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I BERNOULLI: una grande famiglia Firenze, 30 maggio 2012 Sala de Dugento - Palazzo Vecchio Premiazione provinciale delle Olimpiadi della Matematica e.

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2 I BERNOULLI: una grande famiglia Firenze, 30 maggio 2012 Sala de Dugento - Palazzo Vecchio Premiazione provinciale delle Olimpiadi della Matematica e della Fisica

3 LA FAMIGLIA BERNOULLI La famiglia Bernoulli discende da una famiglia protestante originaria delle Fiandre; nel 1576 fuggì da Anversa per sottrarsi ai massacri degli Ugonotti da parte dei Cattolici. Dopo un periodo di rifugio a Francoforte, la famiglia Bernoulli si trasferì in Svizzera, dove si stabilì a Basilea nel 1583 e dove il capostipite diventò un commerciante di successo. Anche Nicolaus Bernoulli fu un commerciante come lo erano stati suo nonno e il suo bisnonno; tutti questi uomini avevano sposato delle figlie di commercianti e, tranne il bisnonno, avevano accumulato ingenti fortune. Il primo che si allontanò dalla tradizione fece il medico; il genio matematico, tuttavia, forse latente da qualche generazione, si manifestò improvvisamente a partire dai suoi figli. Nessuna famiglia nella storia della matematica ha prodotto tanti matematici celebri come la famiglia Bernoulli. Fra i membri di questa famiglia circa una dozzina si affermarono nel campo della matematica e della fisica e quattro furono eletti membri stranieri dell'Académie des Sciences. Diversi membri della famiglia hanno contribuito notevolmente alle scienze, al punto che spesso nello studio di tali discipline si incontra il cognome Bernoulli, pur riferito a componenti diversi di tale famiglia. Con Isaac Newton, Gottfried Leibniz, Leonhard Euler e Joseph Lagrange, i Bernoulli dominarono la matematica e la fisica del XVII e XVIII secolo dando contributi critici al calcolo differenziale, geometria, meccanica, balistica, termodinamica, idrodinamica, ottica, elasticità, magnetismo, astronomia e teoria della probabilità.

4 Contrariamente ad altri scienziati della loro epoca, poco o nulla conosciuti, la famiglia Bernoulli fu una vera dinastia di geni e scienziati che godette, già all'epoca, di una enorme fama e popolarità, fino a costituire sinonimo, nell'immaginario popolare, di portatori di inarrivabile scienza. Erano tanto geniali e brillanti quanto arroganti e presuntuosi che spesso dettero vita ad aspre rivalità l'uno contro l'altro. Il primo a raggiungere una posizione preminente nel campo della matematica fu Jacob Bernoulli, conosciuto anche come Jacques o James. Vista la ricorrenza dei nomi all'interno della famiglia, alcuni dei personaggi vengono citati con un numero progressivo, come i membri di una dinastia; inoltre, tenuto conto sia delle origini che di altri aspetti della storia, vengono citati sia con i nomi tedeschi che con i nomi francesi. Alla famiglia Bernoulli è stato dedicato un asteroide: 2034 Bernoulli. Oggi ci occuperemo dei tre maggiori esponenti di questa famiglia: Jacob, Johann e Daniel.

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6 Nicolaus – commerciante Jacob I – geometria,teoria delle probabilità, statistica Nicolaus Nicolaus I – probabilità applicate a questioni legali, equazioni differenziali Johann I – calcolo e cinetica Nicolaus II – geometria ed equazioni differenziali Daniel I – botanica e fluidodinamica Johann II – luce e di calore Johann III – teoria della probabilità Daniel II Jakob II – elasticità, idrostatica, balistica

7 JACOB BERNOULLI Jacob Bernoulli (noto anche come Jacques Bernoulli o Giacomo Bernoulli) (Basilea, 27 dicembre 1654 – Basilea, 16 agosto 1705). Jacob Bernoulli seguì la volontà di suo padre cominciando gli studi in teologia, ma nel 1676 incontrò Robert Boyle durante un viaggio in Inghilterra, e si dedicò così alle scienze e alla matematica. Nel 1682 divenne rettore all'Università di Basilea e nel 1687 professore di matematica. Fece molti viaggi per incontrare scienziati di altri paesi. I suoi interessi erano orientati verso le ricerche sugli infinitesimi dalla lettura delle opere di Wallis e di Barrow; tenne una corrispondenza con Gottfried Leibniz negli anni dai cui primi scritti sull'argomento apprese il calcolo differenziale che sviluppò nei decenni successivi, con la collaborazione del fratello, Johann, e sempre sotto la supervisione dello stesso Leibniz.

8 I suoi primi scritti sulle curve trascendenti (1696) e isoperimetria (1700, 1701) sono i primi esempi di tali applicazioni. Nel 1690, allorché suggerì a Leibniz il termine di integrale, pubblicava già propri scritti sull'argomento sugli Acta Eruditorum. Fra le altre cose, egli mise in rilievo che in un punto di massimo o di minimo la derivata di una funzione non necessariamente è uguale a 0, ma può assumere un valore infinito, oppure può assumere una forma indeterminata. Si interessò fin dall'inizio alle serie infinite, e nel suo primo scritto sull'argomento nel 1689 presentava la nota disuguaglianza di Bernoulli Lavorò anche su vari tipi di equazioni differenziali (riducibili ad omogenee, a variabili separabili) e in particolare sull'equazione che porta il suo nome l'idea di risolverla riconducendola ad un'equazione lineare è del fratello Johann.

9 LA LEMNISCATA Jakob Bernoulli fu affascinato dai problemi delle curve e dal calcolo infinitesimale: una curva porta il suo nome: la lemniscata di Bernoulli. Essa si presenta come una figura simile ad un otto coricato o a un nastro annodato (lemniscus). La sua equazione cartesiana è questa La lemniscata fu descritta per la prima volta sugli Acta Eruditorum nel 1694 da Jacob Bernoulli, come modificazione dellellisse, che è il luogo dei punti per i quali la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi è costante. Una lemniscata, viceversa, è il luogo dei punti per i quali il prodotto di queste distanze è costante. La lemniscata era in effetti già stata trattata da Giovanni Cassini nel suo studio del 1680 sullovale che porta il suo nome, di cui la lemniscata costituisce un caso particolare. Giovanni Fagnano dei Toschi nel 1750 ne studiò le principali proprietà.

10 LISOCRONA Egli riconobbe nel 1690 che la parabola semicubica è l'isocrona ossia la curva piana lungo la quale un punto materiale scende per effetto della gravità da un qualunque punto al punto più basso esattamente nello stesso tempo.

11 LA BRACHISTOCRONA Un altro problema affrontato da Jacob e la cui soluzione si trova in un testo del 1701 è quello della brachistocrona, che fu proposto per la prima volta in forma ufficiale dal fratello Johann nel Si tratta della ricerca della curva del tempo più corto: fissati due punti A e B, e si considera una massa puntiforme M che si muove in un piano verticale su una guida senza attrito che connette i punti A e B; la massa M è soggetta alla forza peso. Il tempo che M impiega per andare dal punto A al punto B (con velocità iniziale nulla) dipende dalla traiettoria, che è determinata dalla forma della guida. La soluzione del problema è un arco di cicloide che passa per i due punti A e B. La cicloide è una curva piana tracciata da un punto fisso su una circonferenza che rotola lungo una retta.

12 TEORIA DELLE PROBABILITA La sua opera principale è Ars Conjectandi pubblicato postumo nel 1713, un lavoro fondamentale della teoria delle probabilità. I concetti campionamento bernoulliano, variabile aleatoria bernoulliana, teorema di Bernoulli sono legati ai suoi lavori e nominati in suo onore. In statistica si definiscono campioni bernoulliani quei campioni che si ottengono, in un'indagine campionaria, quando le unità della popolazione sono estratte a caso, una per volta, e con reinserimento. Si parla di schema di campionamento con ripetizione perché una unità della popolazione, una volta estratta, può ripetersi nel campione (si può estrarre più volte lo stesso elemento). Ciò equivale a dire che, in ogni estrazione, la probabilità che si verifichi un evento è costante. In teoria delle probabilità la distribuzione di Bernoulli (o bernoulliana) è una distribuzione di probabilità su due soli valori, 0 e 1; si tratta della distribuzione di probabilità di una variabile aleatoria che assume valore 1 con probabilità p quando un certo evento si realizza (successo) valore 0 con probabilità q (probabilità contraria 1–p) quando l'evento non si realizza (fallimento o insuccesso)

13 Il teorema di Bernoulli è detto anche legge debole dei grandi numeri o legge empirica del caso. Si considerano: la probabilità p del verificarsi di un evento la frequenza a/n dellevento (a numero delle volte in cui l'evento si è presentato, n numero delle prove eseguite) la probabilità che la differenza fra a/n e p sia in valore assoluto minore di ɛ (numero positivo arbitrariamente piccolo) tende a 1 al crescere di n.

14 PREMIAZIONE GARA A SQUADRE DI FIRENZE

15 Istituto Superiore Russell-Newton Istituto Aeronautico Militare Douhet Liceo Scientifico Leonardo da Vinci Liceo Scientifico Castelnuovo

16 JOHANN BERNOULLI Johann I Bernoulli o Jean I Bernoulli (Basilea, 27 luglio 1667 – Basilea, 1 º gennaio 1748) è stato un matematico svizzero, uno dei pi ù importanti scienziati della famiglia Bernoulli, fratello minore di Jakob, il capostipite della famiglia. Educò il grande matematico Eulero ed è conosciuto per i suoi contributi al calcolo infinitesimale.Basilea 27 luglio 1667 Basilea 1 º gennaio 1748 matematico svizzero famiglia Bernoulli Jakob Eulero calcolo infinitesimale

17 Johann cominciò a studiare medicina allUniversità di Basilea. Suo padre cercò di costringerlo ad occuparsi del negozio, ma Johann disertò e convinse suo padre a fargli studiare medicina.Università di Basilea A diciottanni (1690) ottenne il diploma di Magister artium, con una dissertazione sulleffervescenza e sulla fermentazione, ma poco tempo dopo ( ) capì di aver fatto un errore scegliendo la medicina e cominciò a studiare la matematica al fianco di suo fratello maggiore Jakob, componendo due piccoli manuali sul calcolo differenziale e su quello integrale; tuttavia nessuno dei due è stato pubblicato per molto tempo.Jakob Dopo la laurea allUniversità di Basilea Johann Bernoulli insegnò equazioni differenziali. Successivamente, nel 1694 Johann Bernoulli sposò Dorothea Falkner e subito dopo, nel 1695, accettò il posto di professore di matematica allUniversità di Groninga. Nel 1705, alla morte del fratello Giacomo dovuta a tubercolosi, gli succedette nella cattedra di matematica a Basilea.equazioni differenzialiUniversità di Groningatubercolosi

18 Johann Bernoulli fu più proficuo del fratello in matematica e contribuì molto a diffondere il calcolo differenziale e integrale in Europa; il suo campo dattività comprendeva oltre la matematica, la fisica, la chimica e lastronomia. Come studente del calcolo infinitesimale di Leibniz, egli infatti ebbe con lui una fitta corrispondenza e nel 1713 difese la sua causa contro Newton.calcolo infinitesimaleLeibniz Sebbene Jakob e Johann lavorassero insieme prima che Johann si laureasse allUniversità di Basilea, i due svilupparono in seguito una relazione di gelosa competizione. Johann fu geloso della posizione di Jakob e i due spesso tentarono di farsi fuori a vicenda. Dopo la morte di Jakob la gelosia di Johann si riversò nei confronti del suo figlio talentuoso, Daniel. Nel 1738 il duo padre-figlio pubblicò quasi simultaneamente lavori separati sullidrodinamica.Danielidrodinamica

19 Contributi alla matematica Nel 1691 Johann Bernoulli accentuò ancora le tensioni con i suoi fratelli nel momento in cui riusc ì a risolvere il problema della catenaria proposto da Jakob. catenaria Si definisce catenaria una particolare curva piana iperbolica (dall'aspetto simile alla parabola), il cui andamento è quello caratteristico di una fune omogenea, flessibile e non estensibile, i cui due estremi siano vincolati e che sia lasciata pendere, soggetta soltanto al proprio peso.curva pianaparabola

20 Nel 1696 Johann Bernoulli propose il problema della brachistocrona (per questo viene spesso considerato l inventore del calcolo delle variazioni), sebbene l avesse gi à risolto lui stesso. In due anni egli ricevette cinque risposte, una delle quali da suo fratello maggiore, Jakob. Apparecchio conservato all'Istituto e Museo di Storia della Scienza di Firenze. Permette di verificare sperimentalmente che un grave impiega minor tempo a discendere lungo l'arco di una cicloide che non lungo la corda corrispondente.

21 Johann Bernoulli inoltre diede contributi alla geometria differenziale con le sue ricerche intorno alle linee geodetiche di una superficie. A lui viene spesso attribuita anche linvenzione del calcolo esponenziale. Johann conosceva anche le relazioni esistenti tra funzioni trigonometriche e logaritmi immaginari. In lettere scambiate con altri matematici discusse anche la questione dei logaritmi di numeri negativi. Egli cercò di sviluppare la trigonometria e la teoria dei logaritmi da un punto di vista analitico. Johann Bernoulli aveva pubblicato anche moltissimi scritti su parecchi aspetti avanzati dellanalisi (lisocrona, i solidi di minima resistenza, la catenaria, la trattrice, le traiettorie, le curve caustiche, i problemi isoperimetrici), conquistandosi una buona fama.catenariatrattrice

22 Trattrice con oggetto posizionato inizialmente nel punto (4,0)

23 Controversie con Guillaume de lHôpital Bernoulli fu scelto dal marchese de l'Hôpital per essere aiutato a studiare matematica. de l'Hôpital Bernoulli e de l Hôpital firmarono un contratto che, dietro il compenso di un salario regolare, corrispondente alla met à dello stipendio di un professore universitario dell epoca, dava a de l Hôpital il diritto di usare le scoperte di Bernoulli come meglio credeva. Ma c era per questo il patto con il diavolo: Jean Bernoulli si impegnava a risolvere tutti i problemi che De L Hopital gli avrebbe sottoposto, a non rivelare a nessuno le sue scoperte e non parlare con nessuno del loro accordo.

24 Tale contratto ebbe come risultato uno dei principali contributi di Bernoulli, risalente al 1694, che da allora fu sempre conosciuto come la regola di de l'Hôpital sulle forme indeterminate.regola di de l'Hôpital Nell'analisi matematica la regola di de l'Hôpital è un procedimento che permette di calcolare vari limiti di quozienti di funzioni reali di variabile reale che convergono a forme indeterminate delle formeanalisi matematicafunzioni reali di variabile realeforme indeterminate con l'aiuto della derivata del numeratore e della derivata del denominatore.derivata La regola si può estendere per cercare di calcolare limiti di funzioni appartenenti ad altre forme indeterminate. 0/00/0

25 La regola prende il nome da Guillaume de l'Hôpital, matematico francese del XVII secolo, che la pubblicò per la prima volta nel suo libro Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1696).Guillaume de l'HôpitalXVII secolo1696 È stato in seguito provato che la regola è da attribuirsi a Johann Bernoulli, suo insegnante; di conseguenza viene talora chiamata regola di Bernoulli.Johann Bernoulli Questa regola, oggi molto nota, fu incorporata da de lHôpital nel primo manuale di calcolo differenziale che sia mai stato stampato, intitolato Analyse des infiniment petits e pubblicato a Parigi nel Nella prefazione lautore ammette di dovere molto a Leibniz e ai Bernoulli, specialmente al «giovane professore di Groningen».

26 Johann Bernoulli scrisse al marchese de lHôpital per ringraziarlo di avere fatto il suo nome nel libro, ma dopo la morte del marchese, avvenuta nel 1704, Bernoulli in numerose lettere ad altri matematici accusò sostanzialmente lautore di plagio. I contemporanei consideravano infondate le pretese di Bernoulli: la pubblicazione recente della corrispondenza tra Bernoulli e de lHôpital mostra però che gran parte del lavoro era evidentemente dovuto a Johann Bernoulli. Bernoulli non pubblicò mai il suo manuale sul calcolo differenziale (esso vide finalmente la luce soltanto nel 1924), mentre il testo sul calcolo integrale apparve cinquantanni dopo che era stato scritto, nelledizione delle sue Opera omnia nel 1742.

27 La disuguaglianza di Bernoulli afferma che: per ogni intero n 0 e ogni numero reale x -1.interonumero reale La disuguaglianza di Bernoulli è un passo cruciale nella dimostrazione di altre disuguaglianze. Dimostrazione La disuguaglianza è banalmente vera per n = 0. Dimostriamola allora per induzione. Supponiamo che sia vera per n: allora dobbiamo dimostrare che è vera anche per n + 1. Moltiplichiamo entrambi i membri per (1 + x), fattore che è sempre maggiore di 0 per ipotesi.disuguaglianzainduzione Otteniamo: Poiché nx 2 0, l'omissione di questo termine può solo rendere più forte la relazione di disuguaglianza, quindi:

28 Grafico delle funzioni y = x x ed y = x - x sull'intervallo x (0, 1]. In matematica, il sogno del sophomore è un nome usato occasionalmente per le identità identità scoperto nel 1697 da Johann Bernoulli

29 PREMIAZIONE OLIMPIADI DELLA MATEMATICA (Firenze e Prato)

30 TOMMASO CORTOPASSI (Enriques) LEONARDO MARINI (Buzzi) Gara provinciale (biennio) SIMONE MAZZOLINI (Pontormo)

31 Gara provinciale (triennio) MARCO AFFORTUNATI (Castelnuovo) ANDREA BRACONI (Leonardo da Vinci) MARCO CASINI (Leonardo da Vinci) FRANCESCO COLASANTO (Leonardo da Vinci) ROBERTO BUONAFEDE (Leonardo da Vinci) CLAUDIO DATTOLO (Leonardo da Vinci)

32 Gara provinciale (triennio) EDOARDO DINI (Gobetti) LUDOVICA FAZIO (Leonardo da Vinci) TOMMASO GIULIANI (Leonardo da Vinci) FRANCESCO LEONE (Copernico) LORENZO FAZZINI (Rodolico) ANGELICA LOSSI (Rodolico)

33 Gara provinciale (triennio) CHIARA LUCARELLI (Agnoletti) FRANCESCO A. MANCARI (Leonardo da Vinci) ALBERTO MARCANTONIO (Copernico) LUCIO MESSINA (Buzzi)

34 Finale nazionale CAMILLA BRIZZI (Leonardo da Vinci) SIMONE GIANTOMASI (Leonardo da Vinci) LORENZO LUGO (Leonardo da Vinci)

35 Finale nazionale Medaglia di bronzo CARLO AKIRA BEMPORAD (Castelnuovo) ZHANG CHEN (Copernico)

36 Finale nazionale Medaglia dargento CARLO FOSCHI (Castelnuovo)

37 DANIEL BERNOULLI Figlio di Johan, nato l8 Febbraio del 1700 a Groningen nei Paesi Bassi, insieme al padre e allo zio Jacob è stato un importante studioso di matematica e a differenza del padre e dello zio si interessò anche delle sue applicazioni in alcuni settori della fisica. Dal 1725 al 1733 fu professore a Pietroburgo insieme al fratello maggiore Nicolaus. Di questo periodo sono ricordate le discussioni tra i due fratelli su un problema che divenne famoso come il «paradosso di Pietroburgo» Nel 1738 Daniel Bernoulli pubblica un lavoro sulla idrodinamica «Hydrodynamica» Questo lavoro contiene per la prima volta la corretta analisi del moto dellacqua che fluisce da un foro di un contenitore. Questa analisi si basava sul principio di conservazione dell'energia che aveva studiato con suo padre nel Una notevole scoperta appare nel capitolo 10 del Hydrodynamica dove Daniel ha esposto la base per la teoria cinetica dei gas e in qualche modo ha anticipato l'equazione di stato dei gas reali di Van der Waals realizzata un secolo più tardi. Daniel Bernoulli si è interessato anche di altri aspetti della fisica come mostrano gli scritti che li sono valsi per ben 10 volte il premio dellAccademia di Parigi. Argomenti di astronomia e argomenti nautici. Ha vinto nel 1740 (insieme con Eulero ) per lavori sulle maree, nel 1743 e 1746 per i saggi sul magnetismo, nel 1747 per aver introdotto un metodo per determinare il tempo in mare, nel 1751 per un saggio sulle correnti oceaniche, in 1753 per gli effetti delle forze sulle navi, e nel 1757 per le proposte per ridurre il beccheggio. E morto il 17 marzo del 1782 a Basilea in Svizzera

38 IL TEOREMA DI BERNOULLI a cura di MARTA IACCARINO

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40 ENUNCIATO: In un fluido in movimento è costante la somma di pressione p, energia cinetica per unità di volume 1/2dv 2 e energia potenziale gravitazionale per unità di volume dgh. p+1/2dv 2 +dgh=costante

41 lavoro forze di pressione L p =F 1 x 1 F 2 x 2 = p 1 A 1 x 1 p 2 A 2 x 2 =(p 1 p 2 )V spinge il fluido si oppone al moto del fluido V = A 1 x 1 = A 2 x 2 = m/d la massa si conserva d è costante

42 teorema dellenergia: lavoro netto è pari a variazione energia cinetica conservazione energia meccanica per un fluido ideale

43 TEOREMA DI BERNOULLI IN PILLOLE a cura di NICOLO GUARDUCCI

44 Alettoni Il principio fisico che sta alla base del funzionamento di un alettone automobilistico è esattamente lo stesso che permette agli aerei di volare, ma viene utilizzato nella maniera opposta. Invece di sostenere il mezzo in aria, lo spinge maggiormente verso terra, ovvero lavora per creare deportanza invece che portanza come negli aeromobili.

45 Arterosclerosi l'Arterosclerosi è una malattia provocata dall'accumulo di materiale lipidico nello strato più interno delle arterie. Per l'equazione di Bernoulli ad una diminuzione della sezione della cavità dove scorre il liquido (in questo caso sangue) corrisponde un aumento di velocità di quest'ultimo il quale provoca un abbassamento della pressione interna in quel punto. Di conseguenza la pressione esterna sarà maggiore di quella interna e tenderà a schiacciare l'arteria così da diminuire ulteriormente il flusso di sangue.

46 Respirazione degli squali Come gli altri pesci, lo squalo estrae l'ossigeno dall'acqua marina al passaggio nelle branchie. Un'apertura modificata, chiamata "sfiatatoio", è posizionata proprio dietro gli occhi. Questa apertura ha lo scopo principale di agevolare l'ingresso dell'acqua durante la respirazione e gioca un ruolo assai importante per gli squali che vivono sui fondali.

47 Durante il movimento, l'acqua può passare attraverso la bocca e quindi raggiungere le branchie dello squalo in un processo noto come ventilazione ad ingoio. Anche a riposo, molti squali continuano a pompare acqua attraverso le branchie per assicurarsi una riserva costante di acqua ossigenata. Una piccola parte delle specie di squalo trascorre l'intera vita nuotando in immersione. Gli squali con queste caratteristiche hanno perso la facoltà di pompare acqua attraverso le branchie, e sono permanentemente costretti alla respirazione per ingoio, anche durante le fasi di riposo. Se per qualche motivo accade che non si possano mantenere in movimento, ad esempio perché sono ferite, queste specie sono condannate all'asfissia.

48 Porte che sbattono Una corrente daria che passa davanti ad una porta aperta crea un abbassamento della pressione dellaria che preme su quel lato della porta, mentre la pressione sul lato opposto resta invariata. La porta comincia quindi a chiudersi lentamente, poi, una volta perpendicolare alla corrente, si chiude di botto. Anche il fastidioso fenomeno delle porte che sbattono quando cè corrente si può spiegare con il principio di Bernoulli.

49 Tiro a effetto Anche i calciatori e i tennisti sfruttano il principio di Bernoulli quando provano il cosiddetto tiro a effetto.

50 A causa della viscosità dellaria una pallina che ruota tende a trascinare nel suo moto anche laria che la circonda. Il moto complessivo dellaria rispetto al centro della palla è quindi dato dalla composizione di una rotazione e di una traslazione. Poiché da una parte le due velocità si sommano, mentre dallaltra si sottraggono, là dove sarà minore la velocità dellaria sarà maggiore la pressione, e la pallina subirà quindi una deviazione. La peluria sulle palline da tennis ha proprio la funzione di trascinare con sé quanta più aria possibile

51 Gli effetti del vento sui capelli Siamo spesso portati a credere che quando siamo colpiti dal vento i nostri capelli si muovano seguendo la corrente del vento, come mostra lillustrazione qui a lato. Ciò non è del tutto vero, poiché il vento crea un abbassamento di pressione ai lati della nostra testa, e i capelli si drizzano quindi lateralmente.

52 Una tipica applicazione dellequazione di continuità e dellequazione di Bernoulli si osserva in un getto dacqua che fuoriesce da un rubinetto. La sua velocità cresce man mano che il getto cade: poiché la portata deve essere la stessa in tutte le sezioni, lungo la caduta il getto si deve assottigliare. In alcuni tipi di fontane avviene esattamente il contrario. Lo zampillo che sale verso lalto perde man mano velocità per lequazione di Bernoulli, di conseguenza per lequazione di continuità la sezione del getto aumenta

53 abbiamo precedentemente detto che il flusso dacqua durante una caduta si restringe. Nellistante iniziale, ovvero quando lacqua è appena uscita rubinetto il flusso dacqua avrà una sua sezione, una sua pressione e una sua velocità caratteristica. Dopo un certo tratto di caduta per le equazioni di bernoulli e di continuità la sezione del flusso sarà diminuità, la velocità aumentata ma la pressione esterna sarà rimasta la stessa poiché il flusso rimane sempre in contatto con latmosfera. Quindi andiamo a quantificare: per lequazione di bernuolli: Per p1=p2= pressione atmosferica A cura di Luca Barbieri

54 PREMIAZIONE OLIMPIADI DELLA FISICA (Firenze, Prato, Arezzo)

55 GLI STUDENTI CLASSIFICATI DALLA 4° ALLA 9° POSIZIONE NELLA GARA PROVINCIALE AFFORTUNATI MARCO (Castelnuovo) SANDRUCCI MATTEO (Castelnuovo) MANCARI FRANCESCO (L.Da Vinci) DE SANTIS ARTURO (L.Da Vinci) BOCINI SAVERIO (Copernico) ZOLFANELLI LORENZO (Castelnuovo)

56 Finale nazionale SENIGALLIA GUIDO GIACHETTI L.S.Agnoletti NUTI ALESSIO BUONAFEDE ROBERTO L.S. Leonardo Da Vinci

57 Questa presentazione si trova su

58 A cura di Eliano Addamiano Andrea Paoletti Maria Angela Vitali Con la partecipazione di Luca Barbieri Sofia Corraddossi Marco DellOmo Duccio Giorgetti Nicolò Guarducci Rocco Greppi Marta Iaccarino Ilenia Pieri L.S.Gobetti Bagno a Ripoli L.S. Guido Castelnuovo Firenze L.S. Leonardo da Vinci Firenze


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