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Il caos deterministico I "...Dio, volendo che tutte le cose fossero buone, e che nulla, nella misura del possibile, fosse cattivo, prendendo ciò che era.

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1 Il caos deterministico I "...Dio, volendo che tutte le cose fossero buone, e che nulla, nella misura del possibile, fosse cattivo, prendendo ciò che era visibile e che non stava in quiete, ma si muoveva confusamente e disordinatamente, lo portò dal disordine allordine, giudicando questo totalmente migliore di quello." Platone, Timeo, 30A

2 Gli antichi greci credevano che luniverso fosse sorto dal caos primordiale. Fino al secolo scorso si pensava che tutti i fenomeni naturali, assoggettati al dominio delle leggi fisiche, fossero in linea di principio regolari e prevedibili, e che il caos fosse solo un prodotto della nostra ignoranza. La scoperta di sistemi fisici dal comportamento intrinsecamente disordinato e imprevedibile ha ribaltato questa convinzione, facendo entrare di diritto il caos tra i paradigmi della scienza.

3 Il concetto di regolarità Un sistema fisico è regolare se il suo comportamento è: semplice ordinato prevedibile Esempi: il moto di un pendolo i movimenti del sole e della luna

4 Il concetto di irregolarità Un sistema fisico è irregolare e caotico se il suo comportamento è: complesso disordinato imprevedibile Esempi: il lancio di un dado la roulette il moto turbolento di un fiume nelle rapide

5 Alcune definizioni Stato iniziale di un sistema meccanico: linsieme dei valori di posizione e velocità di tutti i corpi del sistema a un tempo dato, preso come istante iniziale. Evoluzione: linsieme degli stati del sistema a tempi successivi allistante iniziale. Spazio delle fasi: linsieme di tutti i possibili stati di un sistema meccanico. Per un moto rettilineo è un piano, in ascisse lo spazio, in ordinate la velocità Orbita di fase: nella sua evoluzione, un sistema traccia una curva nello spazio delle fasi, che rappresenta gli stati raggiunti di volta in volta. Questa è lorbita di fase

6 Il determinismo Conoscendo esattamente lo stato iniziale di un sistema, è possibile calcolare la sua evoluzione per mezzo delle leggi di Newton e di passaggi matematici, ad ogni tempo. Lo stato iniziale di un sistema determina completamente la sua evoluzione futura (principio del determinismo; Laplace, XVIII secolo) Questo principio è assunto come valido anche nella teoria del caos. Sembra che, in base a tale principio, non possano esistere in natura imprevedibilità, irregolarità e caos.

7 Imprecisione nelle condizioni iniziali E impossibile determinare le condizioni iniziali di un sistema reale con infinita precisione: ogni misura, infatti, è soggetta ad un errore, d. Questo implica che anche lo stato finale calcolato sarà diverso dallo stato finale reale del sistema, con un errore D. In altre parole, quella che noi calcoliamo non è la vera evoluzione del sistema, ma quella a partire da condizioni iniziali vicine, differenti per un errore d. Quello che otteniamo non è il vero stato finale del sistema, ma differisce da questo per un errore D

8 Imprecisione nelle condizioni iniziali La due domande fondamentali sono ora: Come aumenta lerrore col tempo ? Quanto influisce D sulle nostre capacità di prevedere leffettiva evoluzione di un sistema fisico?

9 Orbite stabili In alcuni sistemi fisici, due orbite che partono con condizioni iniziali vicine restano vicine a lungo ORBITE STABILI Se le orbite sono stabili lerrore iniziale cresce lentamente

10 Sistemi regolari In presenza di orbite stabili, lorbita calcolata in base alle condizioni iniziali sbagliate si allontana di poco da quella reale. Basta che lerrore iniziale sia molto piccolo, e lo sarà anche quello finale. Levoluzione del sistema sarà dunque prevedibile e il sistema si dirà regolare. Fino agli inizi del secolo scorso si pensava comunemente che tutti i sistemi fossero regolari

11 Orbite instabili Vi sono però dei casi in cui due orbite che inizialmente si trovano molto vicine divergono molto rapidamente, fino a non avere più nulla a che fare luna con laltra ORBITE INSTABILI Se le orbite sono instabili lerrore cresce rapidamente

12 SISTEMI CAOTICI In presenza di orbite instabili, lorbita calcolata in base alle condizioni iniziali sbagliate, rapidamente si allontana tanto da quella vera da non avere più alcuna relazione con questa, non più di unorbita scelta a caso. Per quanto piccolo possa essere lerrore iniziale, quello finale diventa subito molto grande. In queste condizioni, non ha senso parlare di prevedibilità. Levoluzione del sistema sarà dunque imprevedibile e il sistema si dirà irregolare o CAOTICO.

13 Divergenza delle orbite Tecnicamente, in un sistema regolare lerrore iniziale può crescere al più linearmente al passare del tempo D = d + Kt In un sistema caotico lerrore cresce esponenzialmente col tempo (divergenza esponenziale delle orbite) D = d e Ht Il tasso di divergenza H si dice entropia di Kolmogorov.


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