La sottoclasse di IA: Ord-Horn

Presentazione sul tema: "La sottoclasse di IA: Ord-Horn"— Transcript della presentazione:

1 La sottoclasse di IA: Ord-Horn
Bernhard Nebel: Solving Hard Qualitative Temporal Reasoning Problems: Evaluating the Efficiency of Using the ORD-Horn Class. ECAI 1996: 38-42 Bernhard Nebel, Hans-Jürgen Bürckert: Reasoning about Temporal Relations: A Maximal Tractable Subclass of Allen's Interval Algebra. J. ACM 42(1): (1995)

2 Definizioni (1) Come in PA, consideriamo le relazioni tra intervalli in termini di relazioni tra gli estremi degli intervalli Formula atomica: dati a e b due estremi di intervalli sono formule atomiche a≤b a=b Negazione di formule atomiche a≠b a≰b Letterale: formula atomica o la negazione di una formula atomica Esempio: a≤b, a≰b Clausola: disgiunzione di formule atomiche Esempio: (a≰b v c=d) Denotiamo con O un insieme finito di clausole

3 Definizioni(2) ℝ-interpretazione: assegnamento a tutti gli estremi di intervalli in O di numeri reali (in ℝ) ℝ-modello di O: ℝ-interpretazione che soddisfa tutte le calusole in O Forma in clausole di una relazione tra intervalli: e’ un insieme di clausole equivalente a alla relazione. Equivalente: esiste una corrispondenza biunivoca tra gli (I-)modelli della relazione tra intervalli e gli ℝ-modelli della sua forma in clausole A una relazione tra intervalli puo’ corrispondere piu’ di una forma in clausole

4 ORD-clauses Sottoinsieme di clausole
Le ORD-clauses sono disgiunzioni di letterali di tipo a=b a≠b a≤b Non e’ permesso a≰b Stesso potere espressivo perche’: (a≰b) v C  (((a≠b) v C) and ((b≤a) v C)) Data una relazione tra intervalli r, denotiamo con p(r) la sua forma in ORD-clauses

5 Esempio I1 (d,o,s) I2 ∈ SAc, Forma in ORD-caluses p(r) I2- ≤ I2+,
O={I1- ≤ I1+, I1- ≤ I2+, I2- ≤ I1+, I1+ ≤I2+, I1+ < I2+, I2- ≠ I2+, I1- ≠ I1+, I1- ≠ I2+, I2- ≠ I1+, I1+ ≠I2+, I1+ ≠ I2+}

6 Relazioni PA e ORD-clauses
Clausola unitaria: clausola con un unico letterale Esempio: a≤b unitaria, ((a≤b) v (c=d)) non unitaria PA : permette solo ORD-clauses unitarie a>b  a≰b  {(a≠b), (b≤a)} due clausole unitarie SA: sottoinsieme di IA tale che r ∈ SA sse p(r) ∈PA, cioe’ p(r) e’ un insieme di ORD-clauses unitarie Esempio I1 (d,o) I2 PA⊂ORD-clauses I2- ≤ I2+, O={I1- ≤ I1+, I1- ≤ I2+, I2- ≤ I1+, I1+ ≤I2+, I1+ < I2+, I2- ≠ I2+, I1- ≠ I1+, I1- ≠ I2+, I2- ≠ I1+, I1+ ≠I2+, I1+ ≠ I2+, I1- ≠ I2-,}

7 Relazioni PAc e ORD-clauses
permette solo ORD-clauses unitarie e, inoltre, per ogni clausola unitaria a≠b nella stessa forma in clausole deve esserci la clausola a≤b o b≤a Esempio I1 (d,o,s) I2 ∈ SAc I2- ≤ I2+, O={I1- ≤ I1+, I1- ≤ I2+, I2- ≤ I1+, I1+ ≤I2+, I1+ ≤ I2+, I2- ≠ I2+, I1- ≠ I1+, I1- ≠ I2+, I2- ≠ I1+, I1+ ≠I2+, I1+ ≠ I2+}

8 Riassumendo IA ↔ insiemi di ORD-clauses
I1 (p, p-1) I2 r = p v p-1 p(r) = (I1-≤I1+) ^ (I1- ≠ I1+) ^ (I2-≤I2+) ^ (I2- ≠ I2+) ^ (I1+ ≤ I2- v I2+ ≤ I1-) ^ (I1+ ≠ I2-)^ (I2+ ≠ I1-) SA ↔ insiemi di ORD-caluses unitarie SAc ↔ insiemi di ORD-clauses unitarie in cui quando a≠b e’ nell’insieme c’e’ anche a≤b oppure b≤a

9 ORD-Horn caluses ORD-Horn clausola: e’ una ORD-clausola con al piu’ un letterale positivo (a=b oppure a≤b) e un numero arbitrario di letterali negativi (a≠b) Esempi a=b v c≠b v e≠f ORD-Horn a≤b v c≠b v e≠f ORD-Horn a≠b v c≠b v e≠f ORD-Horn a=b v c=b v e≠f ORD ma non ORD-Horn a≰b v c≠b v e≠f non ORD e (quindi) non ORD-Horn Notare che ORD-Horn clauses ⊂ ORD clauses

10 La sottocalsse OH di IA OH ⊂ IA, e tale che r ∈ OH se ha una forma in clausole, p(r), che e’ un insieme di ORD-Horn clauses Esempio: I1 (f-1,o,s) I2 ∈ OH I2 I-2 I+2 I2- ≤ I2+, O={I1- ≤ I1+, I1- ≤ I2-, I1- ≤ I2+, I2- ≤I1+, I1+ < I2+, I2- ≠ I2+, I1- ≠ I1+, I2- ≠ I1+, I1+ ≠I2+, ( I1+ ≠ I2+ v I1- ≠ I2- ) } I1 I-1 I-1 I+1 I1 I-1 I+1 I+1 Notare che I1 (f-1,o,s) I2 ∉ SA

11 OH e SA Ogni relazione in SA e’ anche in OH perche’ la sua forma in clausole e fatta di clausole unitarie L’inclusione e’ stretta. L’esempio nella slide precedente, I1 (f-1,o,s) I2 , e’ in OH , ma non in SA

12 Riassumendo OH SA 868~10% 188~2% IA 213=8192 88~1% SAc Atomic 13

13 Caratteristiche di OH OH contiene 868 relazioni piu’ del 10% di IA
Inoltre le clausole che non sono unitarie sono binarie (cioe’ riguardano solo due intervalli) e contengono letterali solo del tipo (X- op1 Y-) oppure (X+ op2 Y+) con opi ∈{≤,=,≠} p v p-1∉OH

14 Teoria PO La teoria PO e’ un insieme di assiomi che caratterizzano “≤” come ordinamento parziale ∀x,y : x ≤ y and y ≤ z  x ≤ z (transitivita’) ∀x: x ≤ x (riflessivita’) ∀x,y : x ≤ y and y ≤ x  x = y (Antisimmetria) ∀x,y : x = y  x ≤ y ∀x,y : x = y  y ≤ x Questa teoria ammette molti modelli, cioe’ interpretazioni di x, y, z, ≤, =,… che soddisfano gli assiomi

15 ORD-caluses e teoria PO
Th. Dato un insieme di ORD-clauses O, allora O e’ ℝ-soddisfacibile sse O  PO e’ soddisfacibile Un ℝ-modello di O, e’ un assegnamento di numeri reali i quali soddisfano gli assiomi di PO  supponiamo di avere un modello, F, OPO. Devo ricavarne un ℝ-modello di O. Da PO possiamo dedurre che “=“ riflessiva, transitiva e simmetrica Quindi F/= (F modulo =) e’ ancora un modello di O che soddisfa PO e dunque e’ ordinato parzialmente da ≤. Ogni ordinamento parziale puo’ essere linearizzato ad un ordinamento totale che puo’ poi essere mappato nei reali. In tale linearizzazione le formule atomiche ORD (a=b), (a ≠b) e (a≤b) di O sono ancora soddisfatte, quindi F puo’ essere cosi’ trasformato in un ℝ-modello di O. Notare che il Th. vale solo per formule atomiche di tipo ORD, perche’ se ammettiamo O={(a≰b), (b≰a)} allora O non ha un ℝ-modello ma OPO ha come modello un qualunque ordinamento parziale in cui a e b sono incomparabili

16 HornSAT e’ polinomiale
Testare se un insieme di clausole di Horn e’ soddisfacibile e’ lineare nel numero di totale dei letterali presenti nelle clausole Se non ci sono clausole unitarie allora banalmente soddisfacibile: Assegnare falso a tutte le variabili Infatti ogni clausola contiene almeno un letterale negato Altrimenti, Unit propagation: Scelgo una clausola unitaria con un solo letterale (e.g. a≤b) Sostituisco le clausole di tipo: (c v a≥b)^( c v a≠b) con c Elimino le clausole che contengono a≤b La formula e’ soddisfacibile se alla fine non rimango con un letterale e la sua negazione

17 ISAT(OH) e’ polinomiale
PO e’ una teoria di Horn perche’ contiene solo clausole di Horn Denotiamo con POO gli assiomi di PO instanziati agli estremi che compaiono in O Allora usando il Th di Herbrand, OPO e soddisfacibile sse lo e’ OPOO Dato un insieme di relazioni X ⊆ OH, allora la forma in clausole p(X) e’ un insieme di clausole ORD-Horn. p(X) puo’ essere ottenuta in tempo lineare nel numero di relazioni in X PO p(X), cioe’ l’insieme di clausole Horn ottenute instanziando PO ai punti in p(X) puo’ essere calcolato in tempo lineare in X p(X) e’ ℝ-soddisfacibile sse p(X)  PO p(X) e’ soddisfacibile Ma p(X)  PO p(X) e’ un insieme di clausole di Horn ed e’ polinomiale testarne la soddisfacibilita’, lineare nel numero di relazioni in X, quindi quadratico nel numero di intervalli

18 OH e Path consistency(1)
Path consistency su OH  risoluzione unitaria positiva, cioe’ solo di clausole unitarie e positive Assunzione di minimalita’: supponiamo che, data una relazione r ∈ OH, ogni clausola in p(r) sia minima cioe’: non esiste nessuna clausola con un sottoinsieme di letterali derivabile da p(r) Assunzione di forma esplicita :a,b,c estremi di intervalli Se (a≤b),(b≤c)∈p(r)  (a ≤c)∈p(r) transit. (a≤b),(b≤a)∈p(r) ↔ (a =b)∈p(r) antisimmetria (a=b)∈p(r) ↔ (b=a)∈p(r) (a≤a)∈p(r) riflessivita’

19 OH e Path consistency(2)
Sia R ⊂OH un insieme di relazioni path consistent e consistente (cioe’ Ø ∉ R). Allora non e’ possibile derivare con la risoluzione positiva unitaria nuove clausole unitarie da p(R)POp(R) Una nuova clausola unitaria U puo essere derivata solo se esiste una clausola non unitaria C ∈ p(R)POp(R) e un insieme di clausole unitarie positive D ⊆ p(R)POp(R) tale che per tutti i letterali in C tranne U esiste un complementare positivo in D. Si fanno tutti casi possibili per C Istanza dell’assioma di transitivita’ Istanza dell’assioma di antisimmetria cioe’ di (x≤y) and (y≤x)  y=x, scritto come clausola non unitaria: (not(x≤y) v not(y≤x) v (x=y)) Cioe’ C= (not(a≤a) v not(a≤a) v (a=a)) ma se D={(a≤a),(a≤a)} allora con la risoluzione derivo (a=a) che non e’ una clausola nuova perche e’ gia’ in p(R) per lassunzione di forma esplicita …oppure C= (not(a≤b) v not(b≤a) v (a=b)) ma se D={(a≤b),(b≤a)} allora con la risoluzione derivo (a=b) che non e’ una clausola nuova perche e’ gia’ in p(R) per l’assunzione di forma esplicita …oppure Istanza dell’assioma x=y  x≤y oppure y≤x C in p(R)

20 ISAT(OH) e’ polinomiale
Sia R ⊂OH un insieme di relazioni path consistent. Allora R e’ soddisfacibile sse Ø ∉ R.  Ovvia. Se contiene Ø non e’ soddisfacibile  se Ø ∉ R allora la clausola vuota non appartiene a p(R). Quindi non e’ possibile derivare nessuna causola unitaria positiva. Per la completezza di refutazione della risoluzione di clausole positive unitarie p(R)POp(R) e’ soddisfacibile (ha un modello). Per il teorema precedente anche R ha un modello. Dal teorema per testare la soddisfacibilita’ e’ sufficiente applicare path consistency o(n3)

21 OH e path consistency Notare che i risultati precedenti si basano sul fatto che OH e’ chiuso rispetto all’inversione, composizione e intersezione Quindi, se applico path consistency a un sottoinsieme S di OH ottengo un (possibilmente) nuovo insieme S’⊆OH

22 MLP(OH) e’ polinomiale
ISAT(OH)  path consistency O(n3) ISATMLP. Assumiamo un oracolo che dato un problema di Allen dice se e’ consistente o no. Per ogni vincolo (O(n2)) chiediamo all’oracolo se la rete in cui quel vincolo e’ sostituito con una sola delle sue relazioni ammesse e’ consistente (O(13)). Ora sappiamo che l’oracolo ci mette ogni volta O(n3) Quindi MLP(OH) O(13n2) x O(n3)=O(n5) Dire che Nebel e Burckert hanno provato che questo risultato vale per tutti I frammenti che contengono tutte le relazioni di base.

23 Riassumendo Sac ⊂ SA ⊂ OH ISAT(SAc) Con path consistency  O(n3)
Oppure CSPAN  O(n2) ISAT(SA) CSPAN O(n2) ISAT(OH) Path consistency  O(n3) MLP(SAc) MLP(SA) Feasible  O(n4) MLP(OH) Path-consistency + oracolo  O(n5)

24 Relazioni sentinella X (d,d-1,o-1,s-1,f) Y esprime il fatto che X interseca strettamente Y e comincia dopo, oppure, finisce dopo Y p ((d,d-1,o-1,s-1,f))={(X-<X+, Y-<Y+, X-<Y+,(X+>Y-), (X->Y- v X+>Y+)} X (d-1,o,o-1,s-1,f-1) Y esprime il fatto che X interseca strettamente Y e comincia prima, oppure, finisce dopo Y p ((d,d-1,o-1,s-1,f))={(X-<X+, Y-<Y+, X-<Y+,(X+>Y-), (X-<Y- v X+>Y+)} (p,d-1,o,m,f-1) ∈ SAc⊆OH p ((p,d-1,o,m,f-1))={(X-<X+, Y-<Y+, X-<Y-, X-<Y+)} (p,d,o,m,s) ∈ SAc⊆OH p((p,d,o,m,s)) ={(X-<X+, Y-<Y+, X+<Y+, X-<Y+)} 1,2 non in OH perche’ hanno una clausola che e’ disgiunzione di 2 positivi (non Horn)

25 Caratterizzazione classi difficili
Se N1={(p,d-1,o,m,f-1), (p,d,o,m,s), (d,d-1,o-1,s-1,f)} ⊆ S allora ISAT(S) NP-completo Se N2={(p,d-1,o,m,f-1), (p,d,o,m,s), (d-1,o,o-1,s-1,f-1)} ⊆ S allora ISAT(S) NP-completo Se OH⊂S allora o (d,d-1,o-1,s-1,f) o (d-1,o,o-1,s-1,f-1) sono nella chiusura di S rispetto a inversione composizione e intersezione TH. OH⊂S allora ISAT(S) e’ NP-completo

26 ISAT(S) ∈ NP perche’ ISAT(IA) ∈ NP Vediamo che ISAT(S) ∈ NP-hard
Dimostrazione ISAT(S) ∈ NP perche’ ISAT(IA) ∈ NP Vediamo che ISAT(S) ∈ NP-hard Esiste una riduzione polinomiale 3SAT N1 e 3SAT  N2 Come al solito partiamo da un formula 3SAT F=C1 ^ C2 ^ C3…. cioe’ una congiunzione di clausole del tipo: Ci=li,1 v li,2 v li,3 Costruiamo un problema temporale T in N1 tale che T e’ soddisfacibile sse lo e’ F Per ogni letterale li,j 2 intervalli Xij e Yij il vincolo Xij (d,d-1,o-1,s-1,f) Yij Quindi P(T) conterra’ anche (Xij->Yij- v Xij+>Yij+) Per ogni clausola Ci  i 3 vincoli {Xi2(p,d-1,o,m,f-1)Yi1, Xi3(p,d-1,o,m,f-1)Yi2, Xi1(p,d-1,o,m,f-1)Yi3} Quindi P(T) contiene anche (Yi1->Xi2- ), (Yi2->Xi3-), (Yi3->Xi1-) In questo modo escludiamo che possa essere soddisfatto (Xij->Yij- ) per ogni ij, Infatti si avrebbe (Xi1->Yi1->Xi2- >Yi2->Xi3- >Yi3->Xi1-) assurdo e questo lo interpretatiamo come la soddisfazione del letterale lij nella clausola Ci di D 1 dato un assegnamento o(n^2) per testarne la consistenza

27 Vengono aggiunti i vincoli Xgh(p,d,o,m,s)Yij, Xij(p,d,o,m,s)Ygh
…continua dim… Ora non rimane che assicurarsi se lij e’ vero ogni suo complementare lgh sia falso. Vengono aggiunti i vincoli Xgh(p,d,o,m,s)Yij, Xij(p,d,o,m,s)Ygh Quindi p(T) deve contenere anche (Yij+>Xgh+ ) and (Ygh+>Xij+ ) In questo modo lij e lgh non possono essere simultaneamente veri altrimenti varrebbero (Xij+>Yij+ ) e (Xgh+>Ygh+ ) da cui (Xij+>Yij+ > Xgh+>Ygh+ >Xij+ ) assurdo punto 17 varebbero xij+>yij+ perche la clausola al punto 7.3 deve essere soddisfatta con le diseq sui + perche le altre diseq sono false

28 …continua dim… T soddisfatto  formula 3-SAT soddisfatta. Se il problema di vincoli temporali T ha soluzione allora per ogni i deve esistere un j tale X-ij>Y-ij non e’ soddisfatta (punto 11 della dim), e questo vuol dire che il letterale lij e’ soddisfatto. Quindi c’e’ un letterale soddisfatto per ogni clausola.

29 …continua dim… Formula 3-SAT soddisfatta T soddisfatta. Sia v un assegnamento a tutti letterali della formula che la soddisfa. per ogni letterale l=true in v Per ogni sua occorrenza nelle clausole lij eliminiamo X-ij> Y-ij dalla clausola ORD-Horn ((X-ij> Y-ij )v (X+ij> Y+ij)) Per ogni sua occorrenza negata nelle clausole lij eliminiamo X+ij> Y+ij dalla clausola ORD-Horn ((X-ij> Y-ij )v (X+ij> Y+ij)) Visto o l =true o not(l) =true eliminando otteniamo tutte ORD-Horn unitarie Visto che ogni clausola e’ soddisfatta non si hanno cicli del tipo X->…>Y- >X->…>Y- contenenti solo punti iniziali (punti 10,11) Visto che letterali complementari hanno valori di verita’ diversi non si possono avere cicli X+>…>X+>Y+>…>X+ contenenti solo punti finali (punto 16) Cicli misti? Non ce ne sono non ci sono disequazioni che coinvolgono un punto iniziale e un punto finale

30 Il confine tra trattabilita’ e NP-completezza delle sottoclassi di IA
Sia S ⊆ IA. Denotiamo con S* la chiusura di S rispetto all’inversione, composizione e intersezione, cioe’ la piu’ piccola sottoalgebra di IA generata da S Si puo verificare che dato S tale che OH ⊂S⊆IA, allora (d,d-1,o-1,s-1,f) ∈S* op (d-1,o,o-1,s-1,f-1)∈S* Metodo enumerativo, controllo se la chiusura di OH  {r} per ogni r in IA-OH contiene oppure no tali relazioni

31 Alcune considerazioni
Quindi le classi che dominano OH nell’ordinamento prodotto dall’inclusione sono difficili Ci si chiede se esistono altre sottoclassi massimali di IA, incomparabili con OH che siano trattabili Si Ad esempio U={≠,1}. Visto che la relazione ≠ tra intervalli non e’ esprimibile come un insieme di clausole ORD-Horn, U e’ incomparabile con OH. Inoltre ISAT(U) e lineare visto che basta assegnare tutti intervalli distinti

32 Altre classi trattabili?
La classe U non e’ di particolare interesse Capire se esistono sottoclassi contenenti tutte le relazioni atomiche che siano trattabili e incomparabili a OH Th. Sia S una sottoclasse contenente le 13 relazioni atomiche. Allora {(p,d-1,o,m,f-1), (p,d,o,m,s)}⊂ S perche’ sono generati dalla chiusura delle atomiche una delle seguenti alternative e’ vera: S*⊆OH (d-1,o,o-1,s-1,f-1) or (d,d-1,o-1,s-1,f) sono in S*

33 OH e’ l’unica classe trattabile massimale
Sia S una sottoclasse di IA contenente tutte le relazioni di base. Allora o S⊆OH e ISAT(S) e’ polinomiale Oppure ISAT(S) e’ NP-completo Infatti S o contiene N1 oppure contiene N2

34 Algoritmo ISAT: path-consistency+backtracking
Input:Allen Temporal problem Preporcessing:Path consistency Path-consistent? STOP no yes Intelligent backtracking Consistent? STOP no yes Post-processing: Solution determination Output: labeling atomico Output: assegnamento degli intervalli

35 Intelligent backtracking con OH
Int-back(matrice vincoli M, i,j interi) M’M //salvo M for (ogni relazione lk in Mij) do Mij  lk if (consistency(M)=true) then if (Mij last edge or Int-back(M,next_i,next_j)) return true MM’; //backtrack endfor return false End; 3. Split(Mij in l1..ls∈Atomic) 3. Split(Mij in l1..ls∈SA) 3. Split(Mij in l1..ls∈OH)

36 Algebra delle Macro-relazioni
Martin Charles Golumbic, Ron Shamir: Complexity and Algorithms for Reasoning about Time: A Graph-Theoretic Approach. J. ACM 40(5): (1993)

37 Idea fondamentale Sfruttare la corrispondenza tra:
Algebra degli intervalli del ragionamento temporale Grafi di intervalli di analisi combinatoria

38 Lattice di Noekel Lattice: un ordinamento parziale in cui ogni sottoinsieme ha un elemento massimo e un elemento minimo E’ possibile organizzare le relazioni di Allen in un lattice La relazione r <r’ se dati I1 e I2 tali che I1 r I2, si puo’ ottenere I1’ da I1 con I1+≤I1’+ e I1- ≤I1’- tale che I1’r I2 In pratica, se posso ottenere r’, mantenendo fisso I2 e slittando I1 verso destra p m o s = d f f-1 s-1 d-1 o-1 m-1 p-1 >

39 Macro relazioni p m o s = d f f-1 s-1 d-1 o-1 m-1 p-1 Definiamo come macro-relazioni i seguenti sottoinsiemi di relazioni ∩= {m,m-1,o,o-1,s,s-1,f,f-1,d,d-1 } α= {m,o} α-1={m-1,o-1} C = {s,f,d} C-1 = {s-1,f-1,d-1} (Macro-)Relazioni atomiche saranno: ∩, p, p-1,=, α, α-1, C, C-1

40 Macro algebre Date le macro-relazioni definiamo le seguenti macro-algebre A3= {p,p-1, ∩ } A7= {p,p-1, α, α-1, C, C-1, =} A6= {p,p-1, o, o-1, d, d-1} se gli estremi degli intervalli devono essere distinti Ai i elementi Sono algebre booleane, cioe’ chiuse rispetto all’unione e alla intersezione di insiemi! p m o s = d f f-1 s-1 d-1 o-1 m-1 p-1 p m o s = d f f-1 s-1 d-1 o-1 m-1 α-1 α ⊂-1 ⊂ p-1 p m o s = d f f-1 s-1 d-1 o-1 m-1 p-1 ∩ A7 A6 A3

41 Terminologia Problema temporale Variabile coppia di intervalli
Dominio  sottoinsieme delle relazioni dell’algebra che stiamo considerando Vincoli  impliciti, indotti dal fatto che le variabili rappresentano coppie di intervalli temporali (cioe’ intervalli sulla retta reale, e.g. transitivita’) Taglia di un problema  numero di variabili, quindi il numero di relazioni tra coppie di intervalli O(n2) con n intervalli

42 Terminologia (2) Realizzazione: assegnamento a ogni intervallo di un intervallo sulla retta reale che soddisfa le relazioni Solo relazioni topologiche  ordinamento debole (transitivo, riflessivo, completo) I1<I2 sse I1+ < I2-, altrimenti incomparabili Realizzazioni distinte sse l’ordinamento dei punti estremi e’ distinto Problema temporale su una qualche algebra e’ consistente sse ammette almeno una realizzazione Instanziazione: scelta di una (singola) relazione per ogni dominio delle variabili Instanziazione consistente o soluzione: se e’ consistente il problema temporale corrispondente 1 realizzazione  1 instanziazione 1 instanziazione  molte realizzazioni ISAT(P) : determinare l’esistenza di una soluzione, cioe’ di una instanziazione consistente MLP(P): trovare i domini minimi togliendo tutte le relazioni che non fanno parte di una soluzione

43 Equivalenza di ISAT e MLP (gia’ visto)
TH: Determinare la soddisfacibilita’ (ISAT) e determinare la rete minima (MLP) di problemi temporali di Allen sono problemi equivalenti in tutte le algebre Ai, i=3,6,7,13 PROVA: Da ognuno esiste una mappatura polinomiale all’altro ISATMLP. Assumiamo un oracolo che dato un problema di Allen dice se e’ consistente o no. Per ogni vincolo (O(n2)) chiediamo all’oracolo se la rete in cui quel vincolo e’ sostituito con una sola delle sue relazioni ammesse e’ consistente (O(13)). MLPISAT. Assumiamo di avere un algoritmo che calcoli la rete minima. Perche’ il problema sia soddisfacibile e’ sufficiente controllare che nessun vincolo non ammetta nessuna relazione (O(n2)). Dire che Nebel e Burckert hanno provato che questo risultato vale per tutti I frammenti che contengono tutte le relazioni di base.

44 Relazione tra ISAT e trovare tutte le soluzioni (1)
TH: Data l’algebra Ai i=3,6,7,13 se ISAT e’ polinomiale allora esiste una struttura polinomiale che corrisponde all’insieme di tutte le soluzioni Questa struttura e’ la rete minima + algoritmo polinomiale che permette di enumerare, a partire dalle rete minima, tutte lo soluzioni (ASP). Algoritmo polinomiale si intende polinomiale per fornire una soluzione, non tutte che sono esse stesse esponenziali Infatti ISAT polinomiale  MLP polinomiale Sia D=(D1,D2,…, Dn) la rete minima. Di e’ l’insieme minimo di relazioni del vincolo rappresentato dalla variabile Xi. La rete minima D e’ una struttura polinomiale nella grandezza di problema: O(n), n=numero variabili. Notare che ogni variabile corrisponde alla relazione tra due intervalli. Quindi O(n), corrisponde a O(k2) dove k e’ il numero di intervalli

45 Algoritmo ASP Input: rete minima D Output: tutte le soluzioni int vector a[n]; //a[i] numero della relazione assegnata alla var i a[1]1, i 1 if (ISAT(D(a))=true) then //test consistenza istanza corrente if (i<n) then a[i+1]  1, i i+1 goto 3 else output D(a) if( a[i] < ni) //ni = cardinalita’ dominio var i a[i]  a[i]+1 else if (i=1) return else a[i]0, ii-1, goto 9

46 Relazione tra ISAT e trovare tutte le soluzioni (2)
Riassumendo, ASP fa una depth-first search nello spazio delle soluzioni testando la consistenza della soluzione parziale ad ogni assegnamento nuovo Complessita’ di ASP per fornire una soluzione: O(mn *Comp_ISAT) dove n=numero delle variabili m= massimo numero di relazioni in un dominio di D e Comp_ISAT = complessita’ di ISAT Quindi, riassumendo SE ISAT e’ polinomiale  MLP polinomiale D polinomiale ASP polinomiale

47 Grafi di intervalli V insieme qualunque
{I(v)}v∈V :insieme di intervalli di ℝ Diciamo che v<w sse I(v) e’ strettamente alla sinistra di I(w) L’ordinamento indotto in questo modo da {I(v)}v∈V su V e’ un ordinamento parziale detto ordinamento degli intervalli e {I(v)}v∈V e’ la sua rappresentazione in intervalli Grafo G(V,E) e’ un grafo di intrevalli sse V ammette una rappresentazione in intervalli tale che Se l’arco non orientato (v,w)∈E allora v ~w, cioe’ I(v) ∩I(w)≠Ø Grafo di incomparabilita’ ~ Sequenza dei punti estremi, [lv,rv] di una rappresentazione in intervalli {I(v)}v∈V si ottiene considerando tutti gli intervalli da sinistra a destra Un ordinamento per intervalli su V o un grafo di intervalli su V puo’ essere indotto da molte rappresentazioni in intervalli diverse. Al peggio un numero esponenziale  piu’ sono le possibili rappresentazioni, meno informazioni temporali si hanno

48 Applicazione: archeologia
Il problema della serialita’ Dare un ordine cronologico ai manufatti Manufatti: lancia con punta di selce, anfora in terracotta, lancia punta di ferro, bracciale d’oro, lancia con punta avvelenata Manufatto  intervallo temporale in cui era in uso Goal: assegnare ad ogni manufatto l’intervallo giusto Tomba dove il manufatto e’ trovato  istante temporale Il punto temporale che rappresenta la tomba e’ nell’intersezione degli intervalli temporali dei manufatti in essa contenuti

49 Il Sandwich problem per grafi di intervalli
E1, E2 due insiemi di archi definiti sugli stessi nodi V Grafo sandwich per (E1, E2 ): G(V,E) tale che E1⊆E⊆E1E2 IGS (Interval Graph Sandwich Problem): Dati due grafi G1=(V,E1) e G2=(V,E2) con E1∩E2=Ø, dire se esiste un grafo sandwich per E1 e E2 che sia un grafo di intervalli Sia F= (E1  E2)C complementare di (E1  E2), cioe’ l’insieme degli archi mancanti nel grafo G=(V, E1  E2) Se E1 oppure F sono Ø , allora la riposta e’ trivialmente SI. Nel primo caso E1, nell’altro E1 ∪E2. Se E2=Ø algoritmo polinomiale di Booth e Luecker vedremo la complessita’ nel caso generale

50 Applicazione: DNA Dato un DNA si hanno delle informazioni sperimentali sull’intersezione o meno di coppie di segmenti del DNA senza conoscerne i nucleotidi Goal: trovare come i segmenti possono essere disposti sotto forma di intervalli di una linea (la catena del DNA) in modo da rispettare le informazioni sulle intersezioni Rappresentazione in grafi Vertici  segmenti Nessun arco (arco in F) se non si intersecano Arco E1 se si intersecano Arco E2 se non e’ chiaro se si intersecano o meno

51 Relazione tra IGS e A3 Ogni istanza di un interval sandwich problem e’ equivalente a un problema ISAT definito su A3 Coppia di nodi (x,y)  variabile temporale V(x,y) (x,y)∈E1 D(V(x,y)) ={∩} (x,y)∈E2  D(V(x,y)) ={p,∩, p-1} (x,y)∉E1  E2  D(V(x,y)) ={p, p-1}

52 IGS e’ in NP IGS E1, E2 due insiemi di archi definiti sugli stessi nodi V Grafo sandwich per (E1, E2 ): G(V,E) tale che E1⊆E⊆E1E2 IGS (Interval Graph Sandwich Problem): Dati due grafi G1=(V,E1) e G2=(V,E2) con E1∩E2=Ø, dire se esiste un grafo sandwich per E1 e E2 che sia un grafo di intervalli NP: data una rappresentazione in intervalli di V serve un tempo polinomiale per testare se tutti gli intervalli coinvolti in archi in E1 si intersecano Se tutte le coppie di intervalli che si intersecano corrispondono a nodi toccati da archi o in E1 o in E2 Devo guardare tutte le possibili coppie di intervalli O(n2)

53 Triple asteroidali Dato un grafo G(V,E)
Tripla asteroidale di vertici di V: TA={x,y,z} tale che non vi e’ nessun arco sui vertici di TA per ogni coppia di vertici h, k ∈ TA esiste un cammino di archi in E da h a k che non passa per nessun vertice adiacente al terzo vertice in TA Un grafo di intervalli non puo’ contenere una tripla asteroidale Infatti visto che non ci sono archi su x, y, z gli intervalli corrispondenti sono ordinati ad esempio in modo tale che x<y<z ogni intervallo incomparabile con I(x) e I(z) non puo’ essere ordinato rispetto a I(y)

54 Not All Equal 3-SAT NAE-3SAT Restrizione di 3-SAT
Data una congiunzione di clausole ciascuna disgiunzione di 3 letterali dire se c’e’ un modo di soddisfarla in modo che per ogni clausola ci sia un letterale vero e almeno uno falso NAE-3SAT e’ NP-completo anzi, rimane NP-completo anche nella versione monotona (tutti i letterali sono non-negati) in cui SAT e facile

55 NP-completezza di IGS Riduzione NAE-3SAT  IGS Un vertice ausiliario p
n letterali m clausole Un vertice ausiliario p Per ogni variabile Xi  4 vertici: xi, xi vertici letterali di Xi x’i,x’i vertici privati di Xi Mettiamo i seguenti archi che consideriamo in E1 x’i xi p

56 NP-completezza di IGS(2)
Per ogni clausola Ci=(Xi1vXi2vXi3) 3 vertici vi1, vi2, vi3 vertici privati della clausola Denotando con xi1, xi2, xi3 vertici letterali corrispondenti Archi in E1 Archi in E2 xi3 xi2 xi1 vi3 vi2 vi1

57 Archi in F = (E1 ∪ E2)c: Archi in E2:
Archi tra vertici dello stesso sottografo corrispondente a una variabile che non sono in E1 Archi tra vertici dello stesso sottografo corrispondente a una clausola non in E1 e non E2 Archi in E2: i,j=1, …,n i≠j un arco tra ogni vertice in {xi,x’i,xi,x’i} e ogni vertice in {xj,x’j,xj,x’j} i,j=1, …,m i≠j un arco tra ogni vertice privato, vih, di Ci e ogni vertice privato, vjk, di Cj i=1, …,m un arco tra ogni vertice privato di Ci e p e un arco tra ogni vertice privato di Ci e ogni vertice letterale tranne quelli corrispondenti agli altri due letterali in Ci i=1,..n e j=1,…,m un arco tra ogni vertice privato di Xi e ogni vertice privato di Cj

58 Esiste IGS  NAE-SAT soddisfatta
Supponiamo esista un grafo di intervalli G’ che soddisfa il problema sandwich per E1 e E2 Sia I(v) una rappresentazione di G’ I(p)=[p1,p2] Per costruzione per ogni variabile Xi I(xi)∩I(xi)=Ø p1 ∈ I(xi) e p2 ∈ I(xi) oppure p2 ∈ I(xi) e p1 ∈ I(xi) Ponendo Xi=true sse p1 ∈ I(xi)  solo un letterale per ogni variabile e’ true non puo’ essere p1<xi-<xi+<xi_-<xi_+<p2 perche xi interseca xi’ e xi_ interseca xi_’ ma p non deve intersecare ne’ xi’ ne’xi_’ x’i xi p

59 Esiste IGS  NAE-SAT soddisfatta
Per ogni clausola Ci Per costruzione Non puo essere che I(xij)∩I(xih)=Ø, ∀j,h=1,2,3, j≠h perche’ p1 ∈ I(xij) oppure p2 ∈ I(xij) per j=1,2,3 Non puo’ essere che p2 o p1 ∈ I(xij), ∀ij altrimenti si avrebbe che {(xi1,xi2), (xi2,xi3), (xi3,xi3)}∈E e dunque vi1,vi2,vi3 formerebbe una tripla asteroidale Quindi p1 e’ in almeno xij che viene associato a vero e la clausola e’ soddisfatta ma non in tutti e 3 i letterali La formula e NAE-SAT xi3 xi2 xi1 vi3 vi2 vi1

60 NAE-SAT  esiste un IGS Sopponiamo v sia un assegnamento che NAE-SAT la formula costruisco un grafo sandwich per (E1,E2) p1 p3 p2 A1 B1 t11 t12 f11 f12 A2 B2 t21 t22 f21 f22 A3 B3 t31 t32 t31 t31 Se Xi=true I(xi)=Ai and I(xi)=Bi Se Xi=false I(xi)=Bi and I(xi)=Ai Compatibile con x’i xi p

61 Intervalli corrispondenti alle variabili private delle clausole
I(x1) I(x1) t11 t12 f11 f12 I(x2) I(x2) t21 t22 f21 f22 I(x3) I(x3) t31 t32 t31 t31 I(v11) I(v12) I(v22) I(v33) I(v23) I(v13) I(v31) I(v32) I(v21) xi3 xi2 xi1 vi3 vi2 vi1 (x1v x2 v x3) and (x1v x2 v x3) and (x1v x2 v x3) Assegnamento x1=T, x2=T, x3=f x’i xi p

62 ISAT e’ NP-hard per A3, A7, A6, A13
Infatti A3 e’ contenuta in ogni Ai, i=7,6, 13

63 Sottoclassi trattabili di A3
L’insieme di relazioni permesse da A3 e’: {<,>,⋂,<⋂,⋂>,<>,<⋂>}, dove <=p e >=p-1 Dalla prova vista si ha anche che la sottoclasse ∆0={⋂,<>,<⋂>} non e’ trattabile Ci chiediamo se vi sono delle sottoclassi trattabili

64 La sottoclasse ∆1 Consideriamo la sottoclasse definita dal seguente sottoinsieme ∆1={<,>,⋂,<⋂,⋂>,<⋂>}, cioe’ (relazioni generate da A3)-{<>} Mostriamo che e’ trattabile riducendo ISAT(∆1) a determinare l’aciclicita’ di un grafo particolare

65 La sottoclasse ∆1 Ogni relazione di ∆1 corrisponde a una o a due relazioni definite sugli estremi degli intervalli Dati gli intervalli I=[I-,I+] e J=[I-,I+] I<J ↔ I+<J- I>J ↔ J+<I- I <⋂ J ↔ I-≤J+ I ⋂> J ↔ J- ≤ I+ I ⋂ J ↔ I-≤ J+ and J- ≤ I+

66 Grafo corrispondente(1)
Problema di vincoli temporali di tipo ∆1, P  grafo G(P)=(V,E) Estremo di un intervallo  nodo in V E=(E0,E1) Per ogni intervallo I=[I-,I+]  arco (I-,I+)∈E0 Per ogni vincolo I<J  arco (I+,J-) ∈E1 Per ogni vincolo I<⋂J  arco (I-,J+) ∈E0 Per ogni vincolo I⋂J  arco (I-,J+) ∈E0 e arco (J-,I+) ∈E0 Per ogni vincolo I<⋂>J  nessun arco Archi E0 sono detti deboli Archi E1 sono detti forti

67 Grafo corrispondente (2)
Il grafo cosi’ definito e’ bipartito tra i nodi {I-1,…,I-n} corrispondenti agli estremi inferiori degli intervalli i nodi {l+1,…,l+n}, corrispondenti agli estremi superiori E0 I-1 I+1 P={X,Y} X={I1<I2} Y={I2∩>I3} E1 I-2 I+2 Esprime un ordinamento parziale I-3 I+3

68 ISAT(P) ↔ grafo aciclico
Se c’e’ un ciclo  c’e’ una relazione ciclica e quindi inconsistente tra gli estremi degli intrevalli  non soddisfacibile Se non c’e’ un ciclo, scelgo una qualsiasi linearizzazione dell’ordinamento parziale espresso dal grafo  ottengo una soluzione del problema temporale Complessita’: Costruzione del grafo: lineare nel numero di variabili del problema Test di aciclicita’: ad esempio con una ricerca in profondita’ in O(|E|), E insieme degli archi del grafo