Arrigo Dipartimento dell’istruzione e della cultura, Laboratorio di didattica della matematica Bellinzona (Svizzera)

4 Introduzione Fase di preparazione Fase di concettualizzazione

5 Introduzione Lo scopo del mio intervento è di stimolare gli insegnanti e chi si occupa di didattica della matematica ad assumersi il compito di introdurre l'educazione al pensiero statistico nella scuola (da quella dell’obbligo in avanti) e di accentuarne la pratica in classe.

6 Introduzione Le mie proposte si suddividono in due gruppi che concernono due fasi distinte dell’azione didattica. La prima fase, che chiamo di preparazione, prevede una serie di attività di risoluzione di problemi avente lo scopo di abituare l’allievo a ragionare in senso statistico e di costruirsi un solido bagaglio di esperienza euristica, che consentirà la fondazione della seconda fase.

7 Introduzione La seconda fase, che definisco di generalizzazione, di concettualizzazione e di prima formalizzazione si fonda sulla prima e ha lo scopo di porre le basi (elementari) essenziali di questa disciplina. Questa fase trova posto principalmente nella scuola superiore, anche se talune concettualizzazioni possono essere raggiunte prima.

8 Educazione statistica Costituisce, il coronamento del lavoro fatto nei campi combinatorio e probabilistico. Fondamentalmente si distinguono due aspetti statistici: "descrittivo", altrimenti detto "di analisi esplorativa dei dati", di tipo statico, basato sull'osservazione di dati osservati; "inferenziale", di tipo dinamico, consistente nell'operare "stime statistiche", indissolubilmente legate al concetto di "rischio assunto" (o, se si preferisce, a quello di "grado di affidabilità scelto").

9 Educazione statistica Troppo spesso, a scuola, ci si accontenta del primo aspetto, che indubbiamente è più facile e non abbisogna nemmeno del supporto probabilistico. Questa scelta risulta però estremamente limitativa dell'interesse della disciplina. La parte più stimolante è quella inferenziale ed è proprio praticando situazioni di inferenza statistica che l'allievo riesce a capire l'essenza del ragionamento probabilistico e statistico. Il compito della scuola consiste nel preparare il terreno all'apprendimento della statistica nei suoi due aspetti descrittivo e inferenziale.

10 L'aspetto descrittivo Il primo aspetto può essere costruito attorno alla necessità di trovare caratteristiche rappresentative di una popolazione. Per esempio rispondere a domande del tipo: - Sono più alti (statura) i greci o gli italiani? - Sono più ricchi gli svizzeri o gli statunitensi? - In agosto fa più caldo a Cortina o a San Moritz? - Si guastano di più le Mercedes o le Fiat? - (…)

11 L'aspetto descrittivo L'allievo, in questa prima fase, va messo di fronte a una molteplicità di dati numerici osservati. Per gli alunni delle scuole elementari e medie, questo fatto, costituisce, di solito, una novità (i problemi di matematica normalmente prevedono pochi dati). Occorre quindi abituare l'allievo ad affrontare queste situazioni con consapevolezza delle difficoltà che comportano.

12 L'aspetto descrittivo Per esempio, calcolare la media aritmetica di due numeri è operazione elementare; se i numeri sono tre o quattro, non cambia granché; ma se i numeri sono cinquanta o cento allora le cose mutano radicalmente. Nessuno pretende che i calcoli si debbano eseguire "a mano”: si usi pure la calcolatrice. Ma non si pensi che sia semplice inserire venti, trenta o cinquanta dati in una calcolatrice. Occorre organizzarsi per evitare che la minima distrazione non obblighi a ricominciare da capo.

13 L'aspetto descrittivo Il computer può facilitare l'immissione di dati sotto forma di tabelle (con uno scanner e un programma OCR si può trasportare un elenco anche lunghissimo di dati in un foglio elettronico, pronti per l'elaborazione).

14 L'aspetto descrittivo Il lavoro in classe dev'essere finalizzato all'accumulo di esperienze attorno ai concetti di centralità ("valore rappresentativo" o ”valore medio") e di dispersione (grado di affidabilità o di fiducia del valore medio). Opportune esperienze dovranno aiutare l'alunno a vedere come valore rappresentativo non sempre la media aritmetica, ma anche la mediana e in certi casi la moda.

15 L'aspetto descrittivo Circa il concetto di dispersione, il parametro più vicino all'esperienza del neofita è lo scarto medio assoluto. In statistica, per ragioni di opportunità teorica e tecnica, si preferisce lo scarto tipo. Dopo aver visto che le due misure concordano sempre, si può adottare la seconda (scarto tipo), dal momento che viene calcolata automaticamente dalle calcolatrici e dai computer.

16 L'aspetto descrittivo Non si dimentichino le situazioni che presentano un numero elevato di dati osservati: esse portano a capire la necessità di ordinare i dati, di suddividerli in classi e di contare le frequenze (assolute) di ogni classe. Quando poi si volessero confrontare due o più insiemi di dati osservati di dimensione diversa, la necessità di normare le frequenze assolute (e di giungere così alle frequenze relative) balza evidente.

17 L'aspetto descrittivo: proposte didattiche PROBLEMA 1: Lavaggio automatico per automobili Una società possiede tre stazioni di lavaggio: AUTOPULITA, AUTOBRILLANTE, AUTOLUCENTE. Le tre stazioni offrono gli stessi 9 programmi (dal più semplice indicato con la lettera A, al più raffinato denominato con la lettera I). La differenza di costo da un programma al successivo è sempre di 1,50 Fr.

18 L'aspetto descrittivo: proposte didattiche Ecco i dati relativi all'esercizio del mese scorso: A.PULITA A.BRILLANTE A.LUCENTE

19 L'aspetto descrittivo: proposte didattiche Durante la riunione degli azionisti si cerca di stimare quale delle tre stazioni ha avuto il maggior ricavo, senza ricorrere al calcolo preciso dei tre importi. «Visto che i prezzi sono uguali in tutte le stazioni» dice Piero, responsabile di AUTOLUCENTE, «basta calcolare il numero di lavaggi eseguito da ogni stazione.» È corretta, secondo te, la proposta di Piero?

20 L'aspetto descrittivo: proposte didattiche Per meglio capire, si può ricorrere agli istogrammi (in ascissa: tipi di lavaggio; in ordinata: numero lavaggi): AUTOPULITA AUTOBRILLANTE AUTOLUCENTE

21 L'aspetto descrittivo: proposte didattiche Gli istogrammi mostrano come la situazione della stazione AUTOPULITA sia interessante, anche se presenta un numero inferiore di lavaggi eseguiti. L’istogramma mostra un maggiore carico a destra. Ciò significa che i clienti di AUTOPULITA preferiscono i programmi di lavaggio più completi e di conseguenza più cari; costituiscono, cioè, una buona clientela. Mentre quelli di AUTOBRILLANTE si orientano sui programmi medi… …quelli di AUTOLUCENTE scelgono prevalentemente i programmi di lavaggio più semplici e meno costosi.

22 L'aspetto descrittivo: proposte didattiche Ma a Piero, il battagliero responsabile di AUTOLUCENTE, questi discorsi non vanno, per cui si decide di calcolare i ricavi ottenuti da ciascuna stazione. AUTOPULITA AUTOBRILLANTE AUTOLUCENTE

23 L'aspetto descrittivo: proposte didattiche A questo punto Piero si pentì di aver insistito. Il ricavo di AUTOPULITA è nettamente superiore a quelli delle altre due stazioni. Da ultimo ci si può porre la domanda: qual è il ricavo medio per lavaggio ottenuto da ciascuna stazione? Basta calcolare la media aritmetica dei ricavi:

24 L'aspetto descrittivo: proposte didattiche Conclusione Se consideriamo la scala dei prezzi in ordine crescente, possiamo dire che il valore centrale (equidistante dagli estremi della scala), detto mediana, è 9 Fr. L'unica stazione che vanta una media superiore alla mediana è ancora una volta AUTOPULITA. Siamo giunti alla fine di un primo itinerario statistico che ci ha permesso di familiarizzarci con istogrammi, con la media aritmetica e con la mediana: punti importanti di partenza per qualunque discorso statistico.

25 L'aspetto descrittivo: proposte didattiche Problema 2: media aritmetica o mediana? Ecco la lista completa dei salari (in Fr) che la ditta GANCISA distribuisce ai propri dipendenti

26 L'aspetto descrittivo: proposte didattiche «Egregio Direttore, è scandaloso che un dirigente si permetta di dichiarare il falso in pubblico…» «Leggo sui quotidiani di oggi che la GANCISA, secondo lei, praticherebbe nei confronti dei propri dipendenti una politica dei salari all'avanguardia.»

27 L'aspetto descrittivo: proposte didattiche «L'ho detto e lo confermo: il salario medio di un dipendente della nostra ditta (cioè la media aritmetica dei salari) è di Fr…» «…cioè maggiore di 500 Fr rispetto alla media nazionale che, per una impresa medio- piccola come la nostra, si situa attorno ai Fr mensili, come lei sa meglio di me.»

28 L'aspetto descrittivo: proposte didattiche «Spiacente di contraddirla, ma il salario medio mensile di un dipendente della GANCISA, cioè il valore centrale, la mediana, se posso permettermi di usare un concetto statistico … è di miseri Fr, ben Fr al di sotto della media.»

29 L'aspetto descrittivo: proposte didattiche Chi dei due personaggi ha ragione? 4500 Fr 5496 Fr La domanda è pertinente?

30 L'aspetto descrittivo: proposte didattiche Problema 3: sulla moda In una località della Svizzera centrale è stata fatta un'inchiesta relativa all'ora di chiusura degli esercizi pubblici (la cosiddetta "Polizeistunde"). Ecco, sulla destra, i risultati organizzati in una tabella:

31 L'aspetto descrittivo: proposte didattiche Un vostro amico vi chiede a che ora è fissata di regola la chiusura serale degli esercizi pubblici in quella località. Che cosa rispondete? La media aritmetica degli orari di chiusura è Sarebbe utile all’amico questa informazione?

32 L'aspetto descrittivo: proposte didattiche In realtà vi sono 6 orari di chiusura: 17.00, 18.00, 19.00, 22.00, 23.00, Può essere utile considerare il loro istogramma delle frequenze assolute.

33 L'aspetto descrittivo: proposte didattiche L’orario di chiusura è nettamente il più frequente:gli altri orari possono essere considerati eccezioni. Al nostro amico possiamo dire che, di regola, la chiusura è fissata alle Il valore più frequente di un insieme di dati osservati si dice moda. Può essere usato come valore medio, quando la sua frequenza è nettamente la più elevata.

34 L'aspetto descrittivo: proposte didattiche Problema 4: quando la media non basta… La stazione di Crestalunga contende i turisti alla rivale Cimabianca, posta sull’altro versante di una magnifica vallata alpina. La lotta per attirare gli sciatori è particolarmente intensa nel mese di gennaio… Venite in gennaio a sciare a Crestalunga: troverete neve bellissima, tanto sole e una temperatura media di –1 grado, ideale per la pratica del vostro sport preferito! Sciate in gennaio a Cimabianca: avrete ottima neve, sole e una temperatura media giornaliera di –1 grado, ideale per la pratica dello sci!

35 L'aspetto descrittivo: proposte didattiche Temperature medie giornaliere del mese di gennaio a Crestalunga (dal primo al 31 gennaio dello scorso anno) : 3–2–3–1– –6–9–12–12–10–6–2– –3–4–5–2 Temperature medie giornaliere del mese di gennaio a Cimabianca (dal primo al 31 gennaio dello scorso anno) : –10–2–10–30–2–1–2– 3–1–1–2–2–3–2–2– –31–2–2–2

36 L'aspetto descrittivo: proposte didattiche Un semplice calcolo mostra che la media aritmetica delle temperature medie giornaliere è di –1 grado in tutte e due le stazioni. Si può dire che la temperatura in gennaio nelle due stazioni sia molto simile? Dovendo condurre una classe di bambini o un gruppo di anziani per una settimana sciistica, quale delle due stazioni si farebbe preferire, dal punto di vista della variazione della temperatura?

37 L'aspetto descrittivo: proposte didattiche Il grafico cartesiano mostra chiaramente che le temperature a Crestalunga subiscono variazioni più consistenti.

38 L'aspetto descrittivo: proposte didattiche L'osservazione è confermata se si osserva il grafico delle differenze assolute di ciascun valore rispetto alla media (chiamate delta), di ogni stazione.

39 L'aspetto descrittivo: proposte didattiche Differenze assolute nella scuola elementare o media? In realtà non costituiscono alcuna difficoltà per i giovani allievi, i quali, senza farsi troppi problemi, nel calcolare le differenze fra i numeri di una coppia, non esitano a sottrarre sempre il minore dal maggiore. La differenza assoluta è un concetto che fa parte dell’apprendimento sommerso: peccato non sfruttarlo.

40 L'aspetto descrittivo: proposte didattiche Ci si chiede: è possibile trovare una misura della variazione della temperatura nelle due stazioni? La soluzione più coerente con quanto fatto finora consiste nel calcolare, per ciascuna stazione, la media aritmetica delle differenze assolute.

41 L'aspetto descrittivo: proposte didattiche In statistica: la differenza assoluta si chiama scarto assoluto e la media delle differenze assolute si chiama scarto assoluto medio. Lo scarto assoluto medio è la prima misura di dispersione che l’allievo incontra.

42 L'aspetto descrittivo: proposte didattiche In statistica la dipersione viene misurata per mezzo dello scarto tipo. È molto simile allo scarto assoluto medio, solo che, invece delle differenze assolute, si prendono i quadrati delle differenze (tra la media e ciascun valore). Si calcola poi la media dei quadrati delle differenze. E infine si estrae la radice quadrata del tutto.

43 L'aspetto descrittivo: proposte didattiche Per i puristi, ecco la formula finale… …che non fa paura se la si è vista nascere come alternativa allo scarto assoluto medio. Perché non limitarsi allo scarto assoluto medio? Perché in statistica, soprattutto per ragioni teoriche, si usa lo scarto tipo. Il vantaggio è che calcolatrici e computer lo calcolano automaticamente.

44 L'aspetto descrittivo: proposte didattiche Come si interpreta la dispersione? Come faccio a sapere se una certa dispersione è tanta o poca? Non c’è nessun criterio particolare. L’uso più semplice consiste nel confrontare le dispersioni di due diverse popolazioni. Per l’interpretazione di una singola dispersione, ci si basa solitamente sull’esperienza. A scuola l’esperienza viene acquisita affrontando situazioni diverse.

45 L'aspetto descrittivo: proposte didattiche Problema 5: una questione di dispersione Una squadra di basket sta vagliando l’acquisto di un pivot straniero. Si è procurato le tabelle relative ai punti messi a segno dai tre campioni nelle ultime 25 gare ufficiali alle quali hanno preso parte come titolari. I tre candidati sono tutti ottimi giocatori, ovviamente, ma il presidente desidera acquistare il giocatore che ha maggior continuità di rendimento.

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47 Dopo attento esame, e qualche calcolo, il presidente non ha dubbi: prende il telefono e chiama l'allenatore. «Pronto?» risponde costui. «Sono il presidente, buongiorno. Le comunico che ho deciso di ingaggiare per la prossima stagione…tu-tu-tu…» Proprio nell’istante in cui sta per pronunciare il nome del prescelto, la linea cade. Chi sarà stato scelto?

48 L'aspetto descrittivo: proposte didattiche Il giocatore che vanta la maggior continuità di rendimento è colui che denota risultati più raccolti attorno alla media, cioè quelli con il minore scarto assoluto medio. Ecco i risultati: Il prescelto è

49 L'aspetto descrittivo: proposte didattiche Ovviamente… John!!! Egli ha il minore scarto assoluto medio (2.32) e anche il minor scarto tipo (3.39).

50 L'aspetto descrittivo: proposte didattiche Problema 6: quando i dati sono tanti… In una fabbrica si dispone dei dati relativi alla produzione di un determinato articolo durante 125 giorni lavorativi consecutivi. Si vorrebbe stabilire un valore medio della produzione giornaliera e un valore di dispersione (attorno alla media). Per affrontare questo problema ci vuole un computer: basta un foglio elettronico. I dati sono riportati nella seguente tabella

51 L'aspetto descrittivo: proposte didattiche Ecco una prima vera situazione statistica: 125 dati da elaborare. Non c’è che dire…

52 L'aspetto descrittivo: proposte didattiche La prima idea è di ricorrere a una rappresentazione grafica. Il computer esegue in un attimo, ma l'effetto è deludente: l'istogramma che appare qui sotto assomiglia a una foresta caotica e non ci aiuta.

53 L'aspetto descrittivo: proposte didattiche Una buona idea suggerisce di ordinare i dati. Il computer lo fa subito, ed ecco il nuovo grafico.

54 L'aspetto descrittivo: proposte didattiche Il grafico mostra come i dati ordinati tendano a riunirsi a piccoli gruppi. Nasce così l'idea di suddividerli in classi. Il rango (cioè la lunghezza dell'intervallo che va dal dato minimo a quello massimo) si divide per il numero di classi che si vogliono ottenere. Il risultato dà l'ampiezza comune delle classi. Una buona approssimazione del numero di classi è dato da, con n numero di dati osservati.

55 L'aspetto descrittivo: proposte didattiche Decidiamo di formare 11 classi. Ampiezza: classe 1da a f. a.6centro classe 2da a f. a.5centro classe 3da a f. a.9centro classe 4da a f. a.14centro classe 5da a f. a.9centro classe 6da a f. a.11centro classe 7da a f. a.10centro classe 8da a f. a.16centro classe 9da a f. a.19centro classe 10da a f. a.18centro classe 11da a f. a.8centro Ecco le classi, i loro estremi, le loro frequenze assolute e i loro valori centrali (o centri):

56 L'aspetto descrittivo: proposte didattiche E finalmente, l’istogramma delle frequenze assolute…

57 L'aspetto descrittivo: proposte didattiche La media può essere calcolata sulla base dei centri e delle frequenze assolute delle classi. E analogamente si può calcolare la misura della dispersione (in questo caso usiamo lo scarto tipo).

58 L'aspetto descrittivo: proposte didattiche Problema 7: l’importanza delle frequenze relative BUONGAL e IPERPOLLO sono due note marche produttrici di polli in batteria. Un’associazione di consumatori ha eseguito dei controlli riguardanti il peso dei prodotti. Si sono pesati 70 polli BUONGAL e 55 polli IPERPOLLO. Di seguito i risultati in grammi:

59 L'aspetto descrittivo: proposte didattiche Polli BUONGAL (dati ordinati) Polli IPERPOLLO (dati ordinati)

60 L'aspetto descrittivo: proposte didattiche Il responsabile dell'associazione deve redigere un articolo per informare adeguatamente il pubblico sul peso di questi prodotti, poichè essi sono venduti al pezzo e allo stesso prezzo unitario. Come si deve orientare? Per farsene un'idea precisa, basta suddividere i dati in classi (formiamo 8 classi per ciascun insieme di dati) e confrontare i grafici delle frequenze.

61 L'aspetto descrittivo: proposte didattiche Siccome i due campioni di polli esaminati hanno dimensioni diverse (70 e 55), affinché il confronto abbia senso, occorre calcolare le frequenze relative, cioè i rapporti fra le assolute e la dimensione del campione corrispondente.


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