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Infe 04 - 1 / 70 Lezione 6 Inferenza statistica. Infe 04 - 2 / 70 parte 3 Esercizi sulla stima della media e della varianza.

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1 Infe / 70 Lezione 6 Inferenza statistica

2 Infe / 70 parte 3 Esercizi sulla stima della media e della varianza

3 Infe / 70 Strumenti di misura e strumenti di inferenza

4 Infe / 70 come tutti gli strumenti di misura, anche gli stimatori sono imperfetti e la loro stima del parametro presenta unincertezza che deve essere quantificata. estraendo da una popolazione per cui è definita la variabile casuale X avente densità f ( x ) qualsiasi con media e varianza 2 un campione di n elementi a cui corrisponde linsieme di variabili casuali { X 1, X 2, …, X n } si possono usare la media campionaria e la varianza campionaria corretta per stimare i valori dei parametri e 2 relativi allintera popolazione. incertezza dello stimatore campionario

5 Infe / 70 La probabilità dellevento: è uguale alla confidenza con cui posso affermare: incertezza dello stimatore media campionaria

6 Infe / 70 La probabilità dellevento: è uguale alla confidenza con cui posso affermare: incertezza dello stimatore varianza campionaria corretta

7 Infe / 70 incertezza degli stimatori campionari La determinazione dellincertezza degli stimatori campionari si conduce tramite lo studio della distribuzione di probabilità della variabile casuale costituita dallo stimatore.

8 Infe / 70 Riassunto stimatori campionari varianza campionaria corretta: se si estrae da una popolazione su cui è definita la variabile casuale X avente distribuzione normale un campione di n elementi con immagini { X 1, X 2, …, X n } (con n > 1), allora la variabile casuale 2 : segue una distribuzione di tipo chi-quadro con n -1 gdl.

9 Infe / 70 f ( ² ) ² La variabile 2

10 Infe / 70 Riassunto stimatori campionari varianza campionaria corretta: se si estrae da una popolazione su cui è definita la variabile casuale X avente distribuzione normale un campione di n elementi con immagini { X 1, X 2, …, X n } (con n > 1), allora la variabile casuale C 2 : segue una distribuzione di tipo modificata di chi-quadro con n -1 gradi di libertà.

11 Infe / 70 La variabile C 2 f ( C ² ) C ²C ²

12 Infe / 70 Chiediamoci ora: Qual è la probabilità che, estraendo a caso un campione di n elementi da una popolazione su cui è stata definita una variabile casuale X con distribuzione normale, il rapporto fra la varianza campionaria corretta e la varianza relativa allintera popolazione sia compreso nellintervallo ? Incertezza dello stimatore S n 2

13 Infe / 70 Incertezza dello stimatore S n 2

14 Infe / 70 Incertezza dello stimatore S n 2

15 Infe / 70 Estraendo a caso un campione di n elementi da una popolazione per cui è definita una variabile casuale X con distribuzione normale, media e varianza 2, cè una probabilità pari a: che il rapporto fra il valore ottenuto della varianza campionaria corretta e la varianza della X per lintera popolazione sia compreso nellintervallo Incertezza dello stimatore S n 2

16 Infe / 70 Incertezza dello stimatore S n 2

17 Infe / 70 Incertezza dello stimatore S n 2

18 Infe / 70 Incertezza dello stimatore S n 2

19 Infe / 70 Chiediamoci ora: Qual è la probabilità che, estraendo a caso un campione di n elementi da una popolazione su cui è stata definita una X con distribuzione normale, il rapporto fra la varianza campionaria corretta e la varianza relativa allintera popolazione sia compreso nellintervallo ? Incertezza dello stimatore S n 2

20 Infe / 70 Intervallo di confidenza per la varianza Per il nostro scopo, cioè per individuare lintervallo di confidenza della varianza, conviene sviluppare lespressione dellevento in modo diverso: si può scrivere nelle due forme equivalenti:

21 Infe / 70 si è quindi ricavato che è uguale a o, in modo equivalente, è uguale a: è quindi possibile fare la seguente affermazione: Intervallo di confidenza per la varianza campionaria corretta S n 2

22 Infe / 70 possiamo quindi sostenere che: estraendo a caso un campione di n elementi da una popolazione per cui è definita una variabile casuale X con distribuzione normale, media e varianza 2, cè una probabilità 1 - pari a che lintervallo casuale contenga il valore della varianza 2 per lintera popolazione. I 1- è lintervallo di confidenza allo 1 - per la varianza Intervallo di confidenza a (1 – )

23 Infe / 70 se la X ha distribuzione normale la probabilità cercata corrisponde alla : Riassunto Qual è la probabilità che il rapporto fra i valori della varianza campionaria corretta S n 2 e della varianza 2 riferita allintera popolazione sia compreso nellintervallo [ 1 - v, 1 + v ] ? varianza campionaria corretta:

24 Infe / 70 Riassunto varianza campionaria corretta: Qual è la probabilità che il rapporto fra i valori della varianza campionaria corretta S n 2 e della varianza 2 riferita allintera popolazione sia compreso nellintervallo [ 1 - v, 1 + v ] ?

25 Infe / 70 Riassunto Qual è la probabilità che il rapporto fra i valori della varianza campionaria corretta S n 2 e della varianza 2 riferita allintera popolazione sia compreso nellintervallo [ 1 - v, 1 + v ] ? varianza campionaria corretta: corrisponde alla area della regione campita in verde:

26 Infe / 70 Riassunto Qual è quindi la probabilità che il valore della varianza 2 riferita allintera popolazione sia compreso nellintervallo varianza campionaria corretta: con le nostre tavole:

27 Infe / 70 Riassunto Qual è quindi la probabilità che il valore della varianza 2 riferita allintera popolazione sia compreso nellintervallo varianza campionaria corretta: con le nostre tavole:

28 Infe / 70 Intervallo di confidenza allo... ? per bassi valori di n la f (C 2 ) non è simmetrica pertanto non è agevole individuare il valore di v da cui si ottiene un intervallo simmetrico con una prestabilita confidenza 0,10 0,05 da cui = 0,15 pertanto 1 - = 0,85 e non 0,90 !!! –esempio: = 0,10 gdl = 10 C 2 0,05 = 0,394 da cui: v 0,6

29 Infe / 70 Intervallo di confidenza allo 0,90 per bassi valori di n la f (C 2 ) non è simmetrica: si preferisce pertanto definire un intervallo asimmetrico individuato dai due quantili e –esempio: = 0,10 gdl = 10 0,05

30 Infe / 70 Intervallo di confidenza Qual è lintervallo di confidenza della varianza per la intera popolazione corrispondente ai due quantili e corrispondenti alla confidenza scelta? corrisponde alla: varianza campionaria corretta:

31 Infe / 70 Intervallo di confidenza Qual è lintervallo di confidenza della varianza per la intera popolazione corrispondente ai due quantili e corrispondenti alla confidenza scelta? lintervallo cercato è: varianza campionaria corretta:

32 Infe / 70 possiamo sostenere che: estraendo a caso un campione da una popolazione su cui è definita una variabile casuale X con distribuzione normale, media e varianza 2, cè una probabilità pari a 1 - che lintervallo casuale in cui e sono rispettivamente i valori del quantile ( /2) e del quantile ( 1 - /2) di una variabile C 2 che segue la distribuzione modificata di chi-quadro con n -1 g.d.l contenga il valore della varianza 2. Intervallo di confidenza varianza

33 Infe / 70 Stima intervallo di confidenza con 2 varianza campionaria: avendo introdotto la distribuzione chi-quadro è stato possibile affermare che la variabile aleatoria 2 segue tale distribuzione con n - 1 g.d.l..

34 Infe / 70 Stima intervallo di confidenza con 2 varianza campionaria: se dispongo dei valori della 2

35 Infe / 70 Esercizio 1 stima per intervalli della varianza

36 Infe / 70 Esercizio 1 Supponiamo di avere una popolazione di induttori per la soppressione di rumori e su tale popolazione definiamo una variabile casuale X che assume, per ciascun induttore, valore uguale al valore della induttanza misurata in H alla frequenza di 1,0 MHz. Vogliamo individuare lintervallo di confidenza allo 0,95 per la varianza della X mediante luso di un campione composto da n = 26 induttori.

37 Infe / 70 Esercizio 1 Alla frequenza di 1,0 MHz la induttanza può essere misurata con luso di un ponte per radio frequenza

38 Infe / 70 Esercizio 1 e poi il valore dello stimatore varianza campionaria corretta nel nostro caso il campione di 26 induttori ci porta a: dai valori misurati determino prima il valore dello stimatore media campionaria

39 Infe / 70 Esercizio 1 Se la induttanza degli induttori presenta una variabilità provocata da molteplici cause legate al processo produttivo che agiscono indipendentemente le une dalle altre allora è plausibile assumere che la variabile X che è stata definita presenti una distribuzione di tipo normale. Se la variabile X ha una distribuzione di tipo normale con media e varianza 2 allora è possibile affermare che una nuova variabile casuale C 2 definita dal rapporto fra la varianza campionaria corretta e la varianza della popolazione 2 segue una distribuzione di tipo modificata di chi quadro

40 Infe / 70 Esercizio 1 il campione è composto da n= 26 elementi pertanto opero con 25 g.d.l. Dalle tabelle dei valori critici di C ² 25 trovo che i valori dei due quantili 0,025 e 0,975 sono rispettivamente: 0,52 e 1,62 Intervallo di confidenza allo 0,95

41 Infe / 70 Esercizio 2 stima per intervalli della varianza

42 Infe / 70 Esercizio 2 Un campione è costituito da 11 resistori estratti da una popolazione infinita con distribuzione normale. La misurazione della resistenza degli elementi del campione fornisce i seguenti valori, in k : 12,1 ; 12,2 ; 12,2 ; 12,2 ; 12,3 ; 12,3 ; 12,3 ; 12,4 ; 12,4 ; 12,4 ; 12,5 ; Viene definita una variabile casuale X che assume, per ciascun resistore della popolazione, valore uguale a quello della resistenza in k diminuito di 12. Si individui lintervallo di confidenza allo 0,95 per la varianza della X.

43 Infe / 70 Esercizio 2 e poi il valore dello stimatore varianza campionaria corretta dai valori misurati determino prima il valore dello stimatore media campionaria

44 Infe / 70 Se la variabile X ha una distribuzione di tipo normale con media e varianza 2 allora è possibile affermare che una nuova variabile casuale C 2 definita dal rapporto fra la varianza campionaria corretta e la varianza della popolazione 2 segue una distribuzione di tipo modificata di chi-quadro Esercizio 2 Se la resistenza dei resistori studiati presenta una variabilità provocata da molteplici cause legate al processo produttivo che agiscono indipendentemente le une dalle altre allora è plausibile assumere che la variabile X che è stata definita presenti una distribuzione di tipo normale.

45 Infe / 70 Esercizio 2 il campione è composto da n= 11 elementi quindi opero con 10 g.d.l. Dalla tabella, per C ² 10 trovo che i valori dei due quantili 0,025 e 0,975 sono rispettivamente: 0,325 e 2,05 Intervallo di confidenza allo 0,95

46 Infe / 70 Esercizio 3 stima per intervalli della varianza

47 Infe / 70 Esercizio 3 Un campione è costituito da 31 resistori estratti da una popolazione infinita con distribuzione normale. Viene definita una variabile casuale X che assume, per ciascun resistore della popolazione, valore uguale a quello della resistenza in k diminuito di 12. La misurazione della resistenza degli elementi del campione fornisce: Si individui lintervallo di confidenza allo 0,95 per la varianza della X usando sia la distribuzione modificata di chi-quadro sia la distribuzione chi-quadro.

48 Infe / 70 Se la variabile X ha una distribuzione di tipo normale con media e varianza 2 allora è possibile affermare che una nuova variabile casuale C 2 definita dal rapporto fra la varianza campionaria corretta e la varianza della popolazione 2 segue una distribuzione di tipo modificata di chi quadro Esercizio 3 Se la resistenza dei resistori studiati presenta una variabilità provocata da molteplici cause legate al processo produttivo che agiscono indipendentemente le une dalle altre allora è plausibile assumere che la variabile X che è stata definita presenti una distribuzione di tipo normale.

49 Infe / 70 Se la variabile X ha una distribuzione di tipo normale con media e varianza 2 allora è possibile affermare che una nuova variabile casuale 2 definita dal rapporto fra la varianza campionaria corretta e la varianza della popolazione 2 moltiplicato per n-1 segue una distribuzione di tipo chi quadro Esercizio 3 Se la resistenza dei resistori studiati presenta una variabilità provocata da molteplici cause legate al processo produttivo che agiscono indipendentemente le une dalle altre allora è plausibile assumere che la variabile X che è stata definita presenti una distribuzione di tipo normale.

50 Infe / 70 Esercizio 3 il campione è composto da n= 31 elementi quindi opero con 30 g.d.l. Intervallo di confidenza allo 0,95 dalla tabella dei valori critici di C ² 30 trovo che i valori dei due quantili 0,025 e 0,975 sono rispettivamente: 0,560 e 1,57

51 Infe / 70 Esercizio 3 il campione è composto da n= 31 elementi pertanto opero con una distribuzione chi-quadro a 30 g.d.l. Dalle tabelle della f. cumulativa di ² 30 trovo che i valori dei due quantili 0,025 e 0,975 sono rispettivamente: 16,791 e 46,979 Intervallo di confidenza allo 0,95

52 Infe / 70 Esercizio 4 stima per intervalli della varianza

53 Infe / 70 Esercizio 4 Si è definita su di una popolazione di sfere da cuscinetto una variabile casuale avente, per ciascuna sfera prodotta, valore uguale al valore del diametro misurato in centimetri. Un campione casuale costituito da 41 sfere mostra un valore della media campionaria di 0,824 e della deviazione standard campionaria corretta di 0,042. Determinare lintervallo di confidenza al 99% per la varianza della variabile casuale relativa allintera popolazione.

54 Infe / 70 Se la variabile X ha una distribuzione di tipo normale con media e varianza 2 allora è possibile affermare che una nuova variabile casuale C 2 definita dal rapporto fra la varianza campionaria corretta e la varianza della popolazione 2 segue una distribuzione di tipo modificata di chi quadro Esercizio 4 Anche in questo esercizio dovremo assumere che la variabilità del diametro della sfere sia provocata da molteplici cause legate al processo produttivo che agiscono indipendentemente le une dalle altre allora. Con questa premessa è plausibile assumere che la variabile X che è stata definita presenti una distribuzione di tipo normale.

55 Infe / 70 Esercizio 4 il campione è composto da n= 41 elementi pertanto opero con la tabella dei valori critici della C ² per 40 g.d.l. Intervallo di confidenza allo 0,99 dalla tabella trovo che i valori dei due quantili 0,005 e 0,995 sono rispettivamente: 0,518 e 1,67

56 Infe / 70 Esercizio 4 il campione è composto da n= 41 elementi pertanto opero con una distribuzione chi-quadro a 40 g.d.l. Dalle tabelle della f. cumulativa di ² 40 trovo che i valori dei due quantili 0,005 e 0,995 sono rispettivamente: 20,707 e 66,766 Intervallo di confidenza allo 0,99

57 Infe / 70 Esercizio 5 stima per intervalli della varianza

58 Infe / 70 Ricalcolare lintervallo di confidenza dellesercizio precedente nellipotesi che il campione sia costituito da 21 sfere. Un campione casuale costituito da 21 sfere mostra un valore della media campionaria di 0,824 e della deviazione standard campionaria corretta di 0,042. Determinare lintervallo di confidenza al 99% per la varianza della variabile casuale relativa allintera popolazione. Esercizio 5

59 Infe / 70 Esercizio 5 il campione è composto da n= 21 elementi pertanto opero con 20 g.d.l. dalla tabella della f. cumulativa di ² 20 trovo che i valori dei due quantili 0,005 e 0,995 sono rispettivamente: 7,434 e 39,997

60 Infe / 70 Esercizio 5 il campione è composto da n= 21 elementi pertanto opero con 20 g.d.l. dalla tabella della f. cumulativa di ² 20 trovo che i valori dei due quantili 0,005 e 0,995 sono rispettivamente: 7,434 e 39,997 Intervallo di confidenza allo 0,99

61 Infe / 70 Esercizio 5 il campione è composto da n= 21 elementi pertanto uso la funzione C ² con 20 g.d.l. Dalle tabelle di C ² 20 trovo che i valori dei due quantili 0,005 e 0,995 sono rispettivamente: 0,372 e 2,00

62 Infe / 70 Esercizio 5 il campione è composto da n= 21 elementi pertanto uso la funzione C ² con 20 g.d.l. Intervallo di confidenza allo 0,99 Dalle tabelle di C ² 20 trovo che i valori dei due quantili 0,005 e 0,995 sono rispettivamente: 0,372 e 2,00

63 Infe / 70 Esercizio 6 stima per intervalli della varianza

64 Infe / 70 Problema 1. Il propulsore Mod. WEC viene prodotto da ACME Inc. mediante un processo automatizzato: dati storici confermano che la lavorazione di ogni elemento prodotto richiede tipicamente 1 ora e 40 minuti (1h 40min 00s): questo valore viene assunto come valore tipico per l'intera popolazione. Un esperto di organizzazione aziendale suggerisce alla dirigenza di ACME la introduzione di una nuova macchina affermando che tale azione può ridurre in modo significativo il tempo di lavorazione necessario per realizzare il propulsore WEC. A causa dei costi di esercizio della nuova macchina la dirigenza di ACME valuta che la sua introduzione risulta economicamente conveniente solamente nel caso in cui il tempo di lavorazione necessario per realizzare il propulsore WEC si riduca fino ad assumere un valore tipico per l'intera popolazione minore di 1 ora e 32 minuti (1h 32min 00s). La dirigenza di ACME, con la collaborazione del costruttore della nuova macchina che ne mette a disposizione un esemplare affinché sia possibile sperimentarne il funzionamento, decide di condurre un test statistico allo scopo di confermare la effettiva utilità dellacquisto della nuova macchina. Il test sarà condotto con un livello di significatività pari a 0,01. Mediante la nuova macchina vengono realizzati 6 esemplari di propulsore WEC misurando, per ciascuno di essi, il tempo di lavorazione: propulsore WEC #1tempo di lavorazione = 1h 31min 06s propulsore WEC #2tempo di lavorazione = 1h 31min 24s propulsore WEC #3tempo di lavorazione = 1h 31min 36s propulsore WEC #4tempo di lavorazione = 1h 31min 42s propulsore WEC #5tempo di lavorazione = 1h 31min 48s propulsore WEC #6tempo di lavorazione = 1h 32min 00s In base al risultato del test i dirigenti di ACME decidono di acquistare la nuova macchina oppure no? Problema 3. Si individui lintervallo di confidenza al 95% per la varianza 2 della X riferita allintera popolazione sulla base dei valori forniti dal campione del problema 1. Esercizio 6

65 Infe / 70 Problema 1. Il propulsore Mod. WEC … Mediante la nuova macchina vengono realizzati 6 esemplari di propulsore WEC misurando, per ciascuno di essi, il tempo di lavorazione: propulsore WEC #1tempo di lavorazione = 1h 31min 06s propulsore WEC #2tempo di lavorazione = 1h 31min 24s propulsore WEC #3tempo di lavorazione = 1h 31min 36s propulsore WEC #4tempo di lavorazione = 1h 31min 42s propulsore WEC #5tempo di lavorazione = 1h 31min 48s propulsore WEC #6tempo di lavorazione = 1h 32min 00s In base al risultato del test i dirigenti di ACME decidono di acquistare la nuova macchina oppure no? Problema 3. Si individui lintervallo di confidenza al 95% per la varianza 2 della X riferita allintera popolazione sulla base dei valori forniti dal campione del problema 1. Esercizio 6

66 Infe / 70 Esercizio 6 risoluzione: La variabile casuale X con cui si descrive la durata della lavorazione viene definita come: un numero pari al tempo di lavorazione diminuito di 1 ora e 31 minuti ed espresso in multipli di 6 secondi: propulsore WEC #1tempo di lavorazione = 1h 31min 06s x 1 = 1 propulsore WEC #2tempo di lavorazione = 1h 31min 24s x 2 = 4 propulsore WEC #3tempo di lavorazione = 1h 31min 36s x 3 = 6 propulsore WEC #4tempo di lavorazione = 1h 31min 42s x 4 = 7 propulsore WEC #5tempo di lavorazione = 1h 31min 48s x 5 = 8 propulsore WEC #6tempo di lavorazione = 1h 32min 00s x 6 = 10 Con queste premesse la varianza campionaria corretta risulta:

67 Infe / 70 Esercizio 6 risoluzione: Per individuare l'intervallo di confidenza della varianza della X relativa all'intera popolazione si costruisce una idonea variabile casuale 2 così definita: che ha distribuzione di tipo "chi quadro" con n-1 gradi di libertà. Si individuano quindi i due quantili della "chi quadro" relativi alle probabilità 0,025 e 0,975 che, per 5 gradi di libertà, risultano essere:

68 Infe / 70 Esercizio 6 Da questi valori si individuano gli estremi dell'intervallo di confidenza cercato mediante la: Sostituendo nella espressione i valori della varianza campionaria corretta, dei quantili della "chi quadro" e dei gradi di libertà si ottiene infine:

69 Infe / 70 Esercizio 6 Risoluzione alternativa: Per individuare l'intervallo di confidenza della varianza della X relativa all'intera popolazione si costruisce una idonea variabile casuale C 2 così definita: che ha distribuzione di tipo C 2 modificata di chi quadro" con n-1 gradi di libertà. Si individuano quindi i due quantili della C 2 relativi alle probabilità 0,025 e 0,975 che, per 5 gradi di libertà, risultano essere:

70 Infe / 70 Esercizio 6 Da questi valori si individuano gli estremi dell'intervallo di confidenza cercato mediante la: Sostituendo nella espressione i valori della varianza campionaria corretta, dei quantili della C 2 e dei gradi di libertà si ottiene infine:


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