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Una citazione su Enriques Il capire dunque il mondo algebrico non è tanto questione di corretta deduzione, quanto anzitutto una questione di vedere. Una.

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1 Una citazione su Enriques Il capire dunque il mondo algebrico non è tanto questione di corretta deduzione, quanto anzitutto una questione di vedere. Una simile concezione appagava profondamente lo spirito prevalentemente intuitivo dellEnriques, il quale spesso arrivava addirittura al punto -e nellintimità con i suoi allievi si compiaceva di tale aspetto apparentemente paradossale del suo pensiero- di non sentire il bisogno di una dimostrazione logica, perché vedeva; e ciò lo rendeva sicuro della verità della proposizione in questione e lo appagava pienamente: certamente ad ogni modo gli impediva di procedere oltre.

2 Avendogli una volta dichiarato di non vedere la verità di unaffermazione, che egli riteneva evidente, ma che invano avevamo tentato di dimostrare logicamente, egli si fermò di botto (...) e, invece di tentare unultima dimostrazione, roteò il suo bastone appuntandolo sopra un cagnolino sul davanzale di una finestra, dicendomi: non vede? Per me è come se mi dicesse che non vede quel cagnolino! (F. Conforto, 1947)

3 I Geometri Algebrici Italiani e i Problemi Didattici Paola Gario, 2004, Guido Castelnuovo e il problema della formazione dei docenti di matematica, Rend. del Circolo Mat. di Palermo. Supplemento, 74, Livia Giacardi, 2003a, L. Cremona, G. Vailati, C. Segre. Tre diversi approcci al problema dellinsegnamento della matematica fra 800 e 900, Atti del XXIII Congresso UMI-CIIM, Livia Giacardi, 2006, Da Casati a Gentile. Momenti di storia dellinsegnamento secondario della matematica in Italia, Lumières Internationales

4 Marta Menghini, 2006, The role of Projective Geometry in Italian Education and Istitutions at the end of the 19 th century, Intern. J. for the Hist. of Mat. Education, Simonetta Di Sieno, 1998, Storia e Didattica, in Di Sieno-Guerraggio- Nastasi, La matematica italiana dopo lUnità, Marcos y Marcos,

5 Qualche Problema Distinguere tra intuizione del senso comune e intuizione scientifica Una questione molto antica

6 Il Menone di Platone Socrate: Ora egli pensa di sapere quale sia la lunghezza da cui risulterà unarea di otto piedi: non credi? – Menone: Sì – Socrate: E dunque lo sa? – Menone: Certamente no – Socrate: Lo suppone da lato che è il doppio dellaltro? – Menone: Sì

7 Lo scopo di Socrate Rovesciare unidea intuitiva (ma errata), per costruire unintuizione nuova, più vera. Socrate non affronta una dimostrazione formale. Non vuole sostituire allintuizione un ragionamento logico. Egli vuole passare dallintuizione del senso comune a una intuizione nuova, più vera delle relazioni tra lato e area del quadrato.

8 Non vedi? E come quel cagnolino Socrate: Quante sono allinterno di questa superficie queste metà? Schiavo: Quattro Socrate: E quante in questaltra? Schiavo: Due Socrate: Quattro cosè di due? Schiavo: Il Doppio

9 Una Dimostrazione Formale

10 Prerequisiti Teorema di Pitagora; Area del Quadrato O no?

11 Il punto di vista di Fishbein the mathematics education should not aim at eliminating intuitions but rather to develop new … intuitive interpretations that are consistent with the formal structures of logical reasoning Insegnamento Trasmissivo o Attivo? Entrambi!

12 Intuizione, Rigore e esperimenti mentali Rinserratevi con qualche amico nella maggior stanza che sia sotto coperta di qualche gran navilio, e quivi fate daver mosche, farfalle e simili animaletti volanti i pesci nella lor acqua non con più fatica noteranno verso la precedente che verso la sussequente parte del vaso, ma con pari agevolezza verranno al cibo posto su qualsivoglia luogo dell'orlo del vaso; (Galileo)

13 Qualche analogia There is a deep contradiction between many of the formal definitions, theorems and logical proofs and our intuitions, which are built on our real life experiences and are naturally adapted to finite objects (Tirosh & Tsamir) Ciò è vero non solo per il concetto di infinito, ma anche per unidea apparentemente molto più intuitiva (?) come quella di moto

14 Ancora sugli stessi concetti the persistent nature of the primary intuitions, are still apparent with gains of formal knowledge (Fishbein) La definizione formale non è ancora divenuta unimmagine mentale, non ha ancora raggiunto lo status di intuizione. Si deve parlare la matematica correttamente prima di studiarne la struttura formale. Ciò richiede tempo. Students should perform mathematics and dance mathematics (Henle)

15 Questioni Epistemologiche vs. Didattiche La critica dei principi della geometria gioca un importante ruolo in quel processo di costruzione ed elaborazione dei concetti che costituisce lo sviluppo della scienza nei suoi rami più elevati. In particolare, il ruolo dellanalisi logica in questo processo è quello di distinguere gli atti della intuizione e di aiutare successive astrazioni; così si spinge lo sviluppo della intuizione geometrica, il che da luogo a spazi intuitivi superiori, di vario interesse (Enriques)

16 Nature and natures laws were hid in night/ God said Let Newton be and all was light (Pope). La idee matematichea (e più in genere quelle scientifiche) non fanno parte delle nozioni del senso comune: esse possono divenire intuitive, ma solo attraverso un percorso guidato; e un linguaggio rigoroso, formale, diviene gradualmente uno strumento fondamentale a tal fine.

17 Alcuni esempi storici Non lo vedi? E facile costruire una striscia di Moebius, ma solo dopo aver conquistato questa nuova intuizione delle relazioni spaziali noi possiamo riconsiderare la nostra vecchia idea intuitiva di superficie e costruire una immagine mentale e il macchinario formale necessario per afferrare il concetto di superficie a una faccia

18 How much better it will be when the logical weft remains discretely hidden under a fabric of practical and common-sense observations. But all this must be done with absolute propriety in language and integrity of thought; absolute, not ostentatious; and in a way such that what one takes from ones intuition and what one wants to deduce are quite distinguishable, for those who have the ability for it. In short, one teaches how to reason by reasoning well; not by dissecting the reasoning. One can only provide an anatomy of reasoning when one knows well how to reason. (Severi)

19 Un caso, la storia della geometria a più dimensioni Intuizione Geometrica Formalismo Algebrico Concevons maintenant que le nombre des variables … devienne supérieur à trois. Alors chaque système de valeurs de x, y, z, … déterminera ce que nous appellerons un point analytique. … La considération des lieux analytiques est éminemment propre à guider le calculateur au milieu des difficultés que je viens de signaler. (Cauchy)

20 Formalismo Algebico Nuova Intuizione Geometrica The science presents itself in two ways: as a legitimate extension of the ordinary two and three dimensional geometry and as a need in these geometries and in analysis generally. To use such a representation we require the geometry of such space (Cayley) Mais pourquoi ne pas conserver le langage analytique et le remplacer par un langage géométrique? … Cest ensuite que lanalogie avec la géométrie ordinaire peut créer des associations didées fécondes et suggérer des généralisations utiles (Poincaré)

21 La matematica come immaginazione Immaginate esseri bidimensionali, dotati di capacità razionali, che vivono e si muovono sulla superficie di un corpo curvo. Supponiamo che non possano percepire nulla al di fuori di questa superficie Immaginate un grande foglio di carta su cui rette, triangoli, quadrati e altre figure si muovono liberamente sulla superficie ma senza potersi sollevare o sprofondare.

22 Gauss Le coordinate intrinseche (Disquisitiones generales circa lineas curvas, 1827) Parametrizzazione delle superfici (Eulero)

23 Casorati Voi domanderete come mai la curvatura gaussiana sia il solo carattere che distingue, secondo Riemann, una superficie dallaltra, mentre vi hanno superficie per noi diverse, come in particolare le piane e le cilindriche, dotate della medesima curvatura? La risposta è facile e importante.

24 In questa teoria una superficie si considera in sé stessa esclusivamente, nei suoi rapporti metrici interni, senza riferimento a veruna cosa posta fuori della medesima, si pensa come uno spazio di due dimensioni esistente di per sé, costituente da solo per così dire lintero mondo; e non già come una superficie che esista in relazione con altre superficie e linee e punti fuori di essa e coesistenti in uno spazio p. e. di tre dimensioni.

25 Acquisire una nuova intuizione dans cette méthode [i. e. Gauss theory of surfaces], les rapports de la surface et de lespace environnant échappent entièrement: la surface est considérée en elle-même, telle quelle le serait par un être qui neut pas le sens de la troisième dimension (Beltrami)

26 Helmholtz, 1870 Über Ursprung und Bedeutung der geometrischen Axiome In uno specchio convesso ben lavorato … limmagine speculare di un oggetto appare corporea e situata in un punto ben determinato dietro la sua superficie. … Le immagini sono tanto più impicciolite e appiattite quanto più lontani dallo specchio sono i loro oggetti. … Tuttavia nellimmagine ogni linea retta del mondo esterno viene rappresentata con una linea retta …

27 In breve, non vedo come gli uomini nello specchio potrebbero scoprire che i loro corpi non sono corpi rigidi e le loro esperienze buoni esempi di correttezza degli assiomi di Euclide. Se gli uomini dei due mondi potessero conversare gli uni con gli altri nessuno dei due potrebbe convincere laltro di avere con lui le vere relazioni e laltro quelle errate; anzi non vedo come un tale problema possa avere senso …

28 La rappresentazione di Beltrami dello spazio pseudosferico in una sfera dello spazio euclideo è di genere del tutto simile … Se si immagina che nella sfera si muovano corpi che quando si allontanano dal centro si contraggono in maniera simile alle immagini nello specchio convesso degli osservatori i cui corpi fossero sottoposti con regolarità a questo cambiamento otterrebbero gli stessi risultati che se essi stessi vivessero nello spazio pseudosferico.

29 13 novembre 1873: Casorati Imaginiamo (con Gauss, Helmholtz, e Beltrami), poiché logicamente il possiamo, degli esseri intelligenti i quali vivano, si muovano in una superficie, abbiano, direi, un corpo di due dimensioni e percepiscano soltanto cose che si trovano nella superficie e siano insomma affatto insensibili a tutto ciò che possa esservi fuori della medesima.

30 Poiché si vengono a trovare così possibili nel pensiero

31 1875? Clifford In uno spazio a due dimensioni perfettamente piano … se supponiamo in quello spazio si trovi una sogliola od altro pesce piatto, infinitamente schiacciato …

32 And its didactical consequences I recommended to my hearers to procure Flatland … in order to obtain a general notion of the doctrine of space of n dimensions. Per Sylvester lapparato formale non è sufficiente per comprendere realmente gli iperspazi. Egli deve anche stimolare la fantasia and la immaginazione degli studenti.

33 Le funzioni periodiche : f(z+kz 0 ) = f(z)

34 Le funzioni ellittiche f(z+z0+z1) = f(z)

35 La periodicità nelle funzioni automorfe f(A(z)) = f(z)

36 Nellistante in cui posi il piede sul gradino mi venne lidea, senza che niente nei miei pensieri precedenti mi avessero preparato a ciò, che le trasformazioni che avevo usato per definire le funzioni fuchsiane erano identiche con quelle della geometria non euclidea.

37 La periodicità rivelata

38 Poincaré: Scienza e Ipotesi Supponiamo un mondo rinchiuso in una grande sfera e sottomesso alle seguenti leggi: la temperatura non è uniforme; essa è massima al centro, diminuisce nella misura in cui ci se ne allontana, per ridursi allo zero assoluto quando si raggiunge la sfera in cui questo mondo è chiuso Così, individui come noi, la cui educazione si realizzasse in un mondo simile, non avrebbero la stessa nostra geometria

39 Guido Castelnuovo Per far rilevare come avvenga il passaggio dalla realtà allo schema simbolico, conviene ricorrere allesperienza e allintuizione... molto più spesso di quello che oggi si faccia.... Si ha un bel dire che lintuizione può condurre allerrore; sarà; ma lintuizione fornisce pure la principale, se non lunica, guida alla scoperta della verità. Dovremo forse rinunziare alla verità per paura dellerrore?

40 Stendhal: il punto allinfinito Allinizio del trattato di geometria si trova scritto: si dicono parallele due rette che, prolungate allinfinito, non si incontrano mai. E, allinizio della Statique, quellinsigne bestione di Louis Monge ha scritto allincirca così: Due rette parallele possono essere considerate incrociantesi, se le si prolunga allinfinito.

41 Ebbi limpressione di leggere un catechismo, e oltre tutto dei più scalcinati. Chiesi inutilmente spiegazioni a M. Chabert. Figliolo, disse assumendo quellaria paterna … figliolo lo capirete più avanti.

42 E il mostro, avvicinandosi al pannello di tela cerata e tracciando due linee parallele molto vicine, mi disse: Vedete bene che si può dire che esse si incontrano allinfinito. Rischiai di lasciar perdere tutto

43 Stendhal incontra la matematica Il mio entusiasmo per la matematica aveva origine forse dal mio orrore per lipocrisia. Alla terza o quarta lezione passammo alle equazioni di terzo grado e a quel punto Gros ci disse cose completamente nuove. Mi sembra che ci abbia trasportato di colpo alle porte della scienza o davanti al velo che bisognava sollevare.

44 Provavo un piacere intenso, analogo a quello della lettura di un romanzo appassionante. Ero allora come un grande fiume che va a gettarsi in una cascata, come il Reno sopra Sciaffusa dove il suo corso è ancora tranquillo ma sta per gettarsi in unimmensa cascata. La mia cascata fu lamore per la matematica.

45 Il punto allinfinito Lidea di punto allinfinito non può venire prima dellidea di prospettiva, ma questa idea può portare larte della pittura a nuova perfezione Sempre la pratica deve essere edificata sopra la bona teorica della quale la Prospettiva è guida e porta, e sanza di questa niente si fa bene ne casi di pittura

46 one teaches how to reason by reasoning well; not by dissecting the reasoning. One can only provide an anatomy of reasoning when he knows well how to reason. Si può giungere a una anatomia dei metodi didattici quando si sa bene come insegnare. Anche nel lavoro pedagogico la nostra intuizione delle relazioni umane gioca un ruolo importante. La ricerca didattica deve aiutare a spostarsi dalle intuizioni primarie a quelle secondarie e non dovrebbe mirare a eliminare le intuizioni ma deve preservarne il ruolo. Altrimenti la dissezione delle questioni metodologiche potrebbe interferire con le relazioni umane tra insegnante e studente, ostacolando i loro sforzi di trasmettere la conoscenza e la cultura matematica alle nuove generazioni.


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