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1 Corso di Informatica (Programmazione) Lezione 9 (7 novembre 2008) Logica proposizionale e algebra di Boole.

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1 1 Corso di Informatica (Programmazione) Lezione 9 (7 novembre 2008) Logica proposizionale e algebra di Boole

2 2 Introduzione Logica proposizionale studio del significato delle proposizioni connesse dai connettivi logici Algebra di Boole struttura algebrica codificata da George Boole ( ) che manipola grandezze binarie {0,1}

3 3 Introduzione Logica studio del processo di pensiero che parte da premesse e giunge a conclusioni Proposizione dichiarazione a cui può essere associato un valore di verità (VERO o FALSO, V o F). Ad esempio Il cane di Marco è nero è una proposizione, mentre Che ore sono? non lo è.

4 4 Connettivi logici Nel seguito si: indicheranno le proposizioni tramite lettere dellalfabeto maiuscolo indicherà il valore di verità di una proposizione P tramite la notazione v(P). Quindi v(P)=V se P è vera, v(P)=F se P è falsa Ad esempio la proposizione Roma è la capitale dItalia può essere indicata con la lettera R e quindi: R=Roma è la capitale dItalia v(R) vale V

5 5 Connettivi logici I principali connettivi (operatori) logici sono: congiunzione logica and, e, &, Λ disgiunzione inclusiva or, o, |, V disgiunzione esclusiva xor, V negazione logica not, !, implicazione logica coimplicazione logica

6 6 Congiunzione logica Date due proposizioni A e B, loperatore di congiunzione logica produce la proposizione C=A&B che è VERA se e solo se A e B sono entrambe VERE. Negli altri casi C è FALSA. Ad esempio se A=Roma è la capitale dItalia (A è VERA, cioè v(A)=V) e B=Milano si trova in Francia (B è FALSA, cioè v(B)=F), allora la proposizione C=A&B= Roma è la capitale dItalia e Milano si trova in Francia è FALSA, cioè v(C)=F

7 7 La tabella di verità delloperatore di congiunzione logica risulta quindi essere: ABA & B VVV VFF FVF FFF Congiunzione logica

8 8 Disgiunzione inclusiva Date due proposizioni A e B, loperatore di disgiunzione inclusiva produce la proposizione C=A|B che è VERA se e solo se almeno una proposizione tra A e B è VERA. Negli altri casi C è FALSA. Ad esempio se A=Roma è la capitale dItalia (A è VERA, cioè v(A)=V) e B=Milano si trova in Francia (B è FALSA, cioè v(B)=F), allora la proposizione C=A|B= Roma è la capitale dItalia o Milano si trova in Francia è VERA, cioè v(C)=V

9 9 La tabella di verità delloperatore di disgiunzione inclusiva risulta quindi essere: ABA | B VVV VFV FVV FFF Disgiunzione inclusiva

10 10 Disgiunzione esclusiva Date due proposizioni A e B, loperatore di disgiunzione esclusiva produce la proposizione C=A xor B che è VERA se e solo se una proposizione tra A e B è VERA. Negli altri casi C è FALSA. Ad esempio se A=Roma è la capitale dItalia (A è VERA, cioè v(A)=V) e B=Milano si trova in Lombardia (B è VERA, cioè v(B)=V), allora la proposizione C=A xor B= Roma è la capitale dItalia oppure Milano si trova in Lombardia è FALSA, cioè v(C)=F

11 11 La tabella di verità delloperatore di disgiunzione esclusiva risulta quindi essere: ABA xor B VVF VFV FVV FFF Disgiunzione inclusiva

12 12 Negazione logica Data una proposizione A, loperatore di negazione logica produce la proposizione C=!A che è VERA se e solo se A è FALSA. Ad esempio se A=Roma è la capitale di Francia (A è FALSA, cioè v(A)=F), allora la proposizione C=!A= Roma non è la capitale di Francia è VERA, cioè v(C)=V

13 13 La tabella di verità delloperatore di negazione logica risulta quindi essere: A!A VF FV Disgiunzione inclusiva

14 14 Implicazione logica Date due proposizioni A e B, loperatore di implicazione logica produce la proposizione C=A B che è FALSA se e solo A è VERA e B è FALSA. Negli altri casi C è VERA. Ad esempio se A=Fuori piove, B=Fuori ci sono nuvole, e si ha che v(A)=V e v(B)=F, allora C=A B=Fuori piove allora è falso che fuori ci sono nuvole è palesemente FALSO (quando piove ci sono sempre le nuvole…)

15 15 La tabella di verità delloperatore di implicazione logica risulta quindi essere: ABA B VVV VFF FVV FFV Implicazione logica

16 16 Coimplicazione logica Date due proposizioni A e B, loperatore di coimplicazione logica produce la proposizione C=A B che è VERA se e solo A e B sono entrambe VERE o entrambe FALSE. Negli altri casi C è FALSA. Ad esempio se A=Il triangolo ha angoli alla base uguali, B=Il triangolo è isoscele, e si ha che v(A)=F e v(B)=F, allora C=A B=Il triangolo non ha angoli alla base uguali allora il triangolo non è isoscele è VERA

17 17 La tabella di verità delloperatore di coimplicazione logica risulta quindi essere: ABA B VVV VFF FVF FFV Coimplicazione logica

18 18 Implicazione e coimplicazione logica Se due proposizioni A e B sono legate da implicazione logica (A B), si dice che A è condizione sufficiente per B e B è condizione necessaria per A. Se due proposizioni A e B sono legate da coimplicazione logica (A B), si dice che A è condizione necessaria e sufficiente per B.

19 19 La formula Una formula f è una combinazione di simboli di proposizioni tramite connettivi (operatori) logici. Ad una formula è associato un valore di verità v(f) che dipende dai valori di verità delle proposizioni atomiche (proposizioni che non possono essere scomposte in ulteriori proposizioni più piccole) A & B è un esempio di formula

20 20 La sintassi di una formula Lalfabeto delle formule è composto da: i simboli delle proposizioni i simboli dei connettivi logici parentesi tonde (per eliminare ambiguità)

21 21 La sintassi di una formula La grammatica delle formule definisce le regole di buona formazione. Esse sono: 1.un simbolo di proposizione è una formula ben formata (abbreviato FBF) 2.se f è una formula ben formata, allora la sua negazione !f è una FBF 3.se f e f sono FBF, allora fopf) (dove op è uno dei connettivi logici) è una FBF 4.niente altro è una FBF

22 22 La sintassi di una formula Ad esempio la formula f=(A & (!B)) | C è una FBF in quanto, in virtù della regola 1, A, B e C sono FBF. Inoltre anche !B è una FBF in virtù della regola 2. Infine, per la regola 3 sono FBF anche le formule A & !B e la formula F=(A & (!B)) | C. Invece la formula f=A & (& B) non è una FBF.

23 23 La semantica di una formula Ad una formula f (che sia FBF) può essere associato un valore di verità attraverso la funzione di valutazione v: v: L {V,F} che mappa linsieme delle formule ben formate L allinsieme {V,F}. La funzione v si basa sulle tabelle di verità dei connettivi logici visti in precedenza. Quindi data f, v(f) è il valore di verità associato a f

24 24 La semantica di una formula Esempio: f=(A & (!B)) | C posto che sia v(A)=V, v(B)=V e v(C)=F si ha: v(!B)=F v(A & (!B))=F v(f)=v( (A & (!B)) | C )=F

25 25 La semantica di una formula Si dice che una formula f è: una tautologia se è sempre v(f)=V una contraddizione se è sempre v(f)=F Ad esempio: f=A & (notA) v(f)=F sempre! f=A ! (notA) v(f)=V sempre!

26 26 Algebra di Boole Lalgebra di Boole si basa su: variabili booleane che possono assumere uno dei valori compresi nellinsieme {0,1} operatori booleani di negazione logica (NOT) di prodotto logico (AND) di somma logica (OR) etc.

27 27 Negazione logica (NOT) Loperazione di negazione logica (o complementazione) restituisce il valore opposto rispetto alla variabile x in ingresso. Data la variabile booleana x, la sua negazione logica si indica con –x, x, x oppure not(x). Se x vale 1, allora –x vale 0; se x vale 0, allora –x vale 1.

28 28 La tabella di verità delloperatore di negazione logica risulta quindi essere: x-x Negazione logica (NOT)

29 29 Prodotto logico (AND) Loperazione di prodotto logico, tra due variabili x e y, restituisce 1 se x e y hanno entrambe valore 1. In tutti gli altri casi restituisce 0. Date le variabili booleane x e y, il prodotto logico di x e y si indica con x y, xy oppure con (x and y).

30 30 La tabella di verità delloperatore di prodotto logico risulta quindi essere: xyxy Prodotto logico (AND)

31 31 Somma logica (OR) Loperazione di somma logica, tra due variabili x e y, restituisce 1 se almeno una tra x e y ha valore 1. In tutti gli altri casi restituisce 0. Date le variabili booleane x e y, la somma logica di x e y si indica con x+y oppure con (x or y).

32 32 La tabella di verità delloperatore di somma logica risulta quindi essere: xyx+y Somma logica (OR)

33 33 Prodotti e somme notevoli X 0=0 X 1=x X x=x x (-x)=0 x+0=x x+1=1 x+x=x x+(-x)=1

34 34 Proprietà dellalgebra booleana Proprietà di idempotenza della somma e del prodotto x+x=x e xx=x Proprietà dellelemento nullo della somma e del prodotto x+1=1 e x0=0 Proprietà commutativa della somma e del prodotto x+y=y+x e xy=yx Proprietà associativa della somma e del prodotto x+(y+z)=(x+y)+z=x+y+z e x(yz)=(xy)z=xyz


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