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L’algebra della logica delle proposizioni è K={0, 1} è un’algebra di Boole  Infatti la struttura soddisfa i 14 postulati Verità di P  1Falsità di P 

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1 L’algebra della logica delle proposizioni è K={0, 1} è un’algebra di Boole  Infatti la struttura soddisfa i 14 postulati Verità di P  1Falsità di P  0  Operazioni 0+0=00  0=00=1disgiunzione+ 0+1=10  1=01=0congiunzione  1+0=11  0=0negazione_ 1+1=11  1=1

2 L’algebra della logica delle proposizioni è è un’algebra di Boole è y=f(p, q,...)p, q proposizioni è I postulati dell’algebra sono proprietà della logica: __ f(a,b)=ab+abfunzione di equivalenza a  b x  y è, nell’algebra della logica, x  y infatti: 0  0; 0  1; 1  1

3 L’algebra della logica delle proposizioni (P e Q) o L y = f(P, Q, L) oppure e non

4 Forme elementari è Letterale  La variabile x o il suo complemento x è Termine elementare o Clausola  il prodotto di n letterali di variabili distinte è Fattore elementare  La somma di n letterali di variabili distinte acdacdclausole a+ba+cb+d+xfattori elementari

5 Forme elementari è Costituite da somme di clausole o da prodotti di fattori elementari ac+ad+bx (a+b)(d+c+x)(a+d)

6 Forme elementari è Mintermine (P)  Un termine elementare (clausola) di ordine n, cioè un prodotto dei letterali di tutte le n variabili P 0 =abP 1 =abP 2 =abP 3 =ab 11 2 =3  Esistono 2 n mintermini è Maxtermine (S)  La somma di n letterali, uno per ciascuna variabile. S 5 =a+b+c

7 Forme elementari P i =S i P i  P j =0S i +S j =1con i  j

8 Tabella di Verità è Una funzione si dice algebrica se è esprimibile come funzione delle sole funzioni elementari è Se l’algebra è finita, una funzione può rappresentarsi in forma tabellare definendo il valore della variabile dipendente per ogni combinazione dei valori delle n variabili indipendenti

9 Tabella di verità è N=K n  Nnumero complessivo di punti  Kvalori dell’algebra primordiale è M=K K n  M numero di funzioni di n variabili  K n numero complessivo di punti è M= 2 2 n =4 n  nell’algebra primordiale La tabella definisce una funzione che si chiama tabella di verità

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11 Forma canonica di primo tipo (P) è Una funzione di variabili, assegnata da una tabella di verità può essere espressa sotto forma disgiuntiva di congiunzioni (somma di prodotti). è Ciascun termine della somma è associato ad un “1” presente nella colonna della tabella ed è un prodotto delle n variabili, ciascuna delle quali è negata se compare uno “0” oppure non negata se c’è un “1”

12 Forma canonica di primo tipo (P) f(x 1, x 2, …, x i, …, x n ) = x i  f(x 1, x 2, …, 1, …, x n ) + x i  f(x 1, x 2, …, 0, …, x n ) f(x 1, x 2,.., x i,.., x n ) = x 1  f(0, x 2,.., x n ) + x 1  f(1, x 2, …, x n ) = x 1 x 2 f(0, 0, x 3,.., x n ) + x 1 x 2 f(0, 1, x 3,.., x n ) + x 1 x 2 f(1,0, x 3,.., x n ) + x 1 x 2 f(1,1, x 3,..,x n ) = = P 0 f(0, 0, …, 0) + P 1 f(0, 0, …, 1) +...

13 Esempio y=  (  0,  1,  2,  3,  7) = P 0 +P 1 +P 2 +P 3 +P 7 = = abc + abc + abc + abc + abc

14 Esempio Y = a + bc è Dalla forma algebrica alla forma canonica  somma elementare di clausole  moltiplicare per il prodotto (x i +x i )(x j +x j )…=1

15 Esempio Y=bc(ad+b+c)+c(d+a)(b+c) Y=ab+bc+bd Y=[ab(c+c)(d+d)]+[bc(a+a)(d+d)]+[bd(a+a)(c+c)]= =[P 7 +P 6 +P 5 +P 4 ]+[P 15 +P 14 +P 7 +P 6 ]+[P 15 +P 13 +P 7 +P 5 ]=  (4, 5, 6, 7, 13, 14, 15)

16 Numeri caratteristici È la stringa di valori ordinati  i n.c. f = = 241f 241 n.c. a = n.c. b = n.c. c = il n.c. di a+b è dato dalla somma dei n.c.

17 Equazioni booleane è P i =1 abc=1a=1, b=1, c=0 è più in generale si ha: f(x 1, x 2, …, x n )=1 le soluzioni si ottengono da:

18 Equazioni booleane Esempio: abc+abc+abc=1 si hanno le tre radici a=1, b=1, c=1;a=1, b=1, c=0;a=1, b=0, c=1

19 Equazioni booleane Piu’ in generale un’equazione booleana può porsi nella forma f(X)=g(X) ciò implica che i valori di verità di f(X) e g(X) devono coincidere f(x)  g(x)+f(x)  g(x)=1 cioè F(x)=1

20 Funzioni incompletamente specificate y=f(x 1, x 2, …, x n ) indifferente in alcuni punti (don’t care)Ø è Funzione compatibile  una y’ che abbia gli stessi valori di y tranne che nei punti di non specificazione 2 m m don’t care

21 Funzioni incompletamente specificate è Le condizioni di indifferenza si possono esprimere algebricamente tramite “vincoli” sulle variabili mediante una equazione booleana (x 1, x 2, …, x n )=1 con radici nei punti di definizione o con (x 1, x 2, …, x n )=1 con radici nei punti di dont’care

22 Esempio (x 1, x 2, …, x n )=1 (x 1, x 2, …, x n )=1 Condizione di vincolo: abc+abc+abc+ abc+abc+abc=1 Condizione di indifferenza: abc+abc=1

23 è Una condizione di vincolo molto diffusa è che posto y = f(x 1, x 2, …, x k, l 1, l 2, …, lq) = f(X, L) sussista la relazione x i ·x j =0 con i  j con i  1, k  j è su k delle n variabili mai due di esse uguali ad 1

24 è Esempio  n = k+q =3k = 2, q=1supponiamo siano x 1,x 2 solo due punti in cui si ha x 1, x 2 =1

25 è Esempio  n = k+q =3k = 3, q=0  4 punti in cui si hanno 2 variabili uguali a 1

26 {1} P 0 x =x 1 ·x 2 ·... ·x n mintermine f 0 (L) particolare funzione di I1, …, Iq Se q=0 si ha che k=n e la {1} cambia

27 Implicanti di funzione è f  f 1 ; f 1  ff 1 +f=1 è f1 è un implicante di f f possiede {I f }; è Primo implicante  Un implicante che non implica nessun altro f f1 f2 f4 f3

28 Mappe di Karnaugh è I mintermini che si oppongono in 1 variabile sono adiacenti è n  2 le clausole di ordine n-1 che si oppongono in 1 variabile sono ancora adiacenti. Le quadruple sono clausole di ordine n-2 è n  3 le ottuple rappresentano clausole di ordine n-3 x1x2x1x2 x1x2x1x2 x1x2x1x2 x1x2x1x2 x1x2x1x2 x1x2x1x2 x1x2x1x2 x1x2x1x2 x1x1 x1x1 x2x2 x2x P0 P1P3 P2 x1 x2x2

29 Clausole nn-1 n-2 n-3

30 Proprietà è Data una funzione in forma elementare di tipo P le n clausole A i sono implicanti di f  Una clausola B ne implica un’altra A se e solo se B contiene tutti i letterali di A  Ax+Ax=Aes. abc+abc=ab  Ad una funzione f può essere aggiunto un suo implicante senza alterarne il valore  A è un implicante di f se e solo se nella prima forma canonica di f sono presenti tutti i mintermini implicanti A

31 Esempio x3x4x3x4 x1x2x1x x3x4x3x4 x1x2x1x y=x 1 x 3 +x 2 x 4 +x 1 x 2 x 4 y=x 1 x 3 +x 2 x 4 +x 2 x 3 x 4 +x 1 x 2 x 3 x 4


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