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Il sistema binario. MOTIVAZIONI Tutti gli strumenti elettronici di nuova generazione rappresentano le informazioni sotto forma di numeri binari È più

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Presentazione sul tema: "Il sistema binario. MOTIVAZIONI Tutti gli strumenti elettronici di nuova generazione rappresentano le informazioni sotto forma di numeri binari È più"— Transcript della presentazione:

1 Il sistema binario

2 MOTIVAZIONI Tutti gli strumenti elettronici di nuova generazione rappresentano le informazioni sotto forma di numeri binari È più facile progettare un dispositivo elettronico capace di riconoscere solo due stati (0, 1) che dieci (0, 1,... 9).

3 Il sistema binario Sistema Numerico Decimale Valori numerici rappresentati per mezzo di dieci simboli: alfabeto = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Es ,140,012 n, k 0 base posizione virgola

4 Il sistema binario n, b 0alfabetob = base-10

5 Il sistema binario n, b 0,alfabeto, base b = 2 alfabeto = {0, 1} bit

6 Il sistema binario Si basa solo su 2 cifre: 0 1 Ogni cifra viene chiamata bit (Binary digit) Un gruppo di 8 bit forma 1 Byte Con 1 Byte si possono ottenere 256 combinazioni (2 8 = 256) Le combinazioni si associano ai numeri fra 0 e 255 (256 numeri diversi)

7 Il sistema binario Conversione da decimale a binario Metodo delle divisioni successive: (121) 10 = ( ) 2 Si considerano i resti della divisione per 2 dal basso verso lalto a gruppo di

8 Il sistema binario Conversione da binario a decimale Ogni bit viene moltiplicata per il peso (2 elevato alla posizione) partendo da 0 e la somma dei prodotti è il numero decimale corrispondente ( =121) Bit Posizioni Pesi Prodotti

9 Il sistema binario Posizione: × × × × × 2 0 = = 21 Bit meno significativo (LSB) Bit più significativo (MSB)

10 Il sistema binario Con n bit si possono scrivere i numeri interi compresi fra 0 e 2 n - 1 BitIntervallo 1Da 0 a 1 2Da 0 a 3 3Da 0 a 7 4Da 0 a 15 5Da 0 a 31 6Da 0 a 63 7Da 0 a 127 8Da 0 a 255 9Da 0 a Da 0 a 1023

11 Il sistema binario bin dec Codifica a 2 bit (4 configurazioni)Codifica a 3 bit (8 configurazioni) bin dec

12 Il sistema binario Oltre 10 bit si approssima per convenzione 2 10 = K 2 20 = M 2 30 = G 2 40 = T Es. con 13 bit il massimo è = 8191 ma si approssima con 2 13 = 2 3 * 2 10 = 8 K Es. con 26 bit il massimo è = ma si approssima con 2 26 = 2 6 * 2 20 = 64 M

13 Il sistema binario Dalla tabella si desume il numero minimo di bit necessari per scrivere un numero decimale Es. per 50 servono almeno 6 bit Es. per 121 servono almeno 7 bit BitIntervallo 1Da 0 a 1 2Da 0 a 3 3Da 0 a 7 4Da 0 a 15 5Da 0 a 31 6Da 0 a 63 7Da 0 a 127 8Da 0 a 255 9Da 0 a Da 0 a 1023

14 Il sistema binario Per il numero minimo di bit si può procedere approssimando 3 cifre decimali con 10 bit Es. Per scrivere servono 4 bit per il 12 e 10 bit per le migliaia. Totale 14 bit Es. Per scrivere servono 4 bit per il 12 e 20 bit per i milioni. Totale 24 bit

15 Il sistema binario Somma in binario (2) 10 =(10) 2 e (3) 10 =(11) 2 Riporto11111 Addendo (60) Addendo (110) = Somma (170)

16 Il sistema binario Sottrazione in binario (2) 10 =(10) 2 Prestitovv Minuendo (102) Sottraendo (60) = Differenza (42)

17 Il sistema binario Moltiplicazione e divisione in binario 1101 x x10= : 101 = == === = /5=81 resto=4

18 Il sistema binario Conversione con Excel

19 Il sistema binario Altri sistemi utilizzati Ottale / Base 8: alfabeto = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Esadecimale / Base 16: alfabeto = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}

20 Il sistema binario Rappresentazione in Ampiezza e Segno Il primo bit è usato per indicare il segno. 0 per il segno + 1 per il segno – N.B. Presenza del doppio zero

21 Il sistema binario Eccesso P X è rappresentato tramite la notazione binaria X + P. Esempio: P=8 X=4 diviene 4+8=12= (1100) 2 X=-3 diviene -3+8=5= (0101) 2 N.B. (-2)+(-3)=5

22 Il sistema binario Interi Negativi in Complemento a Uno La rappresentazione degli interi positivi corrisponde a quella dei primi 2 n-1 numeri naturali Quella dei numeri negativi si ottiene complementando i bit N.B. Presenza del doppio zero

23 Il sistema binario Interi Negativi in Complemento a Due La rappresentazione degli interi positivi corrisponde a quella dei primi 2 n-1 numeri naturali Quella dei numeri negativi si ottiene aggiungendo una unità al complemento a uno. Esempio: 6 10 = = C( )+1 = = 1010

24 Il sistema binario Interi Negativi in Complemento a Due

25 Il sistema binario Interi Negativi in Complemento a Due I numero positivi hanno uno 0 in testa, mentre i negativi un 1 in testa Rappresentazione unica dello 0 Struttura ciclica: aggiungendo una unità al massimo numero rappresentabile (+7) si ottiene il minimo (-8) Coerenza: Operazioni aritmetiche coi numeri negativi utilizzando le stesse regole dei numeri positivi

26 Il sistema binario Interi Negativi in Complemento a Due

27 Il sistema binario Interi Negativi in Complemento a Due Overflow: il numero di bit a disposizione della rappresentazione non è sufficiente per rappresentare il risultato overflow overflowcorretto

28 Il sistema binario Numeri (non Interi) in formato Fixed Point Definito il numero di bit per la rappresentazione (16 o 32) e la posizione del punto che rimane fissa, le parti intere e frazionarie sono convertite separatamente in base 2

29 Il sistema binario Numeri in formato Fixed Point Esempio: 22, Parte intera 22 =

30 Il sistema binario Numeri in formato Fixed Point Esempio: 22, Parte frazionaria 0, = , , , , , ,125 00,25 00,

31 Il sistema binario Conversione da decimale a binario della parte frazionaria Metodo delle moltiplicazioni successive Si considerano le parti intere delle moltiplicazioni per 2 della parte frazionaria dallalto verso il basso

32 Il sistema binario Numeri in formato Fixed Point Esempio: 22, Parte intera 22 = Parte frazionaria 0, = Scegliendo la posizione del punto dopo 6 cifre: Risultato =

33 Il sistema binario Numeri (non Interi) in formato Floating Point Il numero R è espresso nella forma E esponente o caratteristica: numero intero relativo rappresentato in eccesso 127 (bias) e quindi valori 0 fra 255 corrispondono a quelli fra I valori 0 e 255 vengono riservati per funzioni speciali, per cui E è compreso fra -126 e 127 M mantissa: numero razionale con una parte intera e una frazionaria rappresentato in virgola fissa e in ampiezza e segno

34 Il sistema binario Numeri in formato Floating Point Standard IEEE 754 (1985): ME s mantissa Parte frazionaria di M esponente E=e+127 segno della mantissa ( 0= +, 1= - )

35 Il sistema binario Numeri in formato Floating Point E: assume valori tra -127 e +128 M: punto decimale implicitamente assunto alla destra del bit più significativo. In forma normalizzata cioè la parte intera costituita da un unico bit pari a 1 che non viene rappresentato

36 Il sistema binario Numeri in formato Floating Point Esempio: Il numero 0, corrisponde in binario a Normalizzato: x 2 -3 La mantissa, nascondendo il bit più significativo, diviene Lesponente -3, in notazione eccesso 127, diviene = 124 = ( ) 2

37 Il sistema binario Numeri in formato Floating Point Esempio (cont.): Il numero 0, è convertito in MantissaEsponente (124): -3 in notazione eccesso 127 Bit di segno: 0 (positivo)

38 Il sistema binario Numeri in formato Floating Point Esempio: Il numero è convertito in Mantissa: ovvero Esponente (135): 8 in notazione eccesso 127 Bit di segno: 1 (negativo) Risultato: R=M.2° = x 2 8 = -416

39 Il sistema binario Numeri in formato Floating Point Range dei valori: Mantissa 23 bit + 1 bit a 1 sottointeso: da 1.00…00 a 1.11…11 cioè da 1 a 1 + ( 1 – 2 23 ) = 2 – 2 23 Esponente 8 bit 0 a = 255. Per leccesso 127 il range diviene da -127 a 128 ristretto a Numero più grande rappresentabile = (2 – 2 23 ) x x = Numero positivo più piccolo rappresentabile = 1 x x = 0,

40 Il sistema binario Numeri in formato Floating Point Eccezioni: CategoriaEsp.Mantissa Zeri0 (-127)0 Numeri denormalizzati0 (-127)non zero Numeri normalizzati1-254 (-126/127)qualunque Infiniti255 (128)0 Nan (not a number)255 (128)non zero

41 Il sistema binario Numeri in formato Floating Point PrecisioneEMTotaleDecimale Singola82332b = 4B7 Doppia115264b = 8B16 Quadrupla b = 16B34


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