Linfinito In termini matematici. L infinito nelle scoperte matematiche _ i paradossii paradossi _ le geometrie le geometrie _ la teoria degli insiemila.

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1 Linfinito In termini matematici

2 L infinito nelle scoperte matematiche _ i paradossii paradossi _ le geometrie le geometrie _ la teoria degli insiemila teoria degli insiemi e astronomiche _ i modelli cosmologicii modelli cosmologici _ la teoria del Big-Bangla teoria del Big-Bang _ i modelli internativii modelli internativi _ le antinomiele antinomie

3 i paradossi Il concetto di infinito ispirò diverse teorie tra i matematici di tutte le epoche, che portarono a conclusioni talvolta contrastanti tra loro oppure apparentemente in contraddizione con opinioni o principi generali; tali ragionamenti o tesi vengono per questo motivo chiamati paradossi. I paradossi di Zenone Zenone nel V secolo a.C. dimostrò che la somma di infiniti segmenti dà per risultato un segmento finito, e quindi che grandezze finite come distanze e tempi possano essere divise all'infinito. Questo ragionamento è esposto nel paradosso di Achille e la tartaruga, nel quale apparentemente risulta che il veloce Achille non raggiungerà mai una lenta tartaruga cui aveva dato solo un metro di vantaggio. I paradossi dell equinumerosità Euclide, successivamente, elencò alcune "nozioni comuni", cioè regole di deduzione logica, ritenute da lui evidenti ed intuitive ma che sollevarono in realtà numerosi dubbi : _ le cose uguali ad una stessa sono anche uguali tra loro _ se a cose uguali si aggiungono cose uguali si ottengono risultati uguali _ se da cose uguali si tolgono cose uguali i resti sono uguali _ cose che coincidono l'una con l'altra sono uguali l'una all'altra _l'intero è maggiore della parte. Questultima nozione, apparentemente inconfutabile, fu la causa di una considerevole quantità di paradossi (come ad esempio quelli dei quadratie della ruotadi Galileo), detti sull equinumerosità. In generale due insiemi si dicono equinumerosi se è possibile stabilire una corrispondenza che ad ogni elemento del primo insieme colleghi un solo elemento del secondo insieme e viceversa,cioè se esiste una corrispondenza biunivoca tra i due. Se un insieme è finito non può essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo qualsiasi sottoinsieme (per cui la quinta nozione di Euclide è vera), ma se l'insieme è infinito le cose cambiano: ad esempio, risultano equinumerosi gli insiemi dei punti di segmenti di diversa lunghezza e sono equinumerosi anche l'insieme dei punti di una retta e quello dei punti di un segmento. Così il matematico J.Dedekind diede infine come definizione di insieme infinito proprio la proprietà di essere equinumeroso con una sua "parte", nonchè la negazione della quinta nozione di Euclide. Solo alla fine del secolo scorso G.Cantor risolse definitivamente la questione dell'equinumerosità degli insiemi infiniti formulando la cosiddetta Ipotesi del continuoIpotesi del continuo

4 L'ipotesi del continuo E' un postulato dovuto a Cantor secondo cui si definiscono due tipi di infinito:quello degli insiemi numerabili, detto, cioè degli insiemi che possono essere messi in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei numeri interi positivi, e quello degli insiemi continui, detto aleph uno, cioè degli insiemi che possono essere messi in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei punti di una retta. Cantor enuncia il postulato, che non riuscì mai a dimostrare né a confutare, che non esistono livelli di infinito che siano intermedi tra il numerabile e il continuo.

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6 La teoria degli insiemi I l fondatore della teoria degli insiemi fu Georg Cantor, che in particolare si occupò degli insiemi infiniti. Nella ricerca matematica già nell'Ottocento emergeva l'esigenza di descrivere le proprietà che distinguevano i vari insiemi numerici. Tra i problemi sorti dallo studio di questi insiemi si pone quello della loro numerosità :Sono "di più" i numeri interi positivi o i numeri pari?Sono "di più" i numeri interi positivi o i quadrati perfetti?Sono "di più" i numeri interi positivi o le frazioni?Sono "di più" i numeri interi positivi o i numeri reali?Le risposte a queste domande avevano portato, già dai tempi di Galileo, a risultati apparentemente in contrasto con l'intuizione comune. Se A è un insieme finito o infinito e P(A) indica l'insieme delle parti di A, cioè l'insieme di tutti i suoi sottoinsiemi, allora P(A) è "più numeroso" di A (in termini rigorosi si dice che la cardinalità di P(A) è maggiore della cardinalità di A). L'insieme delle parti di un insieme numerabile (cioè numeroso come l'insieme N) ha la "potenza del continuo" (cioè è numeroso come l'insieme R) I diversi livelli di numerosità degli insiemi infiniti possono essere trattati come se fossero nuovi numeri che Cantor definisce numeri cardinali e che rappresenta con la prima lettera dell'alfabeto ebraico "aleph". Quindi risulta cheAleph0 è il livello di numerosità, cioè il numero cardinale, degli insiemi infiniti numerabili come N,Aleph1 è il livello di numerosità, cioè il numero cardinale, degli insiemi infiniti continui come R e P(N)Aleph2 è il numero cardinale di P(P(N)), e così via. Una questione rimasta a lungo aperta è la seguente: esistono insiemi di cardinalità intermedia tra due aleph? Cantor ipotizzò di no, ma non riuscì a dimostrare questa teoria che definì ipotesi del continuo. La risposta a tale quesito è stata data nel 1963 da Cohen che riuscì a dimostrare che è possibile costruire una nuova teoria degli insiemi infiniti negando la validità dell'ipotesi del continuo. Si possono così costruire diverse "aritmetiche dell'infinito", ciascuna coerente, nelle quali l'ipotesi del continuo può essere vera o falsa. L'idea dominante fino a Cantor era stata infatti che se l'infinito esiste allora è unico, è l'assoluto oltre il quale non si può andare. Cantor dimostrò invece che esistono infiniti più grandi e infiniti più piccoli. Dopo Kant ha acquistato cittadinanza tra i filisofi la falsa idea che il limite ideale del finito sia l'assoluto, mentre in verità tale limite può venir pensato solo come transfinito [...] e precisamente come il minimo di tutti i transfiniti..." (G. Cantor 1885).

7 I modelli dell'antichità Già nel VI secolo a.C. Pitagora di Samo propose la sua teoria sulla struttura delluniverso, secondo la quale esiste un fuoco intorno a cui ruotano tutti i corpi celesti, seguendo movimenti ciclici. Nel IV secolo a.C. Aristotele affermò che luniverso è sferico e finito, con al centro la Terra immobile, successivamente Tolomeo sviluppò la sua teoria geocentrica, che sarà accettata fino al 1500. Nel '500 Copernico elaborò la teoria eliocentrica sostenuta e perfezionata da Galilei e da Keplero. Sempre nel 600 il pensatore Giordano Bruno contribuì alla distruzione della teoria Aristotelica ipotizzando un universo infinito provvisto di innumerevoli realtà. Il passo decisivo nella comprensione delle leggi che regolano il moto dei corpi celesti fu compiuto da Newton, che formulò la legge di gravitazione universale e propose un modello di universo statico, in cui la distribuzione delle stelle continua con immutata densità in uno spazio infinito, che non ha nè centro nè confine; ogni stella è attratta in ogni direzione dalla gravità di tutte le altre e su di essa non si esercita perciò alcuna forza in alcuna direzione. I modelli attuali I modelli cosmologici attuali si sviluppano grazie alle scoperte rivoluzionarie compiute in questo secolo nel campo della fisica da scienziati quali Maxwell (che sintetizzò in un gruppo unico e ristretto di formule tutte le leggi concernenti la teoria della luce, dellelettricità e del magnetismo, avviando in questo modo il processo di unificazione nellinterpretazione dei fenomeni naturali), Planck (che elaborò la teoria dei quanti, che costituisce, insieme alla teoria della relatività formulata da Einstein, una svolta rivoluzionaria nello sviluppo della fisica moderna), Einstein, che pensò, però, ancora ad un universo omogeneo, eterno ed immobile, in accordo con il modello cosmologico allora accettato, e Hubble che annunciò di possedere le prove dellespansione delluniverso solo nel 1929. Si deve a George Gamow nel 1946 il modello cosmologico standard secondo cui l'Universo ha avuto inizio dalle particelle più semplici (protoni, neutroni ed elettroni) in una forma dissociata e che i nuclei si siano formati a partire da questa materia prima: si tratta della cosiddetta teoria del Big Bang, che trovò in seguito diverse conferme sperimentali, tra le quali quella degli scienziati Robert Wilson ed Arno Penzias che nel 1965 scoprirono una radiazione termica diffusa in ogni direzione dell'Universo, considerata come il residuo del calore irraggiato dal Big Bang.Big Bang Accanto al modello del Big Bang, sostenuto da gran parte della comunità scientifica, esistono modelli cosmologici alternativi, tra cui ancora quello dell'Universo stazionario.modelli cosmologici alternativi

8 Il modello cosmologico standard: il Big Bang Gli astronomi oggi ritengono che l'Universo abbia avuto origine dal Big Bang (termine coniato dal cosmologo inglese Fred Hoylecon in realtà allo scopo di mettere in ridicolo la teoria),avvenuto circa 10-20 miliardi di anni fa, sia in continua espansione e si espanda in modo tale da mantenere fisse le proporzioni reciproche tra le distanze delle galassie (legge di Hubble, 1929). Questa teoria venne proposta dopo le osservazioni di Hubble e nasce dalla considerazione del fatto che, se l'espansione fosse sempre proceduta al ritmo attuale, le galassie avrebbero dovuto essere riunite nello stesso punto, ad un istante to nel passato, calcolabile dividendo la distanza percorsa per la velocità di fuga. Nell'istante del Big Bang l'universo aveva volume nullo e temperatura infinita, ma, con il procedere dell'espansione, la temperatura diminuì. I primi secondi sono probabilmente molto ricchi di avvenimenti che si sono verificati ad un ritmo elevatissimo ed hanno determinato la futura struttura dell'universo, che ha avuto inizio dalle sostanze più semplici (protoni, neutroni ed elettroni) in una forma dissociata. Un secondo dopo la temperatura era scesa a circa 10 miliardi di gradi e nell'universo dovevano trovarsi soprattutto fotoni, elettroni e neutrini, insieme a pochi protoni e neutroni. Due minuti dopo l'esplosione iniziale, la temperatura era scesa ad un miliardo di gradi e protoni e neutroni cominciarono ad unirsi, producendo nuclei di deuterio, i quali si combinarono con altri protoni e neutroni, formando nuclei di elio. I nuclei degli atomi che noi conosciamo si sono formati a partire da questa materia prima. Da questo momento in poi luniverso continuò ad espandersi e raffreddarsi, permettendo la formazione di zone più dense, in cui lattrazione gravitazionale tra le particelle di materia permise la loro aggregazione e lavvio di un moto rotatorio, che diede origine alle galassie. Con il passare del tempo, al contrarsi progressivo delle nubi di H ed He, si verificarono collisioni fra gli atomi che innescarono le reazioni di fusione nucleare e diedero origine alle stelle. Tuttavia il modello del Big Bang arriva solo fino ad un certo punto e non ci spiega com'era l'universo prima dell'espansione e che cosa accadrà nel lontano futuro, quando anche l'ultima stella avrà esaurito il suo combustibile nucleare.

9 I modelli cosmologici alternativi _ Universo stazionario. È un modello proposto nel 1946 da un gruppo di cosmologici (Fred Hoyle, Thomas Gold, Herman Bondi), secondo il quale nelluniverso si ha una creazione continua di materia che rimpiazza quella che si allontana a causa dellespansione cosmica. Il ritmo con cui nuova materia entra nelluniverso è tale che, in media, la densità delle galassie rimane invariata man mano che luniverso si espande. Luniverso non ha nè inizio nè fine ed appare in media sempre uguale a se stesso. Secondo questa ipotesi i gruppi di galassie vicini a noi dovrebbero apparire simili a quelli molto lontani; la cosmologia del Big Bang, invece, prevede che, poiché le galassie si sono formate tutte molto tempo fa, quelle lontane debbano sembrare più giovani di quelle vicine, dato che la loro luce impiega più tempo per raggiungerci. Oggi non viene ritenuto valido, in quanto contrasta con i dati sperimentali raccolti con le osservazioni. _ Universo ciclico. La storia delluniverso si ripete infinitamente secondo precisi cicli. _ Universo bidirezionale. Luniverso, chiuso e finito, raggiunge una dimensione massima, per poi contrarsi, ripercorrendo esattamente a ritroso levoluzione subita in fase di espansione. Questa ipotesi è stata formulata dallastronomo Thomas Gold. _ Universi paralleli. In questa teoria si suppone che esistono tanti universi, forse infiniti, che appaiono continuamente come bolle in un substrato cosmico primordiale in espansione e soggetto a sporadici cambiamenti. Ognuna di queste bolle, dopo essersi formata, si espande a sua volta secondo modalità dettate dalle condizioni iniziali, innescando levoluzione di un mondo fisico a se.

10 Le Antinomie La Teoria di Cantor fece esplodere numerose, nuove antinomie, tra le quali: _1 Antinomia di Russel: Alcuni insiemi sono elementi di se stessi, altri non lo sono:ad esempio l'insieme di tutti gli insiemi con più di 10 elementi è elemento di se stesso, mentre l'insieme di tutti i libri non è elemento di se stesso (non è un libro). Consideriamo ora l'insieme di tutti gli insiemi che non sono elementi di se stessi. Se esso è un elemento di se stesso, allora non è un elemento di se stesso. Se non lo è, lo è. _2. Antinomia di Cantor, della classe totale: Assumiamo A come l'insieme di tutti gli insiemi e P(A) l'insieme delle sue parti. Per quanto precedentemente visto P(A) dovrebbe avere potenza maggiore di A, ma essendo A l'insieme di tutti gli insiemi, esso contiene P(A) come suo elemento, quindi P(A) dovrebbe avere cardinalità non maggiore di A. Queste Antinomie determinarono una crisi dei fondamenti della Matematica che scosse il mondo matematico all'inizio del secolo e determinò la nascita di diverse concezioni circa la natura della Matematica: _ gli Intuizionisti accettarono come vero esclusivamente il Postulato ristretto della Matematica, cioè l'esistenza della successione infinita dei numeri naturali e tutto ciò che da essa conseguiva; rifiutarono il Principio del terzo escluso affermando che una proposizione può essere ne' vera ne' falsa, cioè indecidibile e, conseguentemente, negarono valore alle dimostrazioni per assurdo. _ i Formalisti partirono dall'idea che esistenza in Matematica significa coerenza, cioè non contraddizione e poiché la coerenza delle teorie più complesse si riconduceva alla coerenza dell'aritmetica, concentrarono i loro sforzi nel tentativo di formalizzare completamente l'aritmetica. Alcuni estremizzarono tale posizione fino a giungere alla conclusione che la Matematica non è altro che un gioco privo di significato in cui si gioca secondo regole formali concordate in partenza. _ i Logicisti tentarono di formalizzare la Matematica con la Logica: essi affermavano che i numeri interi sono sufficienti a descrivere i risultati dell'Analisi, ma essi sono stati a loro volta descritti nella Ligica Simbolica di Peano la quale forniva, a loro giudizio, un tessuto logico primario che sembrava avvalorare dall'esterno (al di fuori della Matematica) la Matematica stessa.

11 Nel 1931 Godel dimostrò tuttavia che la Matematica mostra delle "aperture", delle allusioni ad "altro", non si tratta quindi di un mondo chiuso ed esauriente di segni, bensì di un sistema formale completo. Godel provò che all'interno del sistema esistono certe asserzioni ben precise che non possono essere ne' dimostrate, ne' invalidate nell'ambito degli assiomi del sistema; perciò, usando i metodi convenzionali, non si può essere certi che gli assiomi dell'aritmetica non portino a contraddizioni. Paul Cohen stesso, dimostrando che è possibile costruire tanto una "Matematica cantoriana" quanto una "Matematica non cantoriana" analogamente a quanto era avvenuto in Geometria con la nascita delle Geometrie non euclidee (che, come già detto, rifiutavano tra i loro assiomi il V Postulato di Euclide) contribuì alla nascita del Metodo Assiomatico moderno, considerato non soltanto deduttivo (si assumono come verità primitive evidenti alcune proprietà fondamentali, chiamate "postulati" o "assiomi", dalle quali si deducono nuove proprietà), ma anche ipotetico-deduttivo: gli assiomi non sono più verità primitive indimostrabili, ma semplici ipotesi relative ad enti del pensiero non definiti perciò, se si considerano enti concreti che verificano le proprietà espresse dagli assiomi, allora valgono anche le proprietà espresse dai teoremi dedotti da questi per via strettamente logica. Ad ogni interpretazione degli enti primitivi corrisponde un modello (concreto) della teoria assiomatica (di per sè astratta, formale). Se l'assunzione del metodo assiomatico moderno comporta la perdita dell'unità( non esiste più la Matematica, ma esistono le Matematiche, così come non c'è più la Geometria, ma le Geometrie), apre d'altro canto nuovi vastissimi campi di ricerca e quindi nuove prospettive di progresso sia del pensiero matematico che, conseguentemente, del pensiero scientifico e ed pensiero umano in generale.

12 ".....Perchè la geometria viene spesso definita fredda e arida? Uno dei motivi è la sua incapacità di descrivere la forma di una nuvola, di una montagna, di una linea costiera, di un albero. Osservando la natura vediamo che le montagne non sono dei coni, le nuvole non sono delle sfere, le coste non sono cerchi, ma sono degli oggetti geometricamente molto complessi...." Benoit Mandelbrot La definizione più semplice e intuitiva li descrive come figure geometriche caratterizzate dal ripetersi all'infinito di uno stesso motivo, su scala sempre più ridotta. Ciò significa che, ingrandendo la figura, si otterranno forme ricorrenti e ad ogni ingrandimento essa rivelerà nuovi dettagli.