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Lavoro, Forza Gravitazione, Campi di Forze Centrali.

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Presentazione sul tema: "Lavoro, Forza Gravitazione, Campi di Forze Centrali."— Transcript della presentazione:

1 Lavoro, Forza Gravitazione, Campi di Forze Centrali

2 Campi di …

3 Campi di Forze Forza che agisce su un punto materiale P dipende da: posizione, velocità, istante considerato …. Campo: geometrizzazione della forza = = fisicizzazione della geometria Esempi : campo gravitazionale campo elettrico campo magnetico

4 Lavoro ! O F drdr Lavoro elementare:dL=F·dr α =Fdrcosα [L]=[mlt -2 l]=[ml 2 t -2 ] N m=joule (J) α 0 lavoro motore α>π/2 dL<0 lavoro resistente A B l

5 Ancora lavoro O F Lavoro della forza F nellintervallo di tempo (t 1, t 2 ): dL=F·dr α =Fdrcosα t1-At1-A t2-Bt2-B l Potenza: W=dL/dt v dr= dt (integrale di linea o integrale curvilineo)

6 Energia Cinetica Punto materiale di massa m e velocità v: E c =½mv 2 Energia cinetica [E c ]=[ml 2 t 2 ]=[L] joule (J) Identità: ½d(v 2 )= ½d(v·v)= d(v)·v =(dv/dt)·vdt

7 Teorema dellEnergia Cinetica R= F L AB, l =E c (B) - E c (A) = ΔE c A B l v A E c (A) v B E c (B) R=m (dv/dt) {II legge Newton} m (Teorema delle Forze Vive)

8 Significato dellEnergia Cinetica 1 F L 12, l =E c (2) - E c (1) = ΔE c P1P1 P2P2 l v 1 E c (1) v 2 E c (2) m Se v 1 =0 Energia cinetica di un corpo, rispetto ad un osservatore, è uguale al lavoro che si deve compiere per mettere in moto il corpo con la velocità considerata.

9 Significato dellEnergia Cinetica 2 F L 12, l =E c (2) - E c (1) = ΔE c P1P1 P2P2 l v 1 E c (1) v 2 E c (2) m Se v 2 =0 Energia cinetica di un corpo è opposta al lavoro che si deve compiere per arrestare il corpo rispetto allosservatore considerato.

10 Campi Conservativi l L l : dipende da l ! Se, qualunque sia la traiettoria chiusa, L l =0 Forze Conservative Campo Conservativo

11 Teorema su forze conservative Dato un campo conservativo, il lavoro lungo una traiettoria aperta dipende solo dagli estremi della traiettoria A B 1 2 Campo conservativo :

12 Energia Potenziale Se campo conservativo possibile definire una funzione della sola posizione, Energia Potenziale E P O E P ( O )=K A B Qual è il lavoro compiuto dalle forze per andare da A a B (L AB )? L AB = [K-E P (B)]-[K-E P (A)] = = E P (A) - E P (B) =-ΔE P

13 Energia Cinetica & Energia Potenziale L AB =E c (B) - E c (A) = ΔE c In un Campo Conservativo L AB = E P (A) - E P (B) =-ΔE P Teorema energia cinetica 0=E c (B)+E P (B) – [E c (A)+E P (A)] Energia Totale =E c (B)+E P (B) = E c (A)+ E P (A) =cost. Se agiscono solo Forze Conservative lEnergia Totale si CONSERVA (Teorema di Conservazione dellEnergia Meccanica)

14 Gravitazione universale Le leggi di Keplero descrivono il moto dei pianeti ma non ne spiegano le cause. Isaac Newton intuì che la forza che fa orbitare i pianeti attorno al Sole è la stessa che fa cadere i corpi verso la Terra. Tale forza è universale! Vale per qualsiasi coppia di oggetti.

15 Legge di gravitazione universale La forza che si esercita tra due corpi puntiformi di masse m 1 e m 2 è: direttamente proporzionale alle masse dei corpi; inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza r. Poiché le masse sono sempre (e solo!) positive è sempre attrattiva!

16 La gravitazione universale L'espressione matematica è: G è la costante di gravitazione universale:

17 Dipendenza dalla massa Fissata la distanza r tra i due corpi, variamo m 1, m 2

18 Dipendenza dalla distanza Fissate le masse dei due corpi m 1 e m 2 : se r raddoppia, la forza diventa 1/4; se r triplica, la forza diventa 1/9; se r si dimezza, la forza quadruplica.

19 La gravitazione universale F diminuisce rapidamente al crescere di r; F aumenta velocemente al tendere di r a zero. Il modulo di F è inversamente proporzionale a r 2 :

20 Forza-peso e costante G La forza-peso F P è la forza (di gravità) con cui la Terra attrae il corpo di massa m quando è posta vicino alla superficie terrestre. M T, R T : massa e raggio della Terra. Ricaviamo G: Con i valori di M T, R T noti a Newton si ottiene

21 Accelerazione di gravità alla superficie della Terra noti M T e R T, si ricava il valore di g: La quantità in parentesi è una costante e vale:

22 Accelerazione di gravità sulla superficie della Terra Il valore dell'espressione corrisponde proprio al valore sperimentale di g. Da cui si ricava: F P = mg come caso particolare della legge di gravitazione, in prossimità della superficie terrestre con

23 Lavoro della Forza Peso x z g A zAzA zBzB m α B P drdr dzdz = E P (A) - E P (B) =-ΔE P O K=0 E P (A)=P z A = mg z A (dz= -cosα dr) Energia potenziale della forza peso

24 Esperimento di Cavendish Le masse m 1 e m 1 del manubrio sono attratte dalle masse più grandi M 1 e M 2. Dall'angolo di torsione del filo si misura il valore di F. Si ottiene Henry Cavendish (1798) misurò per primo in laboratorio il valore di G con la bilancia a torsione.

25 Massa inerziale = massa gravitazionale massa inerziale, m i : indica la resistenza del corpo ad essere accelerato; massa gravitazionale, m g : indica la capacità di attrarre oggetti ed essere attratto da essi. I dati sperimentali mostrano che le due masse sono direttamente proporzionali.

26 Forza di gravitazione universale C F dsds α A B l mcmc m rArA rBrB r drdr Energia potenziale gravitazionale Potenziale gravitazionale di m c Punto di riferimento a r=, K=0

27 Relazione tra Forza ed Energia Potenziale i j k x y z F FzFz FyFy FxFx dr dxi dL=F dr

28 Campo di Forza Centrale (definizione) 1.In ogni punto P, F è diretta lungo PO, dove O è un punto fisso (centro di forza) (attrattiva o repulsiva) 2.|F| è funzione solo di r=|OP| ( |F| =F(r) ) +O+O

29 Campo di Forza Centrale : Conservativo ! +O+O P dsds F dr d L =F ds=±|F|dr Superfici equipotenziali ??? Linee di forza ???

30 Linee di Forza e Superficie Equipotenziale Superficie equipotenziale= luogo punti E P (x,y,z)=cost Campo gravitazionale: mcmc c1c1 c2c2 F sup equ Linee di forza

31 Campo di Forza Centrale : Momento Angolare ? +O+O mvmv F l O =r×p=r×mv =0 G r l O =costante ; Cosa implica ??? l O : direzione costante moto in un piano l O : verso costante ruota sempre nello stesso verso intorno ad O

32 Campo di Forza Centrale : Velocità Areolare ? +O+O mvmv F l O =r×p=r×mv G r l O : cost. in modulo vel areolare costante dt rd d

33 Modello tolemaico / modello copernicano: sintesi Tolomeo: La Terra è ferma al centro dell'Universo, Sole e pianeti orbitano attorno (modello geocentrico). Epicicli e deferenti (perfezionamento) Corpi celesti, sferici e perfetti, traiettorie circolari. Copernico: Sole al centro, fermo, pianeti su orbite circolari (modello eliocentrico). Modello copernicano non concordava con le osservazioni astronomiche.

34 Joannes Kepler ( ) Prima legge di Kepler Le orbite dei pianeti sono figure piane, ellissi, di cui il Sole occupa uno dei due fuochi. Si definiscono: - perielio: il punto dell'orbita più vicino al Sole. - afelio: il punto dell'orbita più lontano dal Sole. Prima legge di Kepler

35 Seconda legge di Kepler Il raggio vettore di un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali. Vale per qualunque corpo che orbiti!!!

36 Terza legge di Kepler T aumenta al crescere di a i pianeti lontani impiegano più tempo a compiere un giro intorno al Sole. Il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dell'orbita a ed il quadrato del periodo di rivoluzione T è costante (lo stesso per tutti i pianeti).

37 La deduzione delle leggi di Keplero Le tre leggi di Keplero sono conseguenze dei principi della dinamica e della legge di gravitazione universale. Prima legge di Keplero: si dimostra che è conseguenza della proporzionalità della F gravitazionale a 1/r 2 : le traiettorie possono essere ellissi, parabole o iperboli; le traiettorie chiuse possibili sono solo ellissi (tra cui le circonferenze).

38 La deduzione delle leggi di Keplero poiché L è costante, r e v sono inversamente proporzionali. Seconda legge di Keplero: è conseguenza della conservazione del momento angolare. Al perielio r P è minimo, quindi v P è massima; all'afelio r A è massimo, quindi v A è minima.

39 La deduzione delle leggi di Keplero Terza legge di Keplero: per orbite circolari. Moto circolare uniforme: Essendo si ha ovvero Poiché la quantità a destra dell'uguale è costante, la terza legge di Keplero è verificata.

40 L'energia potenziale gravitazionale Consideriamo la massa m che si sposta da A a B sotto l'azione di una massa maggiore M. Si dimostra che Quindi l'energia potenziale U è:

41 Energia potenziale si annulla all'infinito Nella formula di U è conveniente porre k=0. Questo equivale a scegliere come livello zero di U il caso in cui m e M sono a distanza infinita. Si scrive dunque

42 Energia potenziale che si annulla all'infinito Rappresentiamo il grafico della funzione U(r). U(r) è sempre negativa (potenziale attrattivo). La dipendenza da 1/r determina: l'annullarsi di U(r) per r che tende ad infinito; il tendere allinfinito di U per r che tende a zero.

43 Gravità / conservazione dell'energia meccanica Lo studio del moto dei pianeti del sistema solare ha confermato la validità della legge di gravitazione universale e dei princìpi della dinamica, anche perché nel vuoto spaziale non esiste attrito.

44 forza di gravità / conservazione dell'energia meccanica La legge di conservazione dell'energia in questo caso è valida e dà un'altra spiegazione alla seconda legge di Keplero.

45 forza di gravità / conservazione dell'energia meccanica Consideriamo un proiettile vicino ad un pianeta e poniamo U = 0 quando la distanza è infinita. Se il proiettile percorre un'orbita ellittica, vv fuga e l'energia totale E=K+U è positiva.

46 Il moto dei satelliti sparare orizzontalmente un proiettile dalla cima di una montagna (in assenza di aria e a velocità arbitraria).

47 Diversi tipi di orbite L'orbita di un proiettile con v 0 =7,9x10 3 m/s è una circonferenza. All'aumentare ancora di v 0 la traiettoria diventa un'ellisse; superato un certo valore la traiettoria è un'iperbole: il proiettile si allontana dalla Terra.

48 La velocità dei satelliti in orbita circolare Satellite di massa m in orbita circolare di raggio R con velocità v intorno alla Terra. Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta: R al denominatore: più il satellite è lontano dalla Terra, più è lento.

49 Velocità di Fuga Qual è la velocità di fuga di una molecola di O 2 dellatmosfera terrestre ? E T (r)=½mv 2 -GMm/r M r v fuga: minima per raggiungere E T ()= E P ()=0 E T ()= E T (r)=½mv 2 -GMm/r=0 G=6.67×10 -11, r=6.35×10 6, M=5.98× ×10 3 m/s

50 Satelliti geostazionari si muovono alla velocità di rotazione terrestre, quindi appaiono fermi rispetto alla Terra.


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