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Elaborato di Teoria dello Sviluppo dei Processi Chimici Algoritmo del simplesso Studenti: Amabile Roberto 564/18 Donatantonio Riccardo 564/19 Farace Antonio.

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Presentazione sul tema: "Elaborato di Teoria dello Sviluppo dei Processi Chimici Algoritmo del simplesso Studenti: Amabile Roberto 564/18 Donatantonio Riccardo 564/19 Farace Antonio."— Transcript della presentazione:

1 Elaborato di Teoria dello Sviluppo dei Processi Chimici Algoritmo del simplesso Studenti: Amabile Roberto 564/18 Donatantonio Riccardo 564/19 Farace Antonio 564/28 Perfetto Alfonso 564/45 Studenti: Amabile Roberto 564/18 Donatantonio Riccardo 564/19 Farace Antonio 564/28 Perfetto Alfonso 564/45 Docente: Prof. Michele Miccio Docente: Prof. Michele Miccio

2 Struttura del lavoro Il lavoro si compone delle seguenti fasi: 1. Realizzazione di un software in ambiente LabView Approfondimento di argomenti trattati durante il corso inerenti la programmazione lineare 3. Svolgimento di problemi di programmazione lineare risolti mediante lalgoritmo del simplesso al fine di verificare il corretto funzionamento del SimpLab 1.0

3 Problema generale La semplicità nel calcolo della soluzione di base per il caso di tutti vincoli è legata alla presenza di un minore unitario dei coefficienti delle variabili aggiunte. Es. Minore unitario Nel caso generale la presenza di questo minore unitario dei coefficienti non è garantita e in verità quasi mai verificata.

4 Variabili artificiali Vista la facilità di calcolo della b.a. nel caso in cui vi sia un minore unitario dei coefficienti si è arrivati allidea di costruire questultimo, nel caso generale, mediante laggiunta di altre variabili dette variabili artificiali. Es. Forma canonica slack surplus artificiali Minore unitario

5 Problema artificiale Laggiunta delle variabili artificiali ovviamente non è cosa lecita; questo infatti trasforma il nostro problema in un nuovo problema che ha delle variabili in più rispetto a quello di partenza. Di contro però va detto che di questo nuovo problema noi riusciamo a conoscere banalmente la prima soluzione di base ammissibile, come fatto per il caso di vincoli tutti di tipo, e per questo definendo opportunamente una nuova funzione obiettivo potremmo riuscire ad arrivare alla soluzione b.a. del problema originario ottimizzando questo nuovo obiettivo. La nuova funzione obiettivo che si definisce prende il nome di Forma dInammissibilità.

6 La Forma dInammissibilità è definita come: n=numero di variabili del problema originario a=numero di variabili artificiali X n+j =variabili artificiali Questa funzione va minimizzata tenendo in conto che: Se min w=0 : ln-pla X 0 in cui la w è minima è una soluzione basica ammissibile per la funzione obiettivo del problema originario. Questo perchè si possono escludere tutte le variabili artificiali poiché la loro somma è nulla Se min w>0 : non esiste una soluzione basica ammissibile per il problema originario Forma dInammissibilità

7 Il Tableau La procedura di calcolo che porta alla determinazione del valore di ottimo della funzione obiettivo si basa su un processo iterativo che parte con la costruzione di una matrice detta Tableau e di volta in volta continua con laggiornamento di questultima fino al raggiungimento della soluzione ottima. La costruzione del Tableau parte dal problema in forma canonica con laggiunta di variabili artificiali. Riassumendo, quindi, in base al tipo di vincolo devo aggiungere al problema delle variabili: Slack : per vincoli di tipo Artificiali : per vincoli di tipo = Artificiali e Surplus : per vincoli di tipo

8 Costruzione del Tableau a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n a m1 a m2 a m3 a mn (-z) c 1 c 2 c 3 c n X 1 X 2 X 3 X n X n+1 X n+j X n+j+1 b1b1 b2b2 bmbm 0 XaXa XbXb XqXq Matrice dei tassi di assorbimento Coefficienti di costo Risorse Variabili decisionali Minore unitario delle variabili slack Variabili surplus Variabili in base Il Tableau assume la forma: (-w)d 1 d 2 d 3 d n 0 1 djdj 0 Coefficienti di costo modificati più quelle artificiali

9 Condizione di ottimalità Resta ora da stabilire quando il ciclo del simplesso deve arrestarsi, cioè come verificare il raggiungimento della soluzione ottima. A questo scopo notiamo che: Da questo è evidente che, durante le iterazioni del simplesso, nel caso in cui tutti i coefficienti di costo sono positivi/negativi siamo in una condizione di minimo/massimo della F.O. La condizione di ottimo quindi sarà, per il problema a minimizzare: Con m = numero totale di variabili.

10 Metodo delle due fasi Aggiungere variabili slack Aggiungere variabili slack e artificiali Rendere i termini noti non negativi Aggiungere variabili artificiali Vincoli di tipo Aggiungere forma di inammissibilità Tutti i d j 0 w=0 Scelta colonna pivot s: d s =min d j Scelta riga pivot r: b r /a rs =min b i /a is Pivoting sul perno a rs STOP : nessuna soluzione ammissibile NO Eliminare colonne con d j >0. Eliminare la forma di inammissibilità SÌ Tutti i c j 0 cj>0cj>0 Tutti gli a is =0 NO Scelta colonna pivot s: c s =min c j STOP : soluzione basica ammissibile minima STOP : infinite soluzioni STOP : soluzione non limitata NO SÌ START fase 1 START fase 2 SÌ NO, =, =

11 Metodo dei grossi pesi Si procede aggiungendo le variabili slack, surplus o artificiali in base al tipo di vincoli. Si introducono dei coefficienti di costo per le variabili artificiali detti penalità in modo da ottenere: Con o.d.g.(P)>>o.d.g.(c i ) -P se il problema è a massimizzare +P se il problema è a minimizzare Se il problema è a minimizzare le variabili artificiali saranno le prime ad uscire dalla base (per il grosso peso di P) e non vi rientreranno più.


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