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Metodi matematici dellastronomia Che cosa sono i Metodi matematici dellastronomia? In che cosa sono differenti da quelli della fisica? Lastronomia è una.

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1 Metodi matematici dellastronomia Che cosa sono i Metodi matematici dellastronomia? In che cosa sono differenti da quelli della fisica? Lastronomia è una scienza che si basa sullanalisi quantitativa dei fenomeni su base fisico-matematica, ma che mutua alcune caratteristiche dalle Scienze naturali, quali laccurata raccolta e analisi di reperti osservativi (tassonomia). Ciò implica la necessità di utilizzare metodi statistici di indagine. Inoltre lastronomia-astrofisica moderna è carat- terizzata dal dover interpretare quantitativamente fenomeni complessi (sovrapporsi di processi fisici interconnessi e su un ampio intervallo di scale spazio-temporali) il che implica lutilizzo di metodi matematici e, principalmente, numerici specifici.

2 Metodi matematici dellastronomia Lastronomia è lesempio massimo di scienza osservativa, che è diverso da sperimentale. Ciò significa che ci si limita a raccogliere dati (output) provenienti da sorgenti lontane. Se si osserva un fenomeno particolare (per es. lesplosione di una SN): La SN 1987a prima dopo

3 Metodi matematici dellastronomia se ne possono raccogliere i dati e ipotizzare uninterpretazione che non può, ovviamente, essere confermata in laboratorio: si può solo sperare che ci siano un numero sufficiente di altre esplosioni osservabili che forniscano i dati utili alle ipotesi interpretative teoriche. La possibilità di azione del ricercatore è solo quella di potenziare i mezzi di raccolta e analisi dei dati osservativi.

4 Metodi matematici dellastronomia Ammesso di avere statistica sufficiente che cosa si può imparare come fisica? In astronomia i processi fisici sconosciuti alla base del flusso radiativo osservato sono convoluti attraverso la struttura della sorgente, il mezzo interstellare, latmosfera terrestre e infine il ricettore e il rivelatore. Lo schema è quindi input Struttura, ISM, ecc. output Quindi si tratta di risolvere un problema di inversione. A parte i problemi tecnici (matematici) implicati, la difficoltà intrinseca dellastronomia di ottenere buoni dati osservativi rende il processo di falsificazione delle ipotesi (al fine dellottenimento dellunica interpretazione esatta) difficile. Infatti è possibile che modelli fisici anche significativamente diversi portino a osservabili indistinguibili entro

5 Metodi matematici dellastronomia lerrore osservativo. In altro linguaggio: il test pratico cui si sottopongono le varie teorie è troppo debole per selezionarne una sola (o poche). Situazione auspicabile Situazione reale

6 Metodi matematici dellastronomia In un esperimento ideale la risposta dello strumento allo stimolo (sconosciuto) è univoca, nella realtà tale risposta strumentale è sbrodolata su un insieme (tramite la point-spread function) Stimolo f(y) risposta strumentale g(x) point spread function k(x,y) convoluzione F(y) g(x) deconvoluzione Unapprossimazione F(y) di f(y) si ottiene per deconvoluzione della risposta strumentale, ma quanto vale ?

7 Metodi matematici dellastronomia

8 g( ) f( )

9 Metodi matematici dellastronomia Il problema della deconvoluzione (o inversione dei dati). caso k(x,y)=1 ha soluzione formale Semplice, ma dà problemi; infatti supponiamo che Se al dato g(x) è sovrapposto rumore di frequenza si ha: Ne consegue che le 2 soluzioni f(x) e f o (x) differiscono

10 Metodi matematici dellastronomia che significa che lerrore sulla soluzione ha ampiezza Il problema è quindi instabile a variazioni di alta frequenza in g(x), infatti la soluzione f o è tale che nel suo errore relativo le variazioni relative d / e d / sono amplificate dal fattore /f o.

11 Metodi matematici dellastronomia instabilità =0.8, =0.04, =20 output input instabilità

12 Metodi matematici dellastronomia E quindi? Invece di deconvolvere (procedura allindietro) si può effettuare il cosiddetto model fitting (procedura in avanti) cioè fare unipotesi su f(y), convolvere e valutare il risultato g(x). Supponiamo di avere unipotesi f 1 (y) e di perturbarla di modo che f 2 (y)=f 1 (y)+acos y. Il relativo osservabile sarà per cui che corrisponde al problema visto prima. Una perturbazione in f di grandeproblema ampiezza a può essere smorzata dalla sua alta frequenza ω.

13 Metodi matematici dellastronomia Conclusione: 1) la deconvoluzione è instabile; 2) il model fitting (convoluzione) dà risultati illusori. La via giusta è affinare la tecnica di deconvoluzione (regolarizzando), utilizzando, se possibile, vari kernels, cioè un insieme di dati osservativi per esempio flussi in bande diverse dello spettro e.m..

14 Metodi matematici dellastronomia Problemi tipici dellastronomia Equazione di Keplero Equazioni del moto di N corpi autogravitanti sistema di N eq. diff. vett. ordinarie del 2 0 ordine ordine del sistema = 6N servono 6N condizioni iniziali su posizioni e velocità

15 Metodi matematici dellastronomia Sistema di 4 eq. diff. + 1 EOS con incognite: (r). P(r), M(r), T(r), L(r) mentre: = (,T;X i ), = (,T;X i ), = (,T;X i ) sono funzioni note. 4 condizioni al contorno Equazioni della struttura stellare

16 Metodi matematici dellastronomia Si vuole ottenere E(t); è necessario quindi risolvere unequazione trascendente: dove: E (incognita) è lanomalia eccentrica, e<1 è leccentricità della traiettoria (ellittica), t (il tempo) è un parametro tale che 0 t- P dove è listante di passaggio al perielio e P il periodo dellorbita. Lequazione non ha soluzione esplicita, per cui bisogna cercarne unapprossimazione numerica. Nellintervallo 0

17 Metodi matematici dellastronomia Dati 2 numeri a e b è logico confrontarli: Come ottenere e stimare laccuratezza nei calcoli numerici Il significato del confronto, quindi, dipende dal contesto. Se a e b rappresentano le altezze di 2 persone e b-a=50cm ha senso dire che a<

18 Metodi matematici dellastronomia Errori assoluti e relativi Data unapprossimazione ã di a: lerrore assoluto è a = ã - a lerrore relativo è r = (ã – a)/a (se a 0) La conoscenza esatta dellerrore è, ovviamente, di solito impossibile, per cui si cerca di averne una stima, o meglio una limitazione superiore 0 tale che | a |. Con la notazione a= ã si intende | a |=|ã - a|. In molti casi con tale notazione ha il senso di deviazione standard o altra misura statistica di errore. Indichiamo dora in poi con ã unapprossimazione di a.

19 Metodi matematici dellastronomia Sorgenti derrore I risultati numerici sono influenzati da varie sorgenti derrore: alcune possono essere ridotte o eliminate, altre no. 1)nei dati di input; 2) dovuti a semplificazioni nel modello matematico; 3) di arrotondamento durante il calcolo (se la macchina gestisce fino a s cifre, un prodotto, che avrebbe 2s o 2s-1 cifre, viene troncato a s); 4) di troncamento: sono quelli che nascono dal taglio di unespressione, tipo: invece di oppure dallaprossimare un funzione non lineare con una lineare oppure dallapprossimare una derivata con un rapporto finito (errore di discretizzazione); 5) umani: imprevedibili. Possibili errori:

20 Metodi matematici dellastronomia Arrotondamento (round-off) a=0.08 ha 2 decimali e 1 cifra b=15.6 ha 1 decimale e 3 cifre Siano a=0.235 e ã=0.231; ã ha 2 cifre esatte, e ciò corrisponde a un errore a =ã - a=-0.004=-0.4× In generale, se | a | 0.5 ×10 -t, lapprossimazione ha t decimali corretti (qui 2 cifre significative). Se a=0.001 e ã=0.002, =0.001=0.1× decimali corretti (e nessuna cifra significativa). Il numero a=0.0654± ha 3 decimali corretti e 2 cifre significative Il numero di cifre di un numero è quello che si ottiene escludendo gli zeri allinizio: a= ha 2 cifre a=7.8×10 -3 Indichiamo dora in poi con ã unapprossimazione di a.

21 Metodi matematici dellastronomia Ci sono 2 modi di arrotondare un numero a un dato numero (t) di decimali: 1) tagliare al t-esimo decimale: a= ã= (t=3) 2) arrotondare (realmente) il numero in modo da lasciare il t-esimo decimale inalterato se la parte del numero che resta alla sua destra è < 0.5 ×10 -t, aumentandolo di 1 altrimenti. Naturalmente larrotondamento causa un errore: per esempio a= ha 2 decimali corretti (e 2 cifre significative) arrotondandolo a 2 decimali si ha ã=0.27 il cui secondo decimale non è corretto. In questo caso, il taglio al secondo decimale porta a una migliore precisione (2 dec. corretti).

22 Metodi matematici dellastronomia Propagazione derrore D. Se il limite derrore (assoluto) di a 1 >0 è 1 e quello di a 2 >0 è 2, qual è il limite derrore di a 1 - a 2 ? R.Poichè a 1 = ã 1 ± 1 e a 2 = ã 2 ± 2, si ha ã (ã ) a 1 - a 2 ã – (ã ), cioè ã 1 - ã 2 - ( ) a 1 - a 2 ã 1 – ã 2 + ( ), quindi a 1 -a 2 = ã 1 - ã 2 ± ( ). Analogamente si vede che a 1 + a 2 = ã 1 + ã 2 ± ( ). Quindi: nelle operazioni di addizione e sottrazione i limiti di errore assoluto si sommano.

23 Metodi matematici dellastronomia Nelle operazione di moltiplicazione e divisione, invece, si sommano i limiti derrore relativo (approssimativamente). Si verifica infatti (per esercizio) che: (ã 1 ã 2 - a 1 a 2 )/ a 1 a 2 = r1 + r2 + r1 r2 r1 + r2, se | r1 |<<1 e | r2 |<<1 e (ã 1 /ã 2 – a 1 /a 2 )/ (a 1 /a 2 ) = (1+ r1 )/(1+ r2 ) – 1 = ( r1 - r2 )/(1+ r2 ) r1 - r2, se | r1 |<<1 e | r2 |<<1 Perciò nella moltiplicazione e divisione i limiti derrore relativo si sommano e sottraggono, rispettivamente.

24 Metodi matematici dellastronomia Cancellazione dei termini Una causa comune di scarsa accuratezza nel calcolo è la sottrazione di 2 numeri molto simili (per cui la differenza è << dei numeri stessi). Questo problema è detto della cancellazione dei termini (term cancellation) Infatti, dati 2 numeri x 1 e x 2 affetti da errori x 1 e x 2, e ponendo y= x 1 - x 2 Lerrore relativo in y può quindi essere molto grande Esempio: x 1 =6.3456±½·10 -4 e x 2 =6.3455±½·10 -4 y= ±10 -4, che equivale a | y/y| / (stima derrore relativo del 100%).

25 Metodi matematici dellastronomia Bisogna quindi cercare di evitare differenze di numeri simili, riscrivendo, se possibile, le formule. Per esempio, sia da calcolare Essa si può riscrivere come: evitando così la cancellazione dei termini. Dovendo calcolare f(x+ )-f(x) unaltra possibilità è quella di sviluppare f(x) in serie di Taylor:

26 Metodi matematici dellastronomia La formula generale per la propagazione dellerrore Sia data una funzione y(x) e si voglia valutaredove è unapprox. di x. Ci si chiede qual è lerrore Una via naturale è quella di calcolare il differenziale (approssimato): In generale, se y=y(x 1,x 2,...,x n ) si può stimareda cui: Che è la formula generale di propagazione dellerrore.

27 Metodi matematici dellastronomia Derivata numerica Conoscendo una funzione f(x) in 3 punti (x i-1,x i,x i+1 ), si possono costruire 3 rette: a) passante per (x i-1,f i-1 ) e (x i,f i ); b) per (x i,f i ) e (x i+1,f i+1 ); c) per (x i-1,f i-1 ) e (x i+1,f i+1 ). Una ragionevole approssimazione della derivata, f (x), di f(x) allinterno dellintervallo [x i-1,x i [ può quindi essere data dal coefficiente angolare della retta a) passante per tali punti, così come da quello della retta c) se si vuole approssimare f (x) in ]x i,x i+1 ]. E per f (x i )? E possibile usare lapprossimazione a) (sinistra), c) (destra) ma anche b) (centrale). Si verifica che, se x i-1,x i,x i+1 sono spaziati con passo h, allora lapprossimazione centrale è del 2 0 ordine in h mentre le altre due sono del 1 0 ordine. Si ha infatti, esprimendo f(x+h) e f(x-h) con la f. di Taylor

28 Metodi matematici dellastronomia Derivata numerica di punto di partenza x, esplicitando le derivate prime e semisommandole:

29 Metodi matematici dellastronomia Integrazione numerica Supponiamo di dover calcolare dove f(x) è una funzione continua nellintervallo Se non si riesce a ottenerne la primitiva F'(x)=f(x), per cui F(b)-F(a)=I, lunica alternativa è di approssimare I tramite una valutazione numerica. Le formule di approssimazione si chiamano di quadratura perchè si tratta di valutare larea sottesa dalla funzione, cioè di quadrarla. Tutti i metodi per ottenere unapprossimazione di I si basano sul fatto che lintegrale definito è il limite della somma finita s n, cioè: oppure è una funzione campionata per punti: {f(x i }, i=1,2,...,n}.

30 Metodi matematici dellastronomia dove n è il numero di intervalli i x in cui si è suddiviso [a,b], entro ognuno dei quali si è scelto x i. Ci limiteremo a studiare 4 metodi: 1)il metodo trapezoidale, 2)il metodo rettangolare, 3)il metodo di Simpson, 4)il metodo Montecarlo. Il metodo trapezoidale E forse il più intuitivo; si basa su: i)considerare una suddivisione di [a,b] in n intervalli, il generico dei quali ha estremi x i e x i+1 e ampiezza h i, definendo quindi una griglia di n+1 punti (mesh-points): x 0 =a, x i+1 =x i + h i, i=0,1,...,n-1 (naturalmente x n =x n-1 +h i =b);

31 Metodi matematici dellastronomia ii) valutare la funzione sui punti griglia, ottenendo linsieme di n+1 valutazioni {f(x i ) f i, i=0,...,n}, di modo da avere il campionamento della funzione dato dalle coppie (x i, f i ); iii) stimare I come somma delle aree dei trapezi di base f i e f i+1 e altezza h i, cioè: Tale approssimazione equivale ad aver sostituito (dentro lintegrale) ad f la sua approssimazione costituita dalla spezzata passante per i punti (x i,f i ), cioè: dove (x) è la funzione di Heaviside: Verificare per esercizio che

32 Metodi matematici dellastronomia Quando è possibile, è comodo usare un passo fisso h i =h=(b-a)/n, di modo che i punti x i son definiti come x 0 =a, x i = x 0 +ih (i=1,2,...,n), il che semplifica lespressione delle formule di quadratura (e ne riduce la complessità computazionale). Il metodo rettangolare Si basa sullapprossimazione di f(x) con una funzione a gradini tale che f i =f(x i+1/2 ) nel generico [x i,x i+1 ], dove x i+1/2 è il punto di mezzo dellintervallo. Lapprossimazione di I che ne risulta è: (form. rett. centrata). Se il passo è fisso, h i =h=(b-a)/n, la formula diviene

33 Metodi matematici dellastronomia Il metodo rettangolareIl metodo trapezoidale E intuitivamente chiaro (vedi figura in basso a sin.) che prendere la funzione nel punto di mezzo x i+1/2 invece che nel punto x i (form. rettangolare sinistra) o x i+1 (form. rett. destra) dà unapprox migliore f. rett. des.f. rett. sin.

34 Metodi matematici dellastronomia Lerrore di troncamento nella formula trapezoidale e rettangolare Data una funzione f(x) che assume valori f i su una griglia di n+1 punti x i (i=0,1,...,n) esiste un solo polinomio, p n (x), di grado n che passa per i punti (x i,f i ), la cui espressione è: (formula dinterpolazione di Lagrange; verificare per es. che p n (x i )= f i, i=0,1,...,n.) che si scrive compattamente come avendo posto(funzione moltiplicatirce di Lagrange).

35 Metodi matematici dellastronomia Lespressione di Lagrange si ottiene dallespressione polinomiale p n (x)=c 0 +c 1 (x-x 0 )+c 2 (x-x 0 )(x-x 1 )+···+c n (x-x 0 )(x-x 1 ) ···(x-x n ), determinando (ricorsivamente) le costanti c k tramite limposizione che p n (x) assuma i valori f k in x k, k=0,1,...,n. Se f(x) è continua insieme, almeno, alla (n+1)-esima derivata nellinterv. Int(x,x 0,x 1,...,x n ) (che è per def. il minimo interv. contenente x,x 0,x 1,...,x n ), si può verificare che il resto (errore) della formula di Lagrange è: dove è un punto (incognito) in int(x,x 0,x 1,...,x n ). Si noti che lespr. data è simile al resto di uno sviluppo di Taylor (uguale, se x 0 =x 1 =···=x n ). Possiamo ora valutare lerr. di troncamento della formula trapezoidale nel generico intervallo [x i,x i+1 ] semplicemente integrando R 1 (x) su tale int..

36 Metodi matematici dellastronomia in cui [x i,x i+1 ] dipende da x. Poichè (x-x i )(x-x i+1 ) 0 in [x i,x i+1 ], si può applicare il teor. della media: Ponendo x=x i +h i t, dove h i =x i+1 -x i, si ha Ricordando che lerr. della somma è la somma degli errori, lerr. di tronc. globale è dato da che, se i punti x i sono equispaziati x i+1 -x i =h=(b-a)/n, diventa (applicando il teor. del val.medio)

37 Metodi matematici dellastronomia Es. Valutare lerrore di troncamento della formula rettangolare centrata. Si può sviluppare f(x) con la formula di Taylor attorno al punto x i+1/2 nellintervallo [x i,x i+1 ] per cui il resto dellinterpol. di f(x) in [x i,x i+1 ] rispetto al suo valore in x i+1/2 è Perciò lerr. di troncamento della form. rettangolare nellinterv. [x i,x i+1 ] è Quindi la formula trapezoidale è localmente del 3 0 ordine e globalmente del 2 0.

38 Metodi matematici dellastronomia Facendo la sostituzione x=x i +ht=x i+1/2 –h/2+ht si verifica che il 1 0 dei 2 integrali è nullo, mentre il 2 0, usando il t. della media integrale, porta a per cui lerr. di troncamento globale è

39 Metodi matematici dellastronomia Metodo di Simpson Risponde allesigenza di avere una formula di quadratura di ordine elevato e semplice da utilizzare al contempo. In pratica, si tratta di trovare una formula che, dati 3 punti x i-1,x i,x i+1 (x i =x i-1 +h) sia esatta per polinomi di più alto grado possibile. Scritta la formula si tratta di trovare i coefficienti a,b,c Per comodità poniamo i=0 e x 0 =0 e sviluppiamo f(x) in serie di McLaurin, per cui, per |x| h, si ha che integrata in [x -1, x 1 ] dà

40 Metodi matematici dellastronomia in cui i termini di potenza pari sono nulli, per simmetria, e lultimo termine è O(h 5 ). Sviluppando in serie di Taylor in avanti e indietro attorno a x, si ha f(x+h)=f(x)+f '(x)h+(1/2)f '' (x)h 2 +(1/3!)f '''(x)h 3 +O(h 4 ), f(x-h)=f(x)-f (x)h+(1/2)f ''(x)h 2 -(1/3!)f '''(x)h 3 +O((-h) 4 ), dove in O(h 4 ) e O((-h) 4 ) appare la derivata quarta, per cui lespressione è esatta per polinomi fino al 3 0 grado. Si può quindi esplicitare f ''(x) sommando m. a m. e dividendo per h 2 :

41 Metodi matematici dellastronomia Valutando lespressione precedente in x=0 e inserendola nellintegrale si ha Da cui la formula generale, nellintervallo [x i-1,x i+1 ] esatta per polinomi fino al 3 0 grado, che è la formula di Simpson. Si verifica che lerrore di troncamento locale è per cui quello globale è (il fattore 2 a dividere viene dal fatto che h=(b-a)/n, per cui ci sono n/2

42 Metodi matematici dellastronomia intervalli [x i-1,x i+1 ] in [a,b]). Il metodo è quindi di ordine 4. Metodo Montecarlo La base del metodo Montecarlo è lapprossimazione di un integrale multidimensionale nel modo seguente Dove è la deviazione standard della media,, di f (r) valutata prendendo n punti distribuiti a caso nel dominio di integrazione, di volume V. Tale deviazione standard è uguale alla deviazione standard di f, cioè ( (f- f ) 2 ) 1/2, diviso la radice del numero, n, dei punti usati per il campionamento:

43 Metodi matematici dellastronomia In una dimensione, la valutazione Montecarlo dellint. di f(x) sullinterv. [a,b] si effettua distribuendo a caso n punti (x i,y i ) nel dominio rettangolare A di base [a,b] e altezza max f(x), stimando I A come dove il rapporto che moltiplica larea di A è quello fra il numero n * di punti del campionamento che stanno entro larea I e il numero totale di punti. Definendo la funzione k(x) come risulta I punti (x i,y i ) sono indicati; nel caso in fig. x max =b

44 Metodi matematici dellastronomia Poichè lordine del metodo è h 1/2 (la stima derrore converge a zero con n -1/2 ) questo metodo è conveniente solo in più dimensioni, essendo facile da implementare. RADICI DI EQUAZIONI NON LINEARI Per quanto riguarda le equazioni algebriche, ricordiamo il teorema di Abel-Ruffini: non è possibile esprimere sotto forma di radicali le soluzioni di equazioni algebriche superiori al 4 0 grado. Il problema di trovare approssimazioni numeriche alla soluzione di uneq. del tipo f(x)=0 riguarda quindi non solo espressioni trascendenti di f(x) ma anche il caso in cui f(x) è un polinomio P n (x) con n>4. Esamineremo alcuni metodi classici per trovare tali approssimazioni. Banalmente, la prima approssimazione possibile è quella che si ottiene da una tabulazione della funzione, di dato passo h, a partire da un punto x 0.

45 Metodi matematici dellastronomia E chiaro infatti che se si opera una tabulazione f(x 0 +ih), i=0,1,2,... e si ha a un certo punto f(x 0 +ih)·f(x 0 +(i+1)h)<0, una radice di f(x) è certo in ]x 0 +ih,x 0 +(i+1)h[. Si può quindi prendere come approssimazione della radice incognita la quantità, di modo che Si può procedere analogamente per cercare altre radici. Si può al contempo ridurre lerrore semplicemente riducendo il passo quando si trova lintervallo [x i,x i+1 ] entro cui è la radice, ritabulando lì dentro con h/2 o meno. Con laccresciuta potenza dei calcolatori tale metodo naif è valido perchè ovviamente semplicissimo da implementare. Vediamo ora qualche metodo più sofisticato.

46 Metodi matematici dellastronomia Metodo della bisezione Supponiamo che f(x) sia continua e che a 0 e b 0 siano tali che f(a 0 )·f(b 0 )<0 (se f(a 0 )· f(b 0 )=0 allora o a 0 è radice o lo è b 0 o lo sono entrambe) per cui Ipotizziamo, inoltre, che la radice sia semplice,cioè È possibile costruire una successione di intervalli {I n } tale che I n+1 I n tutti contenenti la radice, per cui: Lo schema di costruzione degli {I n } è chiaro dalla figura

47 Metodi matematici dellastronomia Si procede così: sia I 0 =[a 0,b 0 ], con f(a 0 ) 0. Prendiamo il punto di mezzo di I 0, m 0 = a 0 +(b 0 -a 0 )/2=(a 0 +b 0 )/2; I 1 si costruisce così: se f(m 0 )<0 allora I 1 =[m 0,b 0 ], se f(m 0 )>0 allora I 1 =[a 0,m 0 ], e così via, per cui il generico I k è Chiaramente f(a k ) 0 (se no si è trovata la radice a k o b k ) e Dopo n passi si ha mis(I n )=(b n -a n )=(b n-1 -a n-1 )/2=(b n-2 -a n-2 )/2/2= =···=2 -n (b 0 -a 0 )= 2 -n mis (I 0 ), per cui da cui, prendendo m n come stima di, si ha

48 Metodi matematici dellastronomia La convergenza è quindi certa, ma lenta: poiché , ci vogliono, in media, 3,3 passi per guadagnare una cifra decimale di precisione. Si noti che la convergenza non dipende da f(x) poiché il metodo fa uso solo di sign(f(x)). Ciò é un vantaggio da una parte, ma costituisce al contempo il limite del metodo perché non se ne può sveltire la convergenza non utilizzando proprietà della f(x) nè delle sue derivate. Metodo della tangente (o di Newton-Raphson) Questo metodo si basa su una stima iniziale, x 0, della radice e sull approssimazione locale della funzione tramite la retta tangente in (x 0f (x 0 )). Lintersezione di tale retta con lasse x dà una stima successiva x 1, e così via (il metodo é iterativo). Il procedimento per determinare x 1 è:

49 Metodi matematici dellastronomia i) Si scrive lespress. della tangente alla curva in (x 0, f(x 0 )) ii) se ne trova lintersezione x 1 con lasse x (cioè si trova la radice di y(x)) iii) si generalizza il procedimento, ottenendo la successione {x n } iv) si possono fermare le iterazioni quando |h n |=|x n+1 -x n |<, dove è la tolleranza prescelta. Il met. di N-R è un esempio di metodo iterativo (vedi iii)).

50 Metodi matematici dellastronomia Esaminiamo le proprietà di convergenza del metodo di Newton-Raphson, ipotizzando f(x) C 2 [a,b]. _ _ _ Se x è radice semplice, allora f(x) 0 e f '(x) 0 in tutto un intervallo I(x). _ Se n =x n -x è lerrore alln-esimo passo si ha cioè per cui _ quindi per x n x: che vuol dire che, vicino alla radice, lerrore (per passo) scala col quadrato dellerrore al passo prec. ( n+1 n 2 ): il metodo è detto del 2 0 ordine.

51 Metodi matematici dellastronomia Il concetto di ordine di un metodo iterativo si generalizza così: _ _ Sia {x n } una successione che converge a x e sia n =x n -x; se esiste un numero p e una costante C 0 tali che allora si dice che p è lordine di convergenza della successione e C è la costante asintotica di errore.

52 Metodi matematici dellastronomia Metodo iterativi: generalità Un metodo iterativo è quello per cui x n+1 è dato da una funzione dipendente da una m-pla di valori precedenti x n cioè tale che: x n+1 = (x n,x n-1,x n-2,...,x n-m+1 ) dove è chiamata funzione diterazione. i)Nel met. di Newton-Raphson si ha (x n )=f (x n )/f´(x n ) (m=1); ii)nel met. della secante, si ha (x n,x n-1 )=f (x n )(x n - x n-1 )/(f(x n )-f(x n-1 ) (m=2). Ovviamente la teoria più semplice si sviluppa per m=1: x n+1 = (x n ) (iterazione a 1 punto). _ Supponiamo che {x n } converga a x. Se è continua allora per cui é un punto fisso di, cioè é radice di F(x) x- (x). Quindi, data la funz. f(x) di cui si cercano le radici, si può provare a scriverla come f(x)=x- (x) per definire il metodo iterativo x n+1 = f(x n )=x n - (x n ) augurandosi che converga al punto fisso di (x), che

53 Metodi matematici dellastronomia Es. Sia f(x)=x 3 -x-5. E possibile scrivere f(x)=0 in vari modi nella forma x= (x): i) x=x 3 -5= 1 (x); ii) x=(x+5) 1/3 = 2 (x); iii) x=5/(x 2 -1)= 3 (x). Si possono quindi definire 3 metodi iterativi: x n+1 = 1 (x n ); x n+1 = 2 (x n ); x n+1 = 3 (x n ). Se convergono, allora convergono alla radice di f(x), ma non è detto che convergano. Si può verificare che la convergenza è assicurata se | ´(x)|<1 in un intorno della radice contenente x 0 e x 1 (vedi figura). Se | ´(x)| 1la convergenza cé solo in casi molto particolari, anche se x 0 é già molto vicino alla radice. che sarebbe radice di f(x).

54 Metodi matematici dellastronomia Vale infatti il teorema: _ Ipotesi: (x) é continua, ha un punto fisso x, è derivabile e (x) m<1 in allora _ _ Tesi: Per tutti gli x 0 J, i) x n J, n=0,1,2,... ii) lim x n =x, iii) x è il solo p. fisso di (x) in J. Dimostrazione: Dimostriamo per induzione che i) x n J, n. Si ha per ip. che x 0 J, inoltre se x n-1 J allora x n J, infatti:

55 Metodi matematici dellastronomia _ La tesi ii), cioè che x n converge a x, si ottiene in virtù della catena di diseguaglianze da cui ne scende _ _ Che x sia lunico punto fisso in J dipende dal fatto che, se y è un altro punto fisso in J, allora si avrebbe cioè un assurdo, da cui ne segue che il punto fisso è unico.

56 Metodi matematici dellastronomia Ordine dei metodi iterativi I metodi iterativi a un punto sono di solito del primordine. Se però il punto fisso è tale che la funz. iteratrice (x) ha tutte le prime p-1 derivate nulle in tal punto mentre la p-esima è diversa da zero, allora il metodo è di ordine p, come vediamo. Sviluppando (x) in serie di Taylor si ha da cui si deducecioè che il metodo è di ordine p. E possibile verificare che il metodo di N-R è almeno del secondordine perchè la funz. iteratrice (x)=x-f(x)/f (x) ha derivata prima nulla nel punto fisso.

57 Metodi matematici dellastronomia Il secondordine, nel metodo di N-R, è pagato dal fatto che a ogni passo bisogna valutare sia f(x) che la sua derivata. E possibile verificare che, in generale, si possono costruire m. iterativi di ordine elevato. Essi sono, però, più dispendiosi, perchè per avere un metodo di ordine p bisogna valutare la funzione e le sue prime p-1 derivate. Stima dellerrore Siala successione dei valori calcolati col metodo iterativo (inficiati quindi da errore di valutazione della funzione e dallerrore di arrotondamento). Sottraendo m. a m. leguaglianza si ottieneda cui, usando il teorema della media, che porta, dopo sottraz. ad ambo

58 Metodi matematici dellastronomia i membri della quantitàa Se si ha | ( n )| m<1 e | n |< n, allora ne segue: In questa maggiorazione dellerrore all n+1-esimo passo il primo termine dellultimo m. stima lerrore di troncamento, il secondo quello di calcolo delle funzioni implicate. E chiaro che per n grande il primo termine è trascurabile rispetto al secondo che quindi è da un certo punto dominante e impedisce una diminuzione derrore pur al diminuire deller- rore di troncamento.

59 Metodi matematici dellastronomia Accuratezza raggiungibile Se x n è unapprossimazione di una radice semplice,, di f(x), allora dal teorema della media f(x n )=(x- )f ( ), I(x n, )=J. Se ne deduce la stima derrore indipendente dal metodo Laccuratezza entro cui si può determinare è limitata dallerrore nella valutazione di f(x); se infatti allora, poichè al meglio si ha il valore esatto di f in x n sarà f(x n ) per cui, se f (x) non varia molto attorno ad, si ha dalle diseguaglianze di sopra: dove = / f ( ). Quindi il miglior limite derrore per

60 Metodi matematici dellastronomia qualsiasi metodo è, che si chiama accuratezza massima raggiungibile per la radice. Se f ( ) è molto piccolo allora laccuratezza è bassa: il problema del calcolo di è mal-condizionato.

61 Metodi matematici dellastronomia Equazioni differenziali e sistemi di equazioni differenziali Le equazioni dl moto di un oggetto in un campo gravitazionale (pianeti, sonde interplanetarie, satelliti, stelle nelle galassie, ecc.) sono equazioni differenziali ordinarie dove la variabile indipendente è il tempo (t) e quelle dipendenti le coordinate spaziali (x,y,z). Il problema differenziale completo comprende anche linsieme delle condizioni iniziali su posizioni e velocità (le equazioni sono infatti del 2 0 ordine, poichè riguardano le accelerazioni). I sistemi di eq. differenziali della meccanica costituiscono una classe di problemi detti, appunto, ai valori iniziali, per distinguerli da unaltra classe di problemi differenziali, che sono quelli ai limiti o ai valori al contorno. Un esempio tipico, in astronomia, di questultima categoria di problemi differenziali è il sistema dequazioni che regolano la struttura stellare in equilibrio sferico, viste in una delle prime lezioni.

62 Metodi matematici dellastronomia Le eq. differenziali di cui parleremo sono esclusivamente ordinarie, cioè coinvolgono solo derivate rispetto a una sola variabile indipendente. Unespressione tipica di sistema di eq. diff. ordinarie con condizioni iniziali è: dove y è un vettore a n componenti, come la funzione vettoriale f (x,y). In generale, la trattazione numerica di eq. differenziali di ordine maggiore di uno richiede la loro riscrittura in termini di sistemi di eq. diff. del primordine utilizzando il fatto che uneq. diff. di ordine n si puo scrivere sotto forma di n eq.diff. del 1 0 ordine e scrivendo lequivalente insieme di c. in. sulle nuove funzioni incognite.

63 Metodi matematici dellastronomia Famiglie di soluzioni delleq. diff. y =f(x,y) al variare della condizione iniziale y(0); notare levoluzione dellerrore globale, che può portare la soluzione relativa a y(0)=c 1 verso quella relativa a y(0)=c 2.

64 Metodi matematici dellastronomia Vediamo come esempio leq. diff. dordine n: F(x,y,y´,y´´,...,y (n) )=0 con le c.in. y(0)=y 0,y´(0)=y 0 ´,...,y (n-1) (0)= y 0 (n-1). La riduzione al 1 0 ordine sottiene introducendo n variabili ausiliarie (u 1,u 2,...,u n ) u nel modo seguente: u 1 =y,u 2 =y´,...,u n =y (n), per cui si ottiene il sistema: Per avere una trattazione numerica delleq. diff., cioè una soluzione approssimata, bisogna anche esplicitare la n-esima variabile u n come u n =f(x,u 1,u 2,...,u n-1 ), per il motivo che vedremo fra poco.

65 Metodi matematici dellastronomia Ci sono molti metodi per risolvere numericamente eq. diff. e sistemi di eq. diff. ordinarie. Tratteremo qui metodi per la soluzione di problemi ai valori iniziali e non ai limiti. Metodo di Eulero Il metodo di Eulero (dell800) è il più semplice e si basa sullapprossimazione della derivata prima della funzione y(x) tramite uno sviluppo di Taylor: 1) in avanti: y´(x 0 )=[y(x 0 +h)-y(x 0 )]/h+O(h) che, eguagliando a f(x 0,y 0 ), dà y n+1 =y n +hf(x n,y n )+O(h 2 ), dove lerrore (locale) è O(h 2 )=(1/2)y´´( n )h 2 e si può stimare maggiorando y´´(x)=f´(x,y) nellintervallo [x n,x n+1 ] (x n è x 0 e x n+1 è x 0 +h) (questo é il m. di Eulero in avanti).

66 Metodi matematici dellastronomia Il metodo di E. in avanti è esplicito, a un sol punto (one step) e localmen- te del 2 0 ordine (e quindi globalmente del 1 0 ). 2) allindietro: y(x 0 -h)=y(x 0 )-y´(x 0 )h+(1/2)y´´( )h 2, da cui y´(x 0 )=[y(x 0 )-y(x 0 -h)]/h+O(h) che, eguagliando a f(x 0,y 0 ), dà y n =y n-1 +hf(x n,y n )+O(h 2 ). Anche questo metodo è a un sol punto e localmente del 2 0 ordine (e quindi globalmente del 1 0 ), però è implicito (lincognita y n appare anche come argomento di f). Entrambi questi metodi sono molto semplici da implementare, hanno lo svantaggio di una scarsa precisione e, quello allindietro (impicito), di richiedere la soluzione di unequazione a ogni passo, che può essere complicata se f è non-lineare.

67 Metodi matematici dellastronomia Un semplice miglioramento del metodo di Eulero si ottiene utilizzando 2 sviluppi di Taylor su 3 punti (x n-1,x n,x n+1 ) spaziati di h: y n+1 =y n +y (x n )h+(1/2)y (x n )h 2 +O(h 3 ), y n-1 =y n -y (x n )h+(1/2)y (x n )h 2 +O(h 3 ); sottraendo la seconda dalla prima rel. si ha: y (x n )=(y n+1 -y n-1 )/2h+O(h 2 ), per cui, eguagliando a f(x n, y n ): y n+1 =y n-1 +2hf(x n, y n )+O(h 3 ) (metodo del punto di mezzo o leap-frog). Tale metodo è esplicito, a due punti (multi-step), localmente del 3 0 ordine (quindi globalmente del 2 0 ). Poichè il calcolo di y n+1 richiede la conoscenza di 2 valutazioni precedenti, y n-1 e y n, il metodo ha bisogno di una valutazione indipendente di y 1, oltre alla condizione iniziale y 0, per essere utilizzato. Normalmente tale inizializzazione avviene con un passo

68 Metodi matematici dellastronomia di Eulero. Il leap-frog mostra debole instabilità come si può vedere con lesempio dellequazione la cui sol. è y=e -x. Linstabilità ha una possibile cura col leap-frog modificato: si inizializza il leap-frog con un passo di E., poi si usa il leap-frog fino a x+H=x+Nh (N pari; H macropasso). Il valore y N così ottenuto si corregge così: Per poi proseguire per altri N passi col leap-frog inizializzato da e Poichè lerrore è y(x;h)-y(x)=c 1 (x)h 2 +c 2 (x)h 4 +··· è possibile effettuare lusuale estrapolazione di Richardson con p k =2k.

69 Metodi matematici dellastronomia Soluzione di y´=-y, y(0)=1 col leap-frog con h=0.1 e inizializzato con 2 metodi diversi: y 1 =0.9 (cerchi neri); y 1 =0.85 (cerchi bianchi). La sol. esatta in x=0.1 è y(0.1)= con 4 dec.. Nel secondo caso si nota linsorgere della debole instabilità.

70 Metodi matematici dellastronomia Soluzione di y´=-y, y(0)=1 con vari metodil leap-frog con h=0.1

71 Metodi matematici dellastronomia Proseguendo nella tratt dei sist. di eq. diff. si sottolinea che ci riferiremo per semplicità a una singola eq. diff. ma tutto ciò che si dirà vale anche per sistemi (basta sostituire il simbolo di vettore a y e f(x,y)). Per quanto riguarda lerrore, una maggiorazione dellerrore di troncamento globale si può fare in analogia con quanto visto per la formula di quadratura numerica del trapezio e del rettangolo, sommando gli errori locali fatti a ogni passo: che corrisponde al fatto che, globalmente, un metodo localmente di ordine p diventa di ordine p-1. Naturalmente, non conoscendo la soluzione esatta y(x) la maggiorazione derrore va fatta utilizzando il fatto che y =f(x,y), per cui y = f (x,y)

72 Metodi matematici dellastronomia che permette una stima derrore effet- tuando la maggiorazione di f (x,y) come funzione di 2 variabili. Metodi di Runge-Kutta Sono metodi che utilizzano valutazioni della funzione f(x,y) in un insieme di punti entro lintervallo x n, x n +h. Il più semplice di tali metodi è il Metodo di Heun (metodo di R-K del 2 0 ordine). Si basa su un approssimazione trapezoidale esplicita, cioè sullottenere lapprox. di y in x n+1 = x n +h come dove al posto di y n+1 (che renderebbe il metodo implicito) cè una sua approx. y (1) n+1 data da una passo di Eulero in avanti

73 Metodi matematici dellastronomia Risulta chiaramente che tale metodo equivale alla valutazione di y n+1 come media aritmetica di 2 stime avanzate: y (1) n+1, appunto, e y (2) n+1 definita come un passo di Eulero semi-implicito: per cui: Si verifica che y(x;h)-y(x)=c 2 (x)h 2 +c 3 (x)h 3 +···+, quindi il metodo è di 2 0 ordine. Il più usato tra i metodi di R-K è quello del 4 0 ordine, definito dalla sequenza di calcoli:

74 Metodi matematici dellastronomia Poichè, come si può verificare, si ha y(x;h)-y(x)=c 4 (x)h 4 +c 5 (x)h 5 +···+ Il metodo è del 4 0 ordine. Interpretazione euristica delle formule di R-K Nellintervallo [x n,x n+1 ], dove x n+1 x n +h, la sol. esatta delleq. diff. dareb- be Lidea dei metodi di R-K consiste nell approssimare lintegrale usando i dati di- sponibili. Ad es., il metodo di Heun si

75 Metodi matematici dellastronomia ricava immediatamente se f dipende solo da x. In tal caso, infatti, si può approssimare lintegrale con la formula del trapezio: che è appunto la formula di Heun per f che non dipende da y. Lerrore della form. di Heun sarebbe lo stesso della formula trapezoidale se si conoscesse f(x n+1,y(x n+1 )) da mettere nellappross. dellintegrale. Poichè invece si usa f(x n+1,y (1) (x n+1 )), che ha un errore locale: (dove y (x n )=f(x n,y n )) ecco che la f. di Heun ha errore che contiene tutte le potenze 2 di h, mentre quella trapezoidale contiene solo le potenze pari maggiori o uguali a 2.

76 Metodi matematici dellastronomia Similmente, il metodo di R-K del 4 0 ordine si ricava immediatamente se f=f(x) approssimando lintegrale con la formula di Simpson, considerando anche il punto di mezzo tra x n e x n+1, x n+1/2 x n +h/2: che è proprio lespress. di R-K, tenuto conto che k 2 =k 3 poichè f dipende solo da x. Lerrore globale è quindi del 4 0 ordine, come nel metodo di S., anche nel caso generale f=f(x,y).

77 Metodi matematici dellastronomia Metodi impliciti (predictor-corrector) Il più semplice metodo implicito è quello trapezoidale (si noti che tale metodo corrisponde alla media aritmetica fra un passo di Eulero in avanti e uno indietro, da cui il nome, anche, di m. di Eulero modificato). Il metodo è chiaramente implicito, in quanto y n+1 appare come argomento di f(x,y); lespressione è quindi del tipo y n+1 =F(x n,x n+1,y n,y n+1 ). Se, quindi, f è una funzione non-lineare si tratta di risolvere uneq. (o un sist. deq.) non-lineare a ogni passo dintegrazione. Ricordando le consi- derazioni generali sui m. iterativi risulta spontaneo lutilizzo di un metodo iterativo tipo

78 Metodi matematici dellastronomia in cui lindice iterativo è in realtà un apice (k). E possibile verificare che un criterio suff. per la convergenza del m. iterativo nel caso di un sistema è, in analogia col caso della singola eq. con lusuale significato dei simboli di norma matriciale, derivate di vettori, ecc.. La convergenza è tanto più rapida quanto più piccola è la norma della matrice delle derivate della funz. vett. f(x,y). Una scelta iniziale y (0) n+1 valida e spontanea è quella di un passo di Eulero esplicito: y (0) n+1 = y (0) n +hf(x n,y n ). La scelta iniziale si chiama predittore (predictor) e la correzione iterativa correttore (corrector), per cui il m. implicito si chiama predictor-corrector.

79 Metodi matematici dellastronomia La fine del procedimento iterativo può avvenire quando è soddisfatta una condizione derrore con >0 prescelto, oppure prefissando un numero massimo, k max, di iterazioni (la cosa migliore è la combinazione dei 2 criteri). Si noti che il metodo di Heun corrisponde alla scelta k max =1. E ovvio che un buon predictor riduce il numero di iterazioni necessarie per arrivare a una buona approssimazione di y n+1. Metodo di Adams-Bashforth-Moulton Il più noto, e usato, m. predictor-corrector è quello di Adams-Bashforth -Moulton. E del 5 0 ordine localmente sia nel predictor (Adams-Bashforth)

80 Metodi matematici dellastronomia che nel corrector (Adams-Moulton). Le espressioni sono Predictor (A-B) Corrector (A-M) Nelle espressioni di sopra f n =f(x n,y n ), ecc.. Il predictor serve chiaramente a evitare che il corrector sia una complicata espressione implicita per y n+1 (y n+1 ottenuto col predictor va messo in f n+1 nel corrector). Il metodo risulta quindi globalmente del 4 0 ordine.

81 Metodi matematici dellastronomia Un metodo alle differenze per uneq. diff. del 2 0 ordine Eq. della forma y =f(x,y), con le c.i. y(a)=, y (a)= sincontrano spesso in Fisica e Astronomia (le equazioni del moto sono di quel tipo, dove a primo membro cè laccelerazione e lespressione a secondo membro è la legge di forza ). Naturamente una possibilità di soluzione numerica Passa attraverso la consueta riscrittura come sistema di eq. diff. del 1 0 ordine. Si possono usare, però, anche approssimazioni dirette (alle differenze) della derivata seconda come quella (ottenibile dalla somma m. a m. di uno sviluppo di Taylor per y n+1 e per y n-1 ) e della derivata prima (sempre al 2 0 ordine e sempre con la combinazione

82 Metodi matematici dellastronomia lineare di 2 sviluppi di Taylor in avanti e indietro): Ne risulta il metodo (chiamato metodo centrale esplicito alle differenze) che non può essere utilizzato finchè non si elimina y -1 dallespress. alle differenze della c.i. sulla derivata. Tale eliminazione si può fare espri- mendo y -1 tramite la prima relazione del metodo scritta per n=0, ottenendo

83 Metodi matematici dellastronomia Problemi stiff Alcuni problemi differenziali sono tali da essere intrinsecamente difficili da risolvere numericamente in maniera affidabile. Questi problemi sono detti stiff (rigidi, difficili). Vediamone alcuni esempli. a)Leq. y =100y ha soluzione esatta y(x)=c 1 e 10x +c 2 e -10x. Lesponenziale crescente è assente quando le c.i. sono y(0)=1 e y (0)=-10. In tal caso c 1 =0, c 2 =1 e la sol. è y(x)=e -10x. Applicando al problema detto i metodi numerici precedentemente visti si verifica però che la soluzione dopo un po invece di convergere a zero esplode positivamente o negativamente con andamento e 10x, come se c 1 fosse diverso da zero. Il motivo è la transizione, per errore di arrotondamento, dalla soluzione esatta corrispondente alle c.i. date a una adiacente che corrisponde alla generale c. lineare dei 2 esponenziali.

84 Metodi matematici dellastronomia Per capire meglio la cosa si suggerisce per es. di studiare il problema perturbato y =100y, y(0)=1 e y (0)=-10+, la cui sol. è y (x)=( /20)e 10x +(1- /20) e -10x, che corrisponde, in pratica, alleffettiva soluzione numerica del problema. Un altro tipico problema stiff è quello della presenza di scale temporali multiple nella soluzione, come si può vedere con lesempio del sistema: La sol. del sistema si ottiene ponendo u=2y-z e v=-y+z, sostituendo e sommando m. a m. e moltiplicando la 2 a eq. per 2 e poi sommando m. a m.

85 Metodi matematici dellastronomia Il sistema si disaccoppia in cioè: Nelle sol. ci sono due componenti esponenziali che decadono entrambe ma con tempi di decadimento molto diversi, una delle 2 avendo un tempo di decadimento 1000 volte più grande. Questo vuol dire che un metodo numerico esplicito per essere accettabile deve usare un passo che sia in grado di seguire la soluzione più rapidamente variabile. Poichè una ragionevole scelta del passo si ottiene richiedendo che tra n e n+1 lincremento relativo di y sia inferiore a una costante prefissata: ecco che nellesempio sopra dato il passo risulta h n+1 =min(1,1/1000)

86 Metodi matematici dellastronomia con ovvio sovraccarico di calcoli, che implica lungo tempo dattesa e aggravio nellerrore accumulato di arrotondamento e troncamento. Qunado ci sono problemi stiff, instabili, è opportuno ricorrere a metodi impliciti. Vediamo, infatti, che il metodo esplicito di Eulero soffre di instabilità per h grande nel caso di un eq. tipo y =-cy, c>0. In tal caso il m. di E. esplicito dà: y n+1 =(1-ch)y n. Tale metodo diverge se |1-ch|>1, cioè (essendo c e h>0) se ch>2 h>2/c, mentre la sol. esatta converge a zero. Il metodo di E. implicito applicato alleq. y =-cy dà invece y n+1 =y n /(1+ch) che risulta stabile perchè converge a zero anche se h è grande (se però si usa h grande la soluzione può essere molto poco accurata anche se tende correttamente a zero per x grande). Anche il metodo del trapezio (implici-

87 Metodi matematici dellastronomia Unintegrazione accurata e sufficientemente rapida richiede controllo e modifica del passo h. Una possibilità è il controllo e modifica precedente- to del 2 0 ordine) è stabile, se applicato alleq. sopra scritta. Infatti dà e quindi y n+1 converge a zero. Tutte queste considerazioni permangono valide per sistemi di eq. diff. li- neari del tipo y =-Cy, dove C è una matrice definita positiva, e anche per sistemi y =f(x,y), dopo linearizzazione di f(x,y). Controllo del passo dintegrazione

88 Metodi matematici dellastronomia mente visti, che consistevano nell utilizzare (per avanzare la soluzione da x n a x n+1 ) un passo, h n+1, che fosse abbastanza piccolo da limitare la Variazione relativa di y tra y n e y n+1 ottenibile con un passo di Eulero in avanti. Tale metodo è grossolano ma semplice da implementare. Un controllo forse migliore è quello che viene dalla scelta di un passo h che limiti lerrore per passo a un valore prefissato. Esso si basa su una scelta di h e sulle valutazioni y (1) n+1 e y (2) n+1 a x n+1 =x n +h ottenute, rispettivamente, con un passo h e con 2 passi h/2. Ricordando lespressione che dà origine allestrapolazione di Richardson si può fermare loperazione di dimezzamento del passo quando si ha l n < h.


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