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La sottoclasse di IA: Ord-Horn Bernhard Nebel: Solving Hard Qualitative Temporal Reasoning Problems: Evaluating the Efficiency of Using the ORD-Horn Class.

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1 La sottoclasse di IA: Ord-Horn Bernhard Nebel: Solving Hard Qualitative Temporal Reasoning Problems: Evaluating the Efficiency of Using the ORD-Horn Class. ECAI 1996: 38-42ECAI 1996 Bernhard Nebel, Hans-Jürgen Bürckert: Reasoning about Temporal Relations: A Maximal Tractable Subclass of Allen's Interval Algebra. J. ACM 42(1): (1995)Hans-Jürgen BürckertJ. ACM 42

2 Definizioni (1) Come in PA, consideriamo le relazioni tra intervalli in termini di relazioni tra gli estremi degli intervalli Formula atomica: dati a e b due estremi di intervalli sono formule atomiche ab a=b Negazione di formule atomiche a b Letterale: formula atomica o la negazione di una formula atomica Esempio: ab, ab Clausola: disgiunzione di formule atomiche Esempio: ( ab v c =d) Denotiamo con O un insieme finito di clausole

3 Definizioni(2) -interpretazione: assegnamento a tutti gli estremi di intervalli in O di numeri reali (in ) -modello di O: -interpretazione che soddisfa tutte le calusole in O Forma in clausole di una relazione tra intervalli: e un insieme di clausole equivalente a alla relazione. Equivalente: esiste una corrispondenza biunivoca tra gli (I-)modelli della relazione tra intervalli e gli -modelli della sua forma in clausole A una relazione tra intervalli puo corrispondere piu di una forma in clausole

4 ORD-clauses Sottoinsieme di clausole Le ORD-clauses sono disgiunzioni di letterali di tipo a=b a b Non e permesso ab Stesso potere espressivo perche: (ab) v C ((( a b) v C) and ((ba) v C)) Data una relazione tra intervalli r, denotiamo con p(r) la sua forma in ORD-clauses

5 Esempio I1 (d,o,s) I2 SAc, Forma in ORD-caluses p(r) I1I1 I-1I-1 I+1I+1 I 2 I-2I-2 I+2I+2 I-1I-1 I-1I-1 I 2 - I 2 +, O={I 1 - I 1 +, I 1 - I 2 +, I 2 - I 1 +, I 1 + I 2 +, I 1 + < I 2 +, I 2 - I 2 +, I 1 - I 1 +, I 1 - I 2 +, I 2 - I 1 +, I 1 + I 2 +, I 1 + I 2 +}

6 Relazioni PA e ORD-clauses Clausola unitaria: clausola con un unico letterale Esempio: a b unitaria, (( a b) v (c=d)) non unitaria PA : permette solo ORD-clauses unitarie a>b ab {( a b), (ba)} due clausole unitarie SA: sottoinsieme di IA tale che r SA sse p(r) PA, cioe p(r) e un insieme di ORD-clauses unitarie Esempio I1 (d,o) I2 PA ORD-clauses I 2 - I 2 +, O={I 1 - I 1 +, I 1 - I 2 +, I 2 - I 1 +, I 1 + I 2 +, I 1 + < I 2 +, I 2 - I 2 +, I 1 - I 1 +, I 1 - I 2 +, I 2 - I 1 +, I 1 + I 2 +, I 1 - I 2 -,}

7 Relazioni PAc e ORD-clauses PAc: permette solo ORD-clauses unitarie e, inoltre, per ogni clausola unitaria ab nella stessa forma in clausole deve esserci la clausola ab o ba Esempio I1 (d,o,s) I2 SAc I 2 - I 2 +, O={I 1 - I 1 +, I 1 - I 2 +, I 2 - I 1 +, I 1 + I 2 +, I 2 - I 2 +, I 1 - I 1 +, I 1 - I 2 +, I 2 - I 1 +, I 1 + I 2 +, I 1 + I 2 +}

8 Riassumendo IA insiemi di ORD-clauses I1 (p, p -1 ) I2 r = p v p -1 p(r) = (I 1 - I 1 + ) ^ (I 1 - I 1 + ) ^ (I 2 - I 2 + ) ^ (I 2 - I 2 + ) ^ (I 1 + I 2 - v I 2 + I 1 - ) ^ (I 1 + I 2 - )^ (I 2 + I 1 - ) SA insiemi di ORD-caluses unitarie SAc insiemi di ORD-clauses unitarie in cui quando ab e nellinsieme ce anche ab oppure ba

9 ORD-Horn caluses ORD-Horn clausola: e una ORD-clausola con al piu un letterale positivo (a=b oppure ab) e un numero arbitrario di letterali negativi (a b) Esempi a=b v c b v ef ORD-Horn ab v c b v ef ORD-Horn a=b v c =b v ef ORD ma non ORD-Horn a b v c b v ef non ORD e (quindi) non ORD-Horn Notare che ORD-Horn clauses ORD clauses

10 La sottocalsse OH di IA OH IA, e tale che r OH se ha una forma in clausole, p(r), che e un insieme di ORD- Horn clauses Esempio: I1 (f -1,o,s) I2 OH I 2 - I 2 +, O={I 1 - I 1 +, I 1 - I 2 -, I 1 - I 2 +, I 2 - I 1 +, I 1 + < I 2 +, I 2 - I 2 +, I 1 - I 1 +, I 2 - I 1 +, I 1 + I 2 +, ( I 1 + I 2 + v I 1 - I 2 - ) } I 2 I-2I-2 I+2I+2 I1I1 I+1I+1 I-1I-1 I-1I-1 I1I1 I+1I+1 I-1I-1 I+1I+1 Notare che I1 (f -1,o,s) I2 SA

11 OH e SA Ogni relazione in SA e anche in OH perche la sua forma in clausole e fatta di clausole unitarie Linclusione e stretta. Lesempio nella slide precedente, I1 (f -1,o,s) I2, e in OH, ma non in SA

12 Riassumendo IA OH SA SAc 2 13 = ~10% 188~2% 88~1% Atomic 13

13 Caratteristiche di OH OH contiene 868 relazioni piu del 10% di IA Inoltre le clausole che non sono unitarie sono binarie (cioe riguardano solo due intervalli) e contengono letterali solo del tipo (X- op 1 Y-) oppure (X+ op 2 Y+) con op i {,=,} p v p -1 OH

14 Teoria PO La teoria PO e un insieme di assiomi che caratterizzano come ordinamento parziale x,y : x y and y z x z (transitivita) x: x x (riflessivita) x,y : x y and y x x = y (Antisimmetria) x,y : x = y x y x,y : x = y y x Questa teoria ammette molti modelli, cioe interpretazioni di x, y, z,, =,… che soddisfano gli assiomi

15 ORD-caluses e teoria PO Th. Dato un insieme di ORD-clauses O, allora O e -soddisfacibile sse O PO e soddisfacibile Un -modello di O, e un assegnamento di numeri reali i quali soddisfano gli assiomi di PO supponiamo di avere un modello, F, OPO. Devo ricavarne un -modello di O. Da PO possiamo dedurre che = riflessiva, transitiva e simmetrica Quindi F/= (F modulo =) e ancora un modello di O che soddisfa PO e dunque e ordinato parzialmente da. Ogni ordinamento parziale puo essere linearizzato ad un ordinamento totale che puo poi essere mappato nei reali. In tale linearizzazione le formule atomiche ORD (a=b), (a b) e (ab) di O sono ancora soddisfatte, quindi F puo essere cosi trasformato in un -modello di O. Notare che il Th. vale solo per formule atomiche di tipo ORD, perche se ammettiamo O={(a b), (b a)} allora O non ha un -modello ma OPO ha come modello un qualunque ordinamento parziale in cui a e b sono incomparabili

16 HornSAT e polinomiale Testare se un insieme di clausole di Horn e soddisfacibile e lineare nel numero di totale dei letterali presenti nelle clausole Se non ci sono clausole unitarie allora banalmente soddisfacibile: Assegnare falso a tutte le variabili Infatti ogni clausola contiene almeno un letterale negato Altrimenti, Unit propagation: Scelgo una clausola unitaria con un solo letterale (e.g. ab) Sostituisco le clausole di tipo: (c v ab)^( c v ab) con c Elimino le clausole che contengono ab La formula e soddisfacibile se alla fine non rimango con un letterale e la sua negazione

17 ISAT(OH) e polinomiale PO e una teoria di Horn perche contiene solo clausole di Horn Denotiamo con PO O gli assiomi di PO instanziati agli estremi che compaiono in O Allora usando il Th di Herbrand, OPO e soddisfacibile sse lo e OPO O Dato un insieme di relazioni X OH, allora la forma in clausole p(X) e un insieme di clausole ORD-Horn. p(X) puo essere ottenuta in tempo lineare nel numero di relazioni in X PO p(X), cioe linsieme di clausole Horn ottenute instanziando PO ai punti in p(X) puo essere calcolato in tempo lineare in X p(X) e - soddisfacibile sse p(X) PO p(X) e soddisfacibile Ma p(X) PO p(X) e un insieme di clausole di Horn ed e polinomiale testarne la soddisfacibilita, lineare nel numero di relazioni in X, quindi quadratico nel numero di intervalli

18 OH e Path consistency(1) Path consistency su OH risoluzione unitaria positiva, cioe solo di clausole unitarie e positive Assunzione di minimalita: supponiamo che, data una relazione r OH, ogni clausola in p(r) sia minima cioe: non esiste nessuna clausola con un sottoinsieme di letterali derivabile da p(r) Assunzione di forma esplicita :a,b,c estremi di intervalli Se (ab),(bc) p(r) (a c) p(r) transit. (ab),(ba) p(r) (a =b ) p(r) antisimmetria (a=b) p(r) (b=a ) p(r) (aa)p(r) riflessivita

19 OH e Path consistency(2) Sia R OH un insieme di relazioni path consistent e consistente (cioe Ø R). Allora non e possibile derivare con la risoluzione positiva unitaria nuove clausole unitarie da p(R)PO p(R) Una nuova clausola unitaria U puo essere derivata solo se esiste una clausola non unitaria C p(R) PO p(R) e un insieme di clausole unitarie positive D p(R) PO p(R) tale che per tutti i letterali in C tranne U esiste un complementare positivo in D. Si fanno tutti casi possibili per C Istanza dellassioma di transitivita Istanza dellassioma di antisimmetria cioe di (xy) and (yx) y=x, scritto come clausola non unitaria: (not(xy) v not(yx) v (x=y)) Cioe C= (not(aa) v not(aa) v (a=a)) ma se D={(aa),(aa)} allora con la risoluzione derivo (a=a) che non e una clausola nuova perche e gia in p(R) per lassunzione di forma esplicita …oppure C= (not(ab) v not(ba) v (a=b)) ma se D={(ab),(ba)} allora con la risoluzione derivo (a=b) che non e una clausola nuova perche e gia in p(R) per lassunzione di forma esplicita …oppure Istanza dellassioma x=y xy oppure yx C in p(R)

20 ISAT(OH) e polinomiale Sia R OH un insieme di relazioni path consistent. Allora R e soddisfacibile sse Ø R. Ovvia. Se contiene Ø non e soddisfacibile se Ø R allora la clausola vuota non appartiene a p(R). Quindi non e possibile derivare nessuna causola unitaria positiva. Per la completezza di refutazione della risoluzione di clausole positive unitarie p(R) PO p(R) e soddisfacibile (ha un modello). Per il teorema precedente anche R ha un modello. Dal teorema per testare la soddisfacibilita e sufficiente applicare path consistency o(n 3 )

21 OH e path consistency Notare che i risultati precedenti si basano sul fatto che OH e chiuso rispetto allinversione, composizione e intersezione Quindi, se applico path consistency a un sottoinsieme S di OH ottengo un (possibilmente) nuovo insieme S OH

22 MLP(OH) e polinomiale ISAT(OH) path consistency O(n 3 ) ISAT MLP. Assumiamo un oracolo che dato un problema di Allen dice se e consistente o no. Per ogni vincolo (O(n 2 )) chiediamo alloracolo se la rete in cui quel vincolo e sostituito con una sola delle sue relazioni ammesse e consistente (O(13)). Ora sappiamo che loracolo ci mette ogni volta O(n 3 ) Quindi MLP(OH) O(13n 2 ) x O(n 3 )=O(n 5 )

23 Riassumendo Sac SA OH ISAT(SAc) Con path consistency O(n 3 ) Oppure CSPAN O(n 2 ) ISAT(SA) CSPAN O(n 2 ) ISAT(OH) Path consistency O(n 3 ) MLP(SAc) Path consistency O(n 3 ) MLP(SA) Feasible O(n 4 ) MLP(OH) Path-consistency + oracolo O(n 5 )

24 Relazioni sentinella 1. X (d,d -1,o -1,s -1,f) Y esprime il fatto che X interseca strettamente Y e comincia dopo, oppure, finisce dopo Y 1. p ((d,d -1,o -1,s -1,f))={(X - Y - ), (X - >Y - v X + >Y + )} 2. X (d -1,o,o -1,s -1,f -1 ) Y esprime il fatto che X interseca strettamente Y e comincia prima, oppure, finisce dopo Y 1. p ((d,d -1,o -1,s -1,f))={(X - Y - ), (X - Y + )} 3. (p,d -1,o,m,f -1 ) SAcOH 1. p ((p,d -1,o,m,f -1 ))={(X -

25 Caratterizzazione classi difficili Se N1={(p,d -1,o,m,f -1 ), (p,d,o,m,s), (d,d -1,o -1,s -1,f)} S allora ISAT(S) NP-completo Se N2={(p,d -1,o,m,f -1 ), (p,d,o,m,s), (d -1,o,o -1,s -1,f -1 )} S allora ISAT(S) NP-completo Se OH S allora o (d,d -1,o -1,s -1,f) o (d -1,o,o -1,s -1,f -1 ) sono nella chiusura di S rispetto a inversione composizione e intersezione TH. OH S allora ISAT(S) e NP-completo

26 Dimostrazione 1. ISAT(S) NP perche ISAT(IA) NP 2. Vediamo che ISAT(S) NP-hard 3. Esiste una riduzione polinomiale 3SAT N1 e 3SAT N2 4. Come al solito partiamo da un formula 3SAT F=C1 ^ C2 ^ C3…. cioe una congiunzione di clausole del tipo: 5. C i =l i,1 v l i,2 v l i,3 6. Costruiamo un problema temporale T in N1 tale che T e soddisfacibile sse lo e F 7. Per ogni letterale li,j 1. 2 intervalli Xij e Yij 2. il vincolo Xij (d,d -1,o -1,s -1,f) Yij 3. Quindi P(T) conterra anche (Xij - >Yij - v Xij + >Yij + ) 8. Per ogni clausola Ci 9. i 3 vincoli {X i2 ( p,d -1,o,m,f -1 )Y i1, X i3 ( p,d -1,o,m,f -1 )Y i2, X i1 ( p,d - 1,o,m,f -1 )Y i3 } 10. Quindi P(T) contiene anche (Y i1 - >X i2 - ), (Y i2 - >X i3 - ), (Y i3 - >X i1 - ) 11. In questo modo escludiamo che possa essere soddisfatto (X ij - >Y ij - ) per ogni ij, 12. Infatti si avrebbe (X i1 - >Y i1 - >X i2 - >Y i2 - >X i3 - > Y i3 - >X i1 - ) assurdo 13. e questo lo interpretatiamo come la soddisfazione del letterale l ij nella clausola C i di D

27 …continua dim… 14. Ora non rimane che assicurarsi se l ij e vero ogni suo complementare l gh sia falso. 15. Vengono aggiunti i vincoli X gh ( p,d,o,m,s)Y ij, X ij ( p,d,o,m,s)Y gh 16. Quindi p(T) deve contenere anche (Y ij + >X gh + ) and (Y gh + >X ij + ) 17. In questo modo l ij e l gh non possono essere simultaneamente veri altrimenti varrebbero (X ij + >Y ij + ) e (X gh + >Y gh + ) da cui (X ij + >Y ij + > X gh + >Y gh + >X ij + ) assurdo

28 …continua dim… 18. T soddisfatto formula 3-SAT soddisfatta. Se il problema di vincoli temporali T ha soluzione allora per ogni i deve esistere un j tale X - ij >Y - ij non e soddisfatta (punto 11 della dim), e questo vuol dire che il letterale l ij e soddisfatto. Quindi ce un letterale soddisfatto per ogni clausola.

29 …continua dim… 19. Formula 3-SAT soddisfatta T soddisfatta. Sia v un assegnamento a tutti letterali della formula che la soddisfa. 20. per ogni letterale l=true in v Per ogni sua occorrenza nelle clausole lij eliminiamo X - ij > Y - ij dalla clausola ORD-Horn ((X - ij > Y - ij )v (X + ij > Y + ij )) Per ogni sua occorrenza negata nelle clausole lij eliminiamo X + ij > Y + ij dalla clausola ORD-Horn ((X - ij > Y - ij )v (X + ij > Y + ij )) 21. Visto o l =true o not(l) =true eliminando otteniamo tutte ORD-Horn unitarie 22. Visto che ogni clausola e soddisfatta non si hanno cicli del tipo X - >…>Y - >X - >…>Y - contenenti solo punti iniziali (punti 10,11) 23. Visto che letterali complementari hanno valori di verita diversi non si possono avere cicli X + >…>X + >Y + >…>X + contenenti solo punti finali (punto 16) 24. Cicli misti? Non ce ne sono non ci sono disequazioni che coinvolgono un punto iniziale e un punto finale

30 Il confine tra trattabilita e NP-completezza delle sottoclassi di IA Sia S IA. Denotiamo con S* la chiusura di S rispetto allinversione, composizione e intersezione, cioe la piu piccola sottoalgebra di IA generata da S Si puo verificare che dato S tale che OH SIA, allora (d,d -1,o -1,s -1,f) S* op (d -1,o,o -1,s -1,f -1 )S* Metodo enumerativo, controllo se la chiusura di OH {r} per ogni r in IA-OH contiene oppure no tali relazioni

31 Alcune considerazioni Quindi le classi che dominano OH nellordinamento prodotto dallinclusione sono difficili Ci si chiede se esistono altre sottoclassi massimali di IA, incomparabili con OH che siano trattabili Si Ad esempio U={,1}. Visto che la relazione tra intervalli non e esprimibile come un insieme di clausole ORD-Horn, U e incomparabile con OH. Inoltre ISAT(U) e lineare visto che basta assegnare tutti intervalli distinti

32 Altre classi trattabili? La classe U non e di particolare interesse Capire se esistono sottoclassi contenenti tutte le relazioni atomiche che siano trattabili e incomparabili a OH Th. Sia S una sottoclasse contenente le 13 relazioni atomiche. Allora {(p,d -1,o,m,f -1 ), (p,d,o,m,s)} S perche sono generati dalla chiusura delle atomiche una delle seguenti alternative e vera: S* OH (d -1,o,o -1,s -1,f -1 ) or (d,d -1,o -1,s -1,f) sono in S*

33 OH e lunica classe trattabile massimale Sia S una sottoclasse di IA contenente tutte le relazioni di base. Allora o S OH e ISAT(S) e polinomiale Oppure ISAT(S) e NP-completo Infatti S o contiene N1 oppure contiene N2

34 Algoritmo ISAT: path-consistency+backtracking Input:Allen Temporal problem Preporcessing:Path consistency Path-consistent? Intelligent backtracking Consistent? Post-processing: Solution determination no yes STOP Output: labeling atomico Output: assegnamento degli intervalli

35 Intelligent backtracking con OH 1. Int-back(matrice vincoli M, i,j interi) 2. M M //salvo M for (ogni relazione l k in M ij ) do 5. M ij l k 6. if (consistency(M)=true) then 7. if (M ij last edge or Int-back(M,next_i,next_j)) 8. return true 9. M M; //backtrack 10. endfor 11. return false 12. End; 3. Split(M ij in l 1..l s Atomic)3. Split(Mij in l1..ls SA)3. Split(Mij in l1..ls OH)

36 Algebra delle Macro-relazioni Martin Charles Golumbic, Ron Shamir: Complexity and Algorithms for Reasoning about Time: A Graph- Theoretic Approach. J. ACM 40(5): (1993)Ron ShamirJ. ACM 40

37 Idea fondamentale Sfruttare la corrispondenza tra: Algebra degli intervalli del ragionamento temporale Grafi di intervalli di analisi combinatoria

38 Lattice di Noekel Lattice: un ordinamento parziale in cui ogni sottoinsieme ha un elemento massimo e un elemento minimo E possibile organizzare le relazioni di Allen in un lattice La relazione r

39 Macro relazioni p m o s = d f f -1 s -1 d -1 o -1 m -1 p -1 Definiamo come macro- relazioni i seguenti sottoinsiemi di relazioni = {m,m -1,o,o -1,s,s -1,f,f - 1,d,d -1 } α= {m,o} α -1 ={m -1,o -1 } C = {s,f,d} C -1 = {s -1,f -1,d -1 } (Macro-)Relazioni atomiche saranno:, p, p -1,=, α, α -1, C, C -1

40 Macro algebre Date le macro-relazioni definiamo le seguenti macro-algebre A 3 = {p,p -1, } A 7 = {p,p -1, α, α -1, C, C -1, =} A 6 = {p,p -1, o, o -1, d, d -1 } se gli estremi degli intervalli devono essere distinti p m o s = d f f -1 s -1 d -1 o -1 m -1 p -1 p m o s = d f f -1 s -1 d -1 o -1 m -1 α -1 α p -1 Ai i elementi Sono algebre booleane, cioe chiuse rispetto allunione e alla intersezione di insiemi! p m o s = d f f -1 s -1 d -1 o -1 m -1 p -1 A3A3 A7A7 A6A6

41 Terminologia Problema temporale 1. Variabile coppia di intervalli 2. Dominio sottoinsieme delle relazioni dellalgebra che stiamo considerando 3. Vincoli impliciti, indotti dal fatto che le variabili rappresentano coppie di intervalli temporali (cioe intervalli sulla retta reale, e.g. transitivita) Taglia di un problema numero di variabili, quindi il numero di relazioni tra coppie di intervalli O(n 2 ) con n intervalli

42 Terminologia (2) Realizzazione: assegnamento a ogni intervallo di un intervallo sulla retta reale che soddisfa le relazioni Solo relazioni topologiche ordinamento debole (transitivo, riflessivo, completo) I1

43 Equivalenza di ISAT e MLP (gia visto) TH: Determinare la soddisfacibilita (ISAT) e determinare la rete minima (MLP) di problemi temporali di Allen sono problemi equivalenti in tutte le algebre Ai, i=3,6,7,13 PROVA: Da ognuno esiste una mappatura polinomiale allaltro 1. ISAT MLP. Assumiamo un oracolo che dato un problema di Allen dice se e consistente o no. Per ogni vincolo (O(n 2 )) chiediamo alloracolo se la rete in cui quel vincolo e sostituito con una sola delle sue relazioni ammesse e consistente (O(13)). 2. MLP ISAT. Assumiamo di avere un algoritmo che calcoli la rete minima. Perche il problema sia soddisfacibile e sufficiente controllare che nessun vincolo non ammetta nessuna relazione (O(n 2 )).

44 Relazione tra ISAT e trovare tutte le soluzioni (1) TH: Data lalgebra A i i=3,6,7,13 se ISAT e polinomiale allora esiste una struttura polinomiale che corrisponde allinsieme di tutte le soluzioni Questa struttura e la rete minima + algoritmo polinomiale che permette di enumerare, a partire dalle rete minima, tutte lo soluzioni (ASP). Algoritmo polinomiale si intende polinomiale per fornire una soluzione, non tutte che sono esse stesse esponenziali Infatti ISAT polinomiale MLP polinomiale Sia D=(D 1,D 2,…, D n ) la rete minima. D i e linsieme minimo di relazioni del vincolo rappresentato dalla variabile X i. La rete minima D e una struttura polinomiale nella grandezza di problema: O(n), n=numero variabili. Notare che ogni variabile corrisponde alla relazione tra due intervalli. Quindi O(n), corrisponde a O(k 2 ) dove k e il numero di intervalli

45 Algoritmo ASP Input: rete minima D Output: tutte le soluzioni 1. int vector a[n]; //a[i] numero della relazione assegnata alla var i 2. a[1] 1, i 1 3. if (ISAT(D(a))=true) then //test consistenza istanza corrente 4. if (i

46 Relazione tra ISAT e trovare tutte le soluzioni (2) Riassumendo, ASP fa una depth-first search nello spazio delle soluzioni testando la consistenza della soluzione parziale ad ogni assegnamento nuovo Complessita di ASP per fornire una soluzione: O(mn *Comp_ISAT) dove n=numero delle variabili m= massimo numero di relazioni in un dominio di D e Comp_ISAT = complessita di ISAT Quindi, riassumendo SE ISAT e polinomiale MLP polinomiale D polinomiale ASP polinomiale

47 Grafi di intervalli V insieme qualunque {I(v)} v V :insieme di intervalli di Diciamo che v

48 Applicazione: archeologia Il problema della serialita Dare un ordine cronologico ai manufatti Manufatti: lancia con punta di selce, anfora in terracotta, lancia punta di ferro, bracciale doro, lancia con punta avvelenata Manufatto intervallo temporale in cui era in uso Goal: assegnare ad ogni manufatto lintervallo giusto Tomba dove il manufatto e trovato istante temporale Il punto temporale che rappresenta la tomba e nellintersezione degli intervalli temporali dei manufatti in essa contenuti

49 Il Sandwich problem per grafi di intervalli E1, E2 due insiemi di archi definiti sugli stessi nodi V Grafo sandwich per (E1, E2 ): G(V,E) tale che E1 E E1E2 IGS (Interval Graph Sandwich Problem): Dati due grafi G1=(V,E1) e G2=(V,E2) con E1E2= Ø, dire se esiste un grafo sandwich per E1 e E2 che sia un grafo di intervalli Sia F= (E1 E2) C complementare di (E1 E2), cioe linsieme degli archi mancanti nel grafo G=(V, E1 E2) Se E1 oppure F sono Ø, allora la riposta e trivialmente SI. Nel primo caso E1, nellaltro E1 E2. Se E2= Ø algoritmo polinomiale di Booth e Luecker vedremo la complessita nel caso generale

50 Applicazione: DNA Dato un DNA si hanno delle informazioni sperimentali sullintersezione o meno di coppie di segmenti del DNA senza conoscerne i nucleotidi Goal: trovare come i segmenti possono essere disposti sotto forma di intervalli di una linea (la catena del DNA) in modo da rispettare le informazioni sulle intersezioni Rappresentazione in grafi Vertici segmenti Nessun arco (arco in F) se non si intersecano Arco E1 se si intersecano Arco E2 se non e chiaro se si intersecano o meno

51 Relazione tra IGS e A3 Ogni istanza di un interval sandwich problem e equivalente a un problema ISAT definito su A 3 Coppia di nodi (x,y) variabile temporale V(x,y) (x,y) E 1 D(V(x,y)) ={ } (x,y) E 2 D(V(x,y)) ={p,, p -1 } (x,y) E 1 E 2 D(V(x,y)) ={p, p -1 }

52 IGS e in NP IGS E1, E2 due insiemi di archi definiti sugli stessi nodi V Grafo sandwich per (E1, E2 ): G(V,E) tale che E1 E E1E2 IGS (Interval Graph Sandwich Problem): Dati due grafi G1=(V,E1) e G2=(V,E2) con E1E2= Ø, dire se esiste un grafo sandwich per E1 e E2 che sia un grafo di intervalli NP: data una rappresentazione in intervalli di V serve un tempo polinomiale per testare se tutti gli intervalli coinvolti in archi in E1 si intersecano Se tutte le coppie di intervalli che si intersecano corrispondono a nodi toccati da archi o in E1 o in E2 Devo guardare tutte le possibili coppie di intervalli O(n 2 )

53 Triple asteroidali Dato un grafo G(V,E) Tripla asteroidale di vertici di V: TA={x,y,z} tale che non vi e nessun arco sui vertici di TA per ogni coppia di vertici h, k TA esiste un cammino di archi in E da h a k che non passa per nessun vertice adiacente al terzo vertice in TA Un grafo di intervalli non puo contenere una tripla asteroidale Infatti visto che non ci sono archi su x, y, z gli intervalli corrispondenti sono ordinati ad esempio in modo tale che x

54 Not All Equal 3-SAT NAE-3SAT Restrizione di 3-SAT Data una congiunzione di clausole ciascuna disgiunzione di 3 letterali dire se ce un modo di soddisfarla in modo che per ogni clausola ci sia un letterale vero e almeno uno falso NAE-3SAT e NP-completo anzi, rimane NP-completo anche nella versione monotona (tutti i letterali sono non-negati) in cui SAT e facile

55 NP-completezza di IGS Riduzione NAE-3SAT IGS n letterali m clausole Un vertice ausiliario p Per ogni variabile Xi 4 vertici: x i, x i vertici letterali di X i x i,x i vertici privati di X i Mettiamo i seguenti archi che consideriamo in E1 xixi xixi xixi pxixi

56 NP-completezza di IGS(2) Per ogni clausola C i =(X i1 vX i2 vX i3 ) 3 vertici v i1, v i2, v i3 vertici privati della clausola Denotando con x i1, x i2, x i3 vertici letterali corrispondenti Archi in E1 Archi in E2 x i3 x i2 x i1 v i3 v i2 v i1

57 Archi in F = (E1 E2) c : Archi tra vertici dello stesso sottografo corrispondente a una variabile che non sono in E1 Archi tra vertici dello stesso sottografo corrispondente a una clausola non in E1 e non E2 Archi in E2: i,j=1, …,n i j un arco tra ogni vertice in {x i,x i,x i,x i } e ogni vertice in {x j,x j,x j,x j } i,j=1, …,m i j un arco tra ogni vertice privato, v ih, di Ci e ogni vertice privato, v jk, di Cj i=1, …,m un arco tra ogni vertice privato di Ci e p e un arco tra ogni vertice privato di Ci e ogni vertice letterale tranne quelli corrispondenti agli altri due letterali in Ci i=1,..n e j=1,…,m un arco tra ogni vertice privato di Xi e ogni vertice privato di Cj

58 Esiste IGS NAE-SAT soddisfatta Supponiamo esista un grafo di intervalli G che soddisfa il problema sandwich per E1 e E2 Sia I(v) una rappresentazione di G I(p)=[p1,p2] Per costruzione per ogni variabile Xi I(xi) I(xi)=Ø p1 I(xi) e p2 I(xi) oppure p2 I(xi) e p1 I(xi) Ponendo Xi=true sse p1 I(xi) solo un letterale per ogni variabile e true xixi xixi xixi pxixi

59 Esiste IGS NAE-SAT soddisfatta Per ogni clausola Ci Per costruzione Non puo essere che I(x ij ) I(x ih )=Ø, j,h=1,2,3, j h perche p1 I(x ij ) oppure p2 I(x ij ) per j=1,2,3 Non puo essere che p2 o p1 I(x ij ), ij altrimenti si avrebbe che {(xi1,xi2), (xi2,xi3), (xi3,xi3)} E e dunque v i1,v i2,v i3 formerebbe una tripla asteroidale Quindi p1 e in almeno x ij che viene associato a vero e la clausola e soddisfatta ma non in tutti e 3 i letterali La formula e NAE-SAT x i3 x i2 x i1 v i3 v i2 v i1

60 NAE-SAT esiste un IGS Sopponiamo v sia un assegnamento che NAE-SAT la formula costruisco un grafo sandwich per (E1,E2) p1p1 p3p3 p2p2 t 11 t 12 t 21 t 22 t 31 t 32 f 11 f 12 f 21 f 22 t 31 A1A1 A2A2 A3A3 B1B1 B2B2 B3B3 Se Xi=true I(xi)=Ai and I(xi)=Bi Se Xi=false I(xi)=Bi and I(xi)=Ai Compatibile con xixi xixi xixi pxixi

61 Intervalli corrispondenti alle variabili private delle clausole p1p1 p3p3 p2p2 t 11 t 12 t 21 t 22 t 31 t 32 f 11 f 12 f 21 f 22 t 31 I(x1) I(x2) I(x3) I(x1) I(x2) I(x3) I(v 23 ) I(v 12 ) I(v 31 ) I(v 22 ) I(v 11 ) I(v 32 )I(v 21 ) I(v 13 ) I(v 33 ) xixi xixi xixi pxixi x i3 x i2 x i1 v i3 v i2 v i1 (x1v x2 v x3) and (x1v x2 v x3) and (x1v x2 v x3) Assegnamento x1=T, x2=T, x3=f

62 ISAT e NP-hard per A3, A7, A6, A13 Infatti A3 e contenuta in ogni Ai, i=7,6, 13

63 Sottoclassi trattabili di A3 Linsieme di relazioni permesse da A3 e: {,,,<>,<>}, dove =p -1 Dalla prova vista si ha anche che la sottoclasse 0= {,<>,<>} non e trattabile Ci chiediamo se vi sono delle sottoclassi trattabili

64 La sottoclasse 1 Consideriamo la sottoclasse definita dal seguente sottoinsieme 1= {,,,<>}, cioe (relazioni generate da A3)-{<>} Mostriamo che e trattabile riducendo ISAT(1) a determinare laciclicita di un grafo particolare

65 La sottoclasse 1 Ogni relazione di 1 corrisponde a una o a due relazioni definite sugli estremi degli intervalli Dati gli intervalli I=[I-,I+] e J=[I-,I+] IJ J+ J J- I+ I J I- J+ and J- I+

66 Grafo corrispondente(1) Problema di vincoli temporali di tipo 1, P grafo G(P)=(V,E) Estremo di un intervallo nodo in V E=(E0,E1) Per ogni intervallo I=[I-,I+] arco (I-,I+)E0 Per ogni vincolo IJ nessun arco Archi E0 sono detti deboli Archi E1 sono detti forti

67 Grafo corrispondente (2) Il grafo cosi definito e bipartito tra i nodi {I- 1,…,I- n } corrispondenti agli estremi inferiori degli intervalli i nodi {l+ 1,…,l+ n }, corrispondenti agli estremi superiori I- 1 I- 2 I- 3 I+ 1 I+ 2 I+ 3 E1 E0 Esprime un ordinamento parziale P={X,Y} X={I1 I3 }

68 ISAT(P) grafo aciclico Se ce un ciclo ce una relazione ciclica e quindi inconsistente tra gli estremi degli intrevalli non soddisfacibile Se non ce un ciclo, scelgo una qualsiasi linearizzazione dellordinamento parziale espresso dal grafo ottengo una soluzione del problema temporale Complessita: Costruzione del grafo: lineare nel numero di variabili del problema Test di aciclicita: ad esempio con una ricerca in profondita in O(|E|), E insieme degli archi del grafo


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