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Laboratorio ricerca-azione: Metodiche formative per adulti ALGEBRA BOOLEANA Generalità Il sistema Binario Le operazioni con i numeri Binari Le porte logiche.

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2 Laboratorio ricerca-azione: Metodiche formative per adulti ALGEBRA BOOLEANA Generalità Il sistema Binario Le operazioni con i numeri Binari Le porte logiche Proprietà, Assiomi e Teoremi Mappe di Karnaugh Problema di logica (1) Problema di logica (2) Esercizi

3 Laboratorio ricerca-azione: Metodiche formative per adulti ALGEBRA BOOLEANA Un po di storia George Boole (Lincoln Cork 1864), logico e matematico britannico. Formatosi principalmente come autodidatta con laiuto del padre, coltivò dapprima linteresse per le lingue, e in particolare del latino, e solo a partire dal 1935 quello per la matematica. Pubblicò diversi studi sul Cambridge Mathematical Journal e, in particolare, uno sulle applicazioni dei metodi algebrici alla risoluzione delle equazioni differenziali, che gli valse un riconoscimento della Royal Society. Nel 1849 venne nominato professore di matematica al Queen's College (lattuale University College) di Cork, in Irlanda, incarico che conservò per tutta la vita, guadagnandosi fama di insegnante appassionato e capace. La teoria dei circuiti logici considera come modello matematico di supporto lAlgebra Booleana.

4 Laboratorio ricerca-azione: Metodiche formative per adulti ALGEBRA BOOLEANA Lalgebra di Boole è un tipo di algebra completamente diversa da quella numerica con cui abitualmente si lavora. Essa è definita come un insieme di definizioni, postulati e teoremi relative a grandezze che possono assumere soltanto due stati logici distinti. Questi due stati o valori, si rappresentano con coppie di simboli quali, per esempio, V (vero) e F (falso); H (high) e L (low) o ancora 0 (zero) e 1 (uno). Si precisa che 0 e 1 sono considerati solo simboli e non cifre numeriche. Nellambito elettrico ed elettronico si è solito abbinare lo zero ad un interruttore aperto e l 1 ad un interruttore chiuso.

5 Laboratorio ricerca-azione: Metodiche formative per adulti Proprietà, Assiomi e Teoremi dellalgebra di Boole N°NomeProprietà 1 Proprietà associativa a + ( b + c) = ( a + b ) + c; a · ( b · c) = ( a · b ) · c 2 Proprietà commutativa a + b = b + a; a · b = b · a 3 Proprietà distributiva a + ( b · c ) = ( a + b ) · ( a + c ) a · ( b + c ) = ( a · b ) + ( a · c ) 4 Assioma dellannullamento a · 0 = 0; a + 1 = 1 5 Assioma del Complemento ( a + ā ) = 1; ( a · ā ) = 0 6 Assioma dellidempotenzaa · a = a; a + a = a 7 Assioma doppia negazionea = a 8 Teorema di DeMorgana + b = ā · b ; a · b= ā + b 9 Teorema dellassorbimentoSe Y = a + ab allora Y = a 10 Teorema del consensoSe Y = ab + āc + bc allora Y = ab + āc =

6 Laboratorio ricerca-azione: Metodiche formative per adulti Le Porte Logiche NotNotNot OrOrOr AndAndAnd XorXorXor NorNorNor NandNandNand XnorXnorXnor

7 Laboratorio ricerca-azione: Metodiche formative per adulti Problema di logica Nellovile che può essere chiuso con un cancello, cè una capra; a volte lagricoltore apre il cancello dellovile per permettere alla capra di pascolare nel prato. Altre volte apre la porta del granaio, nel quale vi è grano di cui la capra è ghiotta. Infine può anche accadere che la porta del recinto resti aperta, al di fuori del quale vi è un lupo che vorrebbe mangiare la capra. Lagricoltore intende costruire un sistema dallarme che si attivi solo allorché la situazione (intesa con porte aperte o chiuse) è di reale pericolo. Dispone pertanto tre interruttori, uno per ciascuna delle porte. X1 = Interruttore porta granaio: 0 se aperta; 1 se chiusa; X2 = Interruttore porta ovile: 0 se aperta; 1 se chiusa; X3 = Interruttore porta recinto: 0 se aperta; 1 se chiusa. Si definisce Y il segnale dallarme:0 se spento 1 se acceso.

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16 Tabella di Verità: n° riga X 1 granaio X 2 ovile X 3 recinto Y allarme

17 Laboratorio ricerca-azione: Metodiche formative per adulti Riga 1: Allarme: tutte le porte sono aperte:massimo pericolo poichè la capra può mangiare il grano e il lupo può mangiare la capra; Riga 2: Allarme:la capra può mangiare il grano; Riga 3: Nessun allarme: sono aperti il granaio e recinto ma lovile è chiuso; Riga 4 :Nessun allarme: solo il granaio è aperto ma recinto e ovile sono chiusi; Riga 5: Allarme: il granaio è chiuso ma il recinto e lovile sono aperti, il lupo mangia la capra; Riga 6 :Nessun allarme: lovile è aperto ma granaio e recinto sono chiusi; Riga 7 :Nessun allarme: il recinto è aperto ma granaio e ovile sono chiusi; Riga 8 :Nessun allarme: tutte le porte sono chiuse Spiegazione Tabella di Verità

18 Laboratorio ricerca-azione: Metodiche formative per adulti Problema di logica 2 Progettare,realizzare collaudare la logica di un antifurto dappartamento che corrisponda alla seguente condizione: Un sensore di movimento ha unuscita, normalmente bassa, che va alta quando individua un movimento; Un sensore collegato ad un monitor, ha unuscita normalmente bassa, che va alta quando il radar individua un movimento; Un interruttore abilita o interdice il segnale di allarme. Nella posizione ON lo attiva fornendo al sistema un livello alto, nella posizione OFF lo disattiva fornendo un livello basso; Il comando di una sirena di allarme agisce quando almeno un sensore fornisce unuscita alta. Sensore Porta Sensore Movimento OFF ON P M A Centralina S Sirena APMS simulazione Schema a blocchi Tabella della verità

19 Laboratorio ricerca-azione: Metodiche formative per adulti Ispeziona limmagine con il mouse

20 Laboratorio ricerca-azione: Metodiche formative per adulti Problema di logica 2

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22 Laboratorio ricerca-azione: Metodiche formative per adulti La funzione logica S è data da: S = A*P*M + A*P*M + A*P*M mettendo in evidenzia A si ha: S = A (PM + PM +PM) mettendo in evidenza M: S = A [M (P+P) + (PM)] ma per la proprietà della negazione: P + P = 1 e quindi S = A [(M * 1 + PM)] ma per la proprietà del prodotto logico: M * 1 = M e quindi: S = A [(M + PM)] applicando la proprietà distributiva al termine (M + PM) si ha: S = A [(M + P) * (M + M)] ma M + M = 1, quindi: S = A (M + P) * 1 = ponendo A (M + P) = X si ha: S = X * 1; per il prodotto logico si ha : S = X sostituendo a X il suo valore si ha S = A (M + P) essa è la funzione minima.

23 Laboratorio ricerca-azione: Metodiche formative per adulti Il Circuito Logico è il seguente: (M + P) S = A (M + P) M P A Problema di logica 2

24 Laboratorio ricerca-azione: Metodiche formative per adulti Problema di logica 2 Il circuito elettronico che lo realizza è il seguente: M P A S SN7432 SN Vcc = 5 V massa Realizzazione Pratica

25 Laboratorio ricerca-azione: Metodiche formative per adulti Problema di logica 2 M AP S CLICCA SU A L interruttore A è OFF; lallarme, indipendente mente dallo stato di M e P, non si attiva.

26 Laboratorio ricerca-azione: Metodiche formative per adulti Problema di logica 2 M AP S CLICCA SU P L interruttore A è ON; M è ON, lallarme, si attiva.

27 Laboratorio ricerca-azione: Metodiche formative per adulti Problema di logica 2 M AP S CLICCA SU M L interruttore A è ON; P è ON, lallarme, si attiva.

28 Laboratorio ricerca-azione: Metodiche formative per adulti Problema di logica 2 M AP S L interruttore A è ON; M e P sono ON, lallarme, si attiva.

29 Laboratorio ricerca-azione: Metodiche formative per adulti Porta Logica Not La porta logica Not è costituita da un ingresso e da una uscita; effettua operazione di negazione. Ipotizzando Y l uscita e A l ingresso, l equazione algebrica è la successiva : Y = Ā La tabella della verità e il simbolo grafico sono i seguenti : A Y Questa porta può essere simulata mediante interruttori elettrici collegati come in figura: E Si deduce che la lampada è accesa (Y=1) se linterruttore è aperto (A=0); viceversa se linterruttore è chiuso (A=1) la lampada è spenta. AY = A Si legge: Y uguale A negato R + Y A

30 Laboratorio ricerca-azione: Metodiche formative per adulti Porta Logica Or ABY A B Y = A+B Lampada (Y) Generatore A B Interruttori La porta logica OR effettua la somma logica su due o più variabili di ingresso. Nel caso di due variabili A e B, detta Y l uscita, l equazione algebrica è la seguente: Y = A + B La tabella della verità e il suo simbolo grafico sono: Questa porta può essere simulata mediante interruttori elettrici collegati come in figura: Agli interruttori A e Bsi assegnano i valori 1 e 0 ossia chiuso o aperto. Di conseguenza la lampada risulta accesa quando almeno uno dei due interruttori è 1 ossia chiuso. Si legge: Y uguale A OR B

31 Laboratorio ricerca-azione: Metodiche formative per adulti Porta Logica Nand ABY Loperatore NAND è derivato da un operatore AND seguito da un NOT. In questo caso l uscita Y è 0 quando le variabili d ingresso sono tutte a 1, l equazione algebrica e la seguente: Y = A * B La tabella della verità e il simbolo grafico sono: Questa porta può essere simulata mediante interruttori elettrici collegati come in figura: Agli interruttori A e B si assegnano i valori 1 e 0 ossia chiuso e aperto. Di conseguenza la lampada risulta spenta quando tutti e due gli interruttori sono chiusi. B A Y = A * B Si legge: Y uguale A AND B negato A B

32 Laboratorio ricerca-azione: Metodiche formative per adulti Porta Logica Xor Loperatore XOR è derivato dalloperatore OR. Si tratta di un circuito capace di riconoscere se due ingressi sono diversi (uscita = 1) o sono uguali (uscita = 0). Si può verificare che un operazione di OR esclusivo fornisce luscita a 1 se è dispari il numero di 1 degli ingressi, fornisce invece 0 in uscita se i numero di 1 sono pari. ABY Il simbolo grafico e la tabella della verità sono: A B Y = A B+ Si legge: Y uguale A OR ESCLUSIVO B

33 Laboratorio ricerca-azione: Metodiche formative per adulti Porta Logica Nor Loperatore NOR è derivato da un operatore OR seguito da un NOT. Luscita Y di una porta NOR vale 1 solo se tutte le entrate sono nello stato logico 0. Nel caso di due variabili (A e B) la funzione digitale si scrive: Y = A + B La tabella della verità e il simbolo grafico sono i seguenti: ABY Questa porta può essere simulata mediante interruttori elettrici collegati come in figura: B A A B Y = A + B Si legge: Y uguale A OR B negato

34 Laboratorio ricerca-azione: Metodiche formative per adulti Porta Logica Xnor Loperatore NOR esclusivo, indicato con XNOR, è derivato dallo XOR mediante complementazione della variabile duscita. Si noti come il cerchietto nel simbolo elettrico indica una complementazione. ABY Il nome di coincidenza logica deriva dal fatto che luscita si porta a 1 solo se le entrate coincidono nello stesso stato logico A B Y = A B + Si legge: Y uguale A NOR ESCLUSIVO B oppure A COINCIDENZA B

35 Laboratorio ricerca-azione: Metodiche formative per adulti Porta Logica And ABY AB Interruttori Loperatore AND agisce su due o più variabili di ingresso. L uscita Y è 1 quando le variabili d ingresso sono tutte a 1. Nel caso di due variabili di ingresso, l equazione algebrica di uscita è la seguente: Y = A * B La tabella della verità e il simbolo grafico sono: Questa porta può essere simulata mediante interruttori elettrici collegati come in figura: Agli interruttori A e B si assegnano i valori 1 e 0 ossia chiuso e aperto. Di conseguenza la lampada risulta accesa solo quando tutti e due gli interruttori sono chiusi. B A Y = A * B Si legge: Y uguale A AND B o anche A per B


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