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Strategie didattiche: lo studente da oggetto del processo di insegnamento a soggetto dellapprendimento Carlo Marchini Parma 22 novembre 2010 28 marzo 2011.

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1 Strategie didattiche: lo studente da oggetto del processo di insegnamento a soggetto dellapprendimento Carlo Marchini Parma 22 novembre marzo 2011

2 Alba o tramonto? Gli interventi di Pesci e Bruno Longo che mi hanno preceduto hanno avuto entrambi per obiettivo lallievo e possibili strategie per favorirne lapprendimento. A mio parere (e non solo mio) apprendere è una scelta personale, che può esser compiuta solo dal discente. Linsegnante può, attraverso la trasposizione didattica, proporre una sua scala di valori, che può esser influenzata dalla struttura scolastica, ma condividerla è una scelta dellallievo.

3 Alba o tramonto? Linsegnante ha un compito gravoso: presentare la materia specifica in modo che essa venga riconosciuta importante in sé e per le esigenze di chi apprende presentare anche tutta una serie di pratiche sociali che sono implicite e costituiscono la parte educativa dellinsegnamento.

4 Alba o tramonto? Se il punto di vista appena espresso viene accettato, diviene subito evidente che la didattica che in modo grossolano si può dire trasmissiva è destinata al tramonto, perché lascia poca libertà al soggetto in apprendimento. Con trasmissiva intendo una didattica fondata sullidea che il sapere sia prerogativa esclusiva dellinsegnante.

5 Alba o tramonto? Lesposizione di Angela Pesci ha messo in luce i possibili vantaggi di una struttura cooperativa ideata per responsabilizzare in ogni istante lo studente, che agisce con notevole libertà, in un gioco di coordinamento. Nella didattica tradizionale queste attività sono tutte demandate al singolo che è però pensato come un esecutore addestrato.

6 Alba o tramonto? Si è quindi proposta unazione esterna a surrogare/integrare quella interna del soggetto con lo scopo anche di fare apprendere il valore del lavoro di team, un obiettivo trans-disciplinare socialmente importante.

7 Alba o tramonto? Nellintervento di Paola Bruno Longo, si è messo in luce che lapprendimento è sempre, come dicono Bachelard e Brousseau, un apprendimento contro, in cui le conoscenze pregresse, per il soggetto possono (ed è bene che lo facciano) essere di ostacolo al raggiungimento di un livello maggiore di consapevolezza. Il ruolo della partecipazione sociale è determinante per la riuscita del progetto.

8 Alba o tramonto? Possiamo dire che entrambi gli interventi si coordinino e si integrino per offrire un panorama accattivante di quella che potrebbe essere lalba di una nuova didattica.

9 Il problema delloggetto La mia presentazione si pone in una ottica di continuità con quanto visto negli incontri precedenti, ma sposta lattenzione su loggetto di insegnamento, invece di limitarsi allesempio episodico. La scelta dellargomento deve essere tale da coinvolgere lo studente e fargli apprezzare il grado di libertà che il tema gli permette, per realizzare il proprio percorso.

10 Il problema delloggetto Per fare questa scelta mi baso sui seguenti fattori: –I programmi (o le indicazioni) –La ricerca in Didattica della Matematica –Lesperienza personale di ricerca.

11 Le indicazioni Obiettivi di apprendimento della scuola primaria : stime –Dare stime per il risultato di un operazione. situazioni quotidiane –Utilizzare i numeri decimali, frazioni e percentuali per descrivere situazioni quotidiane

12 Le indicazioni Obiettivi di apprendimento della scuola primaria : –Rappresentare i numeri conosciuti sulla retta ricavare informazioni formulare giudiziprendere decisioni –Rappresentare relazioni e dati e, in situazioni significative, utilizzare le rappresentazioni per ricavare informazioni, formulare giudizi e prendere decisioni.

13 Le indicazioni Obiettivi di apprendimento della scuola secondaria di primo grado : stime approssimative –Dare stime approssimative per il risultato di un operazione, anche per controllare la plausibilità di un calcolo già fatto. –Rappresentare i numeri conosciuti sulla retta.

14 Le indicazioni Obiettivi di apprendimento della scuola secondaria di primo grado: consapevoli –Utilizzare frazioni equivalenti e numeri decimali per denotare uno stesso numero razionale in diversi modi, essendo consapevoli di vantaggi e svantaggi che le diverse rappresentazioni danno a seconda degli obiettivi.

15 Le indicazioni Obiettivi di apprendimento della scuola secondaria di primo grado: situazioni concrete –Conoscere il teorema di Pitagora e le sue applicazioni in matematica e in situazioni concrete. –Stimare –Stimare per difetto e per eccesso larea di una figura delimitata da linee curve. π approssimarlo –Conoscere il numero π, ad esempio come area del cerchio di raggio 1, e alcuni modi per approssimarlo

16 Le indicazioni Obiettivi di apprendimento della scuola secondaria di primo grado: –Rappresentare –Rappresentare insiemi di dati. confrontare prendere decisioni –In situazioni significative, confrontare dati al fine di prendere decisioni.

17 Le indicazioni In conclusione, le indicazioni del 2007, presentano lallievo come di colui che in proprio sceglie –cosa rappresentare, –come rappresentare, –quando rappresentare, –a che scopo rappresentare, divenendo agente del suo apprendimento

18 La ricerca in Didattica della Matematica apprendimentoLultima parola della diapositiva precedente era apprendimento. Con essa mi riallaccio alla presentazione di Bruno DAmore nella prima conferenza. comprensioneVoglio aggiungere unaltra parola importante comprensione perché difficilmente ci può essere apprendimento senza di essa.

19 La ricerca in Didattica della Matematica Scrive dAmore: noetica Lapprendimento della matematica non comprende solo la costruzione di concetti (noetica), ma consta di almeno 5 tipologie di apprendimenti distinti, anche se non del tutto privi di sovrapposizioni:

20 La ricerca in Didattica della Matematica Scrive dAmore: –apprendimento concettuale (noetica) –apprendimento algoritmico (calcolare, operare,…). –apprendimento di strategie (risolvere, congetturare,…) –apprendimento comunicativo (argomentare, dimostrare,…) –apprendimento e gestione delle trasformazioni semiotiche

21 La ricerca in Didattica della Matematica Scrive dAmore: apprendere un concetto matematico, apprendere a fare uso di un algoritmo, a comportarsi in modo strategico, a comunicare matematica,… sono tutti atteggiamenti nei quali si costruisce un oggetto matematico.

22 La ricerca in Didattica della Matematica Apprendere senza capire può essere il frutto di un addestramento, non è lesito sperato di una attività didattica. Capire, e i suoi sinonimi, intendere, afferrare, penetrare, assimilare, conoscere, concepire, comprendere hanno radici latine che esprimono verbi di moto o di azione. Da questi derivano parole come intendimento, penetrazione, assimilazione, conoscenza, concezione, comprensione che si possono utilizzare come sinonimi.

23 La ricerca in Didattica della Matematica Kilpatrick (2009) fa una importante analisi della parola inglese understanding, confrontata con laltra parola comprehension che viene spesso usata come sinonimo. Osserva che understanding (ciò che sta sotto) è il risultato della comprehension, il risultato cui mira lazione. Passa poi in rassegna le varie proposte di interpretazione e giunge alla presentazione di un modello dello understanding sulla base di ricerche condotte in vari paesi nel mondo, finalizzato alla presentazione negli U.S.A. di un rapporto (2001) dal titolo: Per aiutare i bambini ad imparare la matematica

24 La ricerca in Didattica della Matematica Il risultato dello studio è che il successo nellapprendimento della matematica è lopera congiunta di 5 componenti (il modello della treccia a cinque capi) attivi nel soggetto –Conceptual Understanding –Procedural Fluency –Strategic Competence –Adaptive Reasoning –Productive Disposition

25 La ricerca in Didattica della Matematica Il modello adottato a Singapore (Dindyal, 2005) si è sviluppato indipendentemente. Descrive lapprendimento della matematica con uno schema pentagonale che ha lo scopo di individuare gli aspetti: –Contenuti –Processi –Aspetti affettivi che si ritengono indispensabili nellinsegnamento/apprendimento.

26 Attitudini Metacognizione Processi Concetti Abili/capacità Problem solving in Matematica Monitoraggio del proprio ragionamento Apprezzamento Interesse Confidenza Perseveranza Abili/capacità di ragionamento Euristica Numerici, geometrici, algebrici, statistici Stima e approsimazione Comunicazione Uso di strumenti matematici manipolazione aritmetica, manipolazione algebrica Trattamento dati

27 Calcolo esatto contro calcolo approssimato (Kahane, 2002) «Nella cultura, questi due tipi di calcolo sono sovente presentati in opposizione, dove il calcolo approssimato appare come quello al quale il matematico si rivolge quando il calcolo esatto diventa insostenibile. La realtà è ben più complessa, benché vi sia in questa visione una parte di verità. Nella risoluzione di numerosi problemi nei quali sono utilizzati dei calcoli, la ricerca di soluzioni esatte non è né pertinente, né utile. Inoltre, anche quando il calcolo esatto è possibile, non è necessariamente facilmente utilizzabile. Linsegnamento non sfugge a tale visione culturale e, tradizionalmente, la parte accordata al calcolo approssimato è ridotta. I rapporti tra calcolo esatto e calcolo approssimato non sono visti nella loro complementarietà, ma in una opposizione gerarchica di valori, essendo il calcolo esatto quello nobile.»

28 Calcolo esatto contro calcolo approssimato (Girnat, 2011) «Mrs. D. - The beauty of mathematics is the fact that everything is logical and dignified. […] Everywhere else, there are approximations, but not in mathematics. There is everything in this status it has ideally to be in. [It is important for the students] to recognise that there are ideal things and objects in mathematics and that, in reality, they are similar, but not equal…» «Insegnante D. – La bellezza della matematica consiste nel fatto che ogni cosa è logica e nobilitata. […] In ogni altra disciplina, ci sono le approssimazioni, ma non in matematica. Tutto è in questa condizione e ciò deve idealmente esserci. [È importante per gli studenti] riconoscere che ci sono cose ideali e oggetti in matematica e che, nella realtà, essi sono simili, ma non uguali…»

29 Lesperienza personale di ricerca Ho svolto questa ricerca come membro di un Gruppo di ricerca, zeroallazero, nella formazione Maria Felicia AndrianiClara Bisso Silvia Dallanoce Rossana Falcade Serafina FogliaSilvano Gregori Lucia GrugnettiAchille Maffini Carlo MarchiniMichele Rapuano Angela Rizza Angela Speroni Vincenza Vannucci

30 Lesperienza personale di ricerca I membri del Gruppo coprono il segmento scolastico a partire dalla Scuola Primaria fino allUniversità, comprendendo scuole secondarie di II grado di diversi indirizzi. I risultati della ricerca sono apparsi su varie riviste italiane e straniere e si sono anche concretizzati in tre testi dedicati agli insegnanti

31 Lesperienza personale di ricerca I testi forniscono esempi di attività svolte in classe con analisi a priori e a posteriori e offrono, sulla base dellesperienza maturata, suggerimenti didattici ed approfondimenti culturali e contenutistici. In quanto segue, svolgo il ruolo di portavoce del Gruppo zeroallazero.

32 Approssimazione, perché? Il tema connette Matematica Fondamentale per lAnalisi matematica Numeri reali Limite Mondo esterno Fondamentale per i problemi di misura Applicazioni Mondo interiore Importante per favorire un approccio metacognitivo

33 Approssimazione, quando? scuola dellobbligoRiteniamo che la matematica «elementare» sia ricchissima di occasioni per familiarizzare gradualmente con il concetto di limite e che la scuola dellobbligo possa svolgere un ruolo fondamentale nello sviluppo di immagini mentali favorevoli al suo apprendimento. approssimazionemisura successioniI temi che ci sembrano più ricchi di spunti, anche per il loro carattere verticale che consente di riprenderli più volte e da diversi punti di vista nei vari livelli scolastici, sono quelli dellapprossimazione, della misura e delle successioni

34 Approssimazione, come? Misurare aree e lunghezze I problemi legati alla misura (di lunghezze, di aree, di volumi) sono presenti nei programmi in tutti i livelli scolastici. Solitamente però, con qualche eccezione nella scuola primaria, essi si riducono al calcolo di perimetri, di aree o di volumi di figure particolari (poligoni, cerchio, poliedri, solidi di rotazione) attraverso formule specifiche.

35 Approssimazione, come? Misurare aree e lunghezze Questa impostazione alimenta negli allievi la convinzione che «ogni problema matematico si risolva con una formula o un algoritmo particolare» e che non sia del tutto lecito, in matematica, utilizzare metodi di approssimazione

36 Larea di un laghetto (Oltre ogni limite…percorsi didattici per insegnanti spericolati, 2005) Immagina di vedere dallalto un laghetto di montagna e di disegnarlo ottenendo la figura qui a fianco Larea della figura grigia si può misurare? Se sì, come? Se no, perché?

37 Obiettivi di Larea di un laghetto Collegare lesistenza della misura dellarea alla forma della figura più che allesistenza di formule per calcolarla; attivare la ricerca di strategie di misura che non si possono basare sullapplicazione di formule; destabilizzare la certezza di poter sempre determinare esattamente il risultato di un problema; assumere la consapevolezza che il risultato ottenuto è necessariamente approssimato;

38 Obiettivi di Larea di un laghetto capire che è possibile scegliere fra più metodi di approssimazione o applicare uno stesso metodo con successivi raffinamenti, rendendosi conto di ottenere risultati con diversi gradi di precisione; intuire che, per esempio attraverso quadrettature sempre più fini, ci si può -almeno teoricamente- avvicinare sempre di più al valore esatto della misura dellarea. Lattività può essere proposta individualmente o in piccoli gruppi. Gli allievi devono disporre di strumenti da disegno (carta, matita, riga o squadra).

39 Risultati di Larea di un laghetto Lattività è stata proposta in classi con allievi dai 9 ai 16 anni, mostriamone alcuni esiti Domanda 1 Larea della figura grigia si può misurare? ClasseEtàn. AllieviSìNoNon risponde 4 P9190%100%0% 3 SI13229%82%9% 1 SII142259%41%0% 3 SII161267%17%

40 Risultati di Larea di un laghetto Le motivazioni del no alla prima domanda Secondo gli allievi non si può misurare larea perché: N1 la figura è curva, è irregolare, non è regolare… (argomentazione esclusivamente qualitativa) N2la figura non ha lati che si possano misurare… (argomentazione con introduzione di aspetti quantitativi) N3la figura non è un poligono, non è un cerchio… (impossibilità di ricondursi a figure note) N4non ci sono formule per calcolare larea… (mancanza di formule specifiche) N5altro (nessuna motivazione o risposte di altra natura)

41 Risultati di Larea di un laghetto Domanda 2 Se sì, come? Se no, perché? Tipologie di risposte negative N1: a causa dellimpossibilità di riferirsi a figure note (descrizione qualitativa/quantitativa) N2: a causa dellimpossibilità di riferirsi a formule note N3: altro (risposte non pertinenti)

42 Risultati di Larea di un laghetto Domanda 2 Se sì, come? Se no, perché? Classe N1N2N3 4 P 68%0%32% 3 SI 73%0%9% 1 SII 32%9%0% 3 SII 8%9%0% (N1) Anna [Larea non si può misurare perché la figura] ha delle onde; Martina: [Larea non si può misurare perché la figura] è curvosa.

43 Risultati di Larea di un laghetto Domanda 2 Se sì, come? Se no, perché? Tipologie di risposte positive Larea si può misurare ma … S1non so come, non ho gli strumenti necessari … S2non ci sono formule … Larea si può misurare col seguente metodo … S3trasformare la figura in un poligono con la stessa area … S4decomporre la figura in poligoni o quadrettarla … S5altre strategie

44 Risposte corrette, ma… Le risposte corrette fanno riferimento a decomposizioni in poligoni o a quadrettature. Tuttavia pochi allievi ammettono esplicitamente che il metodo seguito produce un risultato approssimato. E anche quelli che lo fanno, sembrano attribuire allapprossimazione una connotazione negativa, testimoniata dallutilizzo del termine approssimativo, al posto di approssimato.

45 Risposte corrette, ma… Leonardo (3 SII) : Forse sì. Tratteggiandola a maglia di ferro con dei quadratini piccoli forse di può avere unidea approssimativa. Lidea dinamica di iterazione e di avvicinamento sempre migliore non è presente in alcuna risposta. Christopher, (SI) propone un metodo «fisico»: Secondo me sì, ritagliando la figura e pesandola; dopo aver ottenuto il peso, la densità e in seguito il volume. E poi si deve calcolare larea.

46 E su scala internazionale? Dal progetto PISA (per allievi di 15 anni per misurare le conoscenze la capacità di riflettere le conoscenze le esperienze, nonché su la capacità di applicarle e questioni e situazioni del mondo reale) (OCSE, 2001). Stimate larea dellAntartide utilizzando la scala della cartina. Esplicitate il vostro lavoro e spiegate come avete fatto tale stima (Potete disegnare sulla cartina se ciò può esservi di aiuto).

47 Ad esempio, in Svizzera Il tasso di riuscita 21% (risposta corretta: area compresa tra 12'000'000 e 18'000'000 km 2 ) con una variazione da 11 a 28% a seconda dei cantoni. I metodi più utilizzati consistono nel calcolare larea di un rettangolo o addizionare larea di varie figure geometriche regolari. Solo pochissimi allievi hanno pensato a calcolare larea di un cerchio.

48 Accettare un risultato approssimato La macchia Che bella figura! Mario e Giovanna devono trovare l'area di questa figura: Mario propone di misurare la superficie con carta a quadretti del primo tipo: Giovanna con carta a quadretti del secondo tipo: E tu che cosa faresti? Hai altre proposte? Quanto misura secondo te la superficie della figura? Spiega come lhai trovata.

49 Obiettivi del problema La macchia Attivare la ricerca di strategie risolutive che non si possono basare sullapplicazione di formule; destabilizzare la certezza di poter sempre determinare esattamente il risultato di un problema; assumere la consapevolezza che il risultato ottenuto operativamente è necessariamente approssimato; capire che è possibile scegliere fra più metodi di approssimazione o applicare uno stesso metodo con successivi raffinamenti, rendendosi conto di ottenere risultati con diversi gradi di precisione.

50 Accettare un risultato approssimato Centrare il Bersaglio 1.Agli allievi viene consegnato un foglio A4, sul quale segnano il loro numero dordine nellelenco alfabetico. 2.Linsegnante, alla presenza degli studenti, segna sul proprio foglio un punto in una posizione a suo piacimento ed afferma (eventualmente prospettando un premio) che vince questo gioco chi, tra loro, saprà rappresentare sul proprio foglio un punto in una posizione identica alla sua.

51 Accettare un risultato approssimato Centrare il bersaglio 3.Gli allievi disegnano il loro punto e il docente su un foglio di carta velina (o forando il foglio in corrispondenza) rappresenta la nuvola di punti prodotti dai diversi allievi, numerandoli per poter riconoscere la posizione relativa a ciascuno di essi. 4.Nessuno (si spera!) vince. 5.Linsegnante dopo aver annunciato il risultato «negativo», invita gli studenti a stabilire nuove regole del gioco.

52 Accettare un risultato approssimato Centrare il Bersaglio Dallesperienza si è visto che gli allievi decidono una distanza al di sotto della quale considerare "più vincitori" alcuni punti rispetto ad altri. La scelta avviene «al buio» senza che gli allievi vedano quanto hanno prodotto. Si devolve, così, agli allievi la creazione di criteri di approssimazione, per avere una specie di graduatoria che nel disegno troverà la sua rappresentazione in differenti circonferenze concentriche (come nei veri bersagli).

53 Accettare un risultato approssimato Centrare il bersaglio 6.A questo punto linsegnante mostra chiaramente a ciascun allievo dove ha collocato il punto rispetto al bersaglio. 7.Utilizzando questa informazione gli studenti sono invitati a fare un secondo e poi un terzo tentativo; questo li porterà ad avvicinarsi maggiormente al bersaglio e indurrà (su eventuale invito dellinsegnante) la necessità di restringere ulteriormente il livello di accettabilità. 8.Discussione finale, e compito scritto (per casa): «Alla luce dellattività svolta, perché si può accettare un risultato non esatto? Quando?»

54 Obiettivi del problema Centrare il bersaglio Gli stessi del problema La macchia Attivare la ricerca di strategie risolutive che non si possono basare sullapplicazione di formule; destabilizzare la certezza di poter sempre determinare esattamente il risultato di un problema; assumere la consapevolezza che il risultato ottenuto operativamente è necessariamente approssimato; capire che è possibile scegliere fra più metodi di approssimazione o applicare uno stesso metodo con successivi raffinamenti, rendendosi conto di ottenere risultati con diversi gradi di precisione Ma in questo caso, grazie al contesto motivante, è possibile dare maggior peso al passaggio dalla ricerca di un risultato esatto a quella di un risultato accettabile, in base alla qualità dellapprossimazione operata

55 Risultati di Centrare il bersaglio Attività proposta in 7 classi (dalla 3 SI alla 4 SII). Due tipi di risposte: connotazione negativa e imprecisa attribuita allapprossimazione: Secondo me si può accettare un risultato non esatto perché come in questo caso nessuno è stato in grado di centrare il bersaglio, quindi ci si è dovuti accontentare (I liceo scientifico)

56 Risultati di Centrare il bersaglio Attività proposta in 7 classi (dalla 3 SI alla 4 SII). Due tipi di risposte: connotazione positiva: consapevolezza del fatto che si tratti, rispetto ai problemi più usuali che ammettono sempre un (unico) risultato, di un diverso modo di ragionare, comunque accettabile: Si può accettare perché, entro certi limiti, si può avere una tolleranza ovvero un margine che però può fare considerare lattività riuscita (I liceo scientifico).

57 Centrare il bersaglio dalla 3 P Nella mia esperienza lattività col bersaglio può essere proposta dalla classe terza, con altri scopi. Il gioco si svolge con una prima fase in cui si invitano a segnare con colori diversi i vertici del foglio, copiando da quanto fa linsegnante. Poi si disegna il punto a caso e gli allievi possono cercare di copiare il punto lasciando il loro foglio sul loro banco e venendo alla cattedra, ma usando eventuali strumenti. Al solito vince chi si avvicina di più. Gli allievi presentano in modo naturale un sistema di riferimento sul foglio con gli spigoli del foglio come assi. Si introduce anche lidea di perpendicolarità e distanza. Ovviamente se venisse sollevato il problema della approssimazione, è una buona occasione per parlarne.

58 Accettare un risultato approssimato Quadrettare un rettangolo 1.Preparare dei fogli bianchi di forma rettangolare di misura 18 x 12 centimetri, e 3 ceste contenenti tanti foglietti quadrati rispettivamente di lato 7 cm, di lato 5 cm e di lato 6 cm. I quadrati sono di colore diverso: verde quelli di lato 7 cm, blu quelli di lato 5 cm, rosso quelli di lato 6 cm. Tutte le misure devono restare ignote agli allievi. 2.Consegnare un foglio rettangolare ad ogni studente, chiedendo di non usare righelli o altri strumenti di misura. 3.Mostrare da lontano un foglietto di forma quadrata, scelto dalla prima cesta (quindi di lato 7 cm).

59 Accettare un risultato approssimato Quadrettare un rettangolo 1.Porre a ciascun allievo la seguente domanda: «Quanti quadrati vuoi per ricoprire al meglio il rettangolo? Tieni presente che vince chi si avvicina di più». 2.Annotare le richieste, le discussioni, le contestazioni, le osservazioni degli allievi che, da parte loro, devono scrivere quello che stanno facendo e quali sono le loro conclusioni. 3.Ripetere per il quadrato di lato 5 cm.

60 Obiettivi del problema Quadrettare un rettangolo Il lavoro pratico sulla quadrettatura di un rettangolo può mettere in luce questioni relative a: –lesistenza dellarea e la sua determinazione, eventualmente approssimata, –la dicotomia tra teoria e prassi: un problema concreto può spingerci a valutare in modo puramente teorico l'esistenza o meno della soluzione, indipendentemente dalla sua effettiva determinazione, ma non ci si può esimere dal cercarne e determinarne una soluzione attraverso un processo di misura.

61 Obiettivi del problema Quadrettare un rettangolo Destabilizzare lidea negativa del concetto di approssimazione, spesso molto diffusa e dare, invece, un senso positivo ad unapprossimazione migliorabile ad oltranza, Avvicinarsi allinfinito –in potenza, sulla possibilità di migliorare lapprossimazione –in atto che permette di arrivare al concetto di limite.

62 Altri problemi Spero che questi esempi possano convincere linsegnante sullimportanza cognitiva della approssimazione e sulle sue applicazioni in verticale. Spero anche di avere mostrato come nel caso della approssimazione lo studente non possa rimanere un semplice spettatore del teatro didattico, ma sia costretto ad entrare in scena come protagonista.

63 Altri problemi Numerosi altri problemi, accompagnati da inquadramento teorico, descrizione degli obiettivi, analisi a priori e a posteriori (in base alla sperimentazione) sono reperibili sui tre testi (finora pubblicati) del gruppo zeroallazero: Andriani M. F., Dallanoce S., Falcade R., Foglia S., Gregori S., Grugnetti L., Maffini, A., Marchini C., Rizza A., Vannucci V. (2005). Oltre ogni limite: percorsi didattici per insegnanti spericolati, Bologna: Pitagora Editrice. (Ed. in lingua francese, 2009, a cura del CREM, Belgio). Bisso C., Foglia S., Grugnetti L., Maffini A., Marchini C., Rapuano M., Rizza A., Vannucci V. (2009). Il sogno di Cirillo e la sfida della Tartaruga, Bologna: Pitagora Editrice. Bisso C., Grugnetti L., Maffini C., Marchini C., Rapuano M., Speroni A., Vannucci V. e ARMT. (2011) Alla ricerca del segmento perduto. Bologna: Pitagora Editrice

64 Per concludere, un pensiero di Achille Maffini Credo che sullidea del soggetto che fa scelte razionali si possa produttivamente lavorare, soprattutto nellambito della approssimazione. In questo caso lalunno diventa protagonista e responsabile delle proprie scelte, e questo dovrebbe favorire un maggior coinvolgimento. Secondo questa prospettiva, le problematiche legate allapprossimazioni diventerebbero non solo un modo per preparare la lunga strada verso il concetto di limite, ma anche un approccio metacognitivo al coinvolgimento responsabile del soggetto nel suo processo di apprendimento, per indurre soprattutto la convinzione che questo processo è frutto delle scelte del singolo e non dellinsegnante (il quale invece si configura solo come colui che favorisce lacquisizione degli strumenti necessari a tale processo). La capacità di fare scelte responsabili (nel caso specifico il grado di approssimazione di una misura) diventa quindi capacità di gestione di una informazione significativa, base sostanziale di qualunque conoscenza.


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