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Ottimizzazione multi obiettivo e vincolata applicata ad un modello di regressione lineare multipla Studio delleffetto congiunto che variabili macro e microeconomiche.

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Presentazione sul tema: "Ottimizzazione multi obiettivo e vincolata applicata ad un modello di regressione lineare multipla Studio delleffetto congiunto che variabili macro e microeconomiche."— Transcript della presentazione:

1 Ottimizzazione multi obiettivo e vincolata applicata ad un modello di regressione lineare multipla Studio delleffetto congiunto che variabili macro e microeconomiche esercitano sui rendimenti azionari ing. Mattia Ciprian (DipEne) dott. Giulia Nogherotto (DETA) dott. Massimiliano Kaucic (DETA)

2 Lo studio prende lavvio dalla volontà di costruire un modello di regressione lineare multifattoriale per lo studio dellindice MSCI Europe in relazione allandamento di alcune variabili di tipo macroeconomico e microeconomico nel tempo Lindagine si concentra in un primo momento sullo studio dellindice settoriale Energy del MSCI Europe Il lavoro che presentiamo si pone lobiettivo di ottimizzare il procedimento di determinazione del modello più che di valutare le singole variabili considerate nella regressione Questo costituirà lo step successivo dellanalisi

3 Il metodo econometrico, usato per la costruzione di modelli econometrici, può essere classificato in tre fasi: specificazione del modello, stima dei parametri e test nella prima fase di specificazione del modello un ruolo importante lo svolgono le ipotesi che si fanno su come è fatto il processo statistico che ha generato i dati. La teoria economica suggerisce lelenco delle variabili di interesse del problema che si intende affrontare e la direzione di causalità un metodo largamente utilizzato per la stima del modello parametrico è quello dei minimi quadrati ordinari (OLS ordinary least squares) le ipotesi di specificazione formano loggetto dei test

4 Trieste, 7 Febbraio 2005 Complex Systems in Economics4 Il modello Il modello di regressione lineare multipla utilizzato assume la seguente forma generale: Insieme delle osservazioni della variabile dipendente Insieme delle osservazioni delle variabili (macro e micro) considerate moltiplicate i coefficienti di regressione Componente di disturbo

5 Trieste, 7 Febbraio 2005 Complex Systems in Economics5 Definizione del problema Una volta effettuata la stima dei coefficienti, utilizzando un metodo dei minimi quadrati, è necessario verificare la misura in cui le variabili macroeconomiche e microeconomiche risultano statisticamente significative nello spiegare i rendimenti dellindice azionario. A questo scopo sono state calcolate due serie di test: test di significatività dei parametri della regressione test di scorretta specificazione del modello

6 Trieste, 7 Febbraio 2005 Complex Systems in Economics6 Nel primo gruppo di test si distinguono - test che interessano lintera regressione (Es: R 2, test F) - test legati alle singole variabili esplicative (Es: t-test) I secondi sono test che hanno a che vedere con le scelte di specificazione del modello e si concentrano sullanalisi dei residui della regressione

7 Test di significatività dei parametri R quadro corretto Fornisce una misura sintetica della bontà della regressione ovvero della misura in cui la variabile dipendente è spiegata dalle variabili esplicative piuttosto che dai termini di errore SQE = somma quadrati errore SQR = somma quadrati regressione n = numero di osservazioni p = numero variabili indipendenti

8 Trieste, 7 Febbraio 2005 Complex Systems in Economics8 Test F F = statistica test F avente una distribuzione F con p e n – p – 1 gradi di libertà Sotto lipotesi nulla di assenza di relazione lineare tra la variabile dipendente e le variabili esplicative tale statistica assume valore inferiore al valore critico individuato sulle tavole Se p-value < α (solitamente 0,05) allora lapporto del modello di regressione alla spiegazione della variabilità della variabile dipendente è significativo.

9 Trieste, 7 Febbraio 2005 Complex Systems in Economics9 Criterio di Schwartz Questa statistica (Information criterion) permette di indirizzarsi verso una regressione con il numero migliore di ritardi (scostamenti temporali tra le serie storiche) Si sceglie la regressione con il valore più basso del test l = funzione di logverosimiglianza

10 Trieste, 7 Febbraio 2005 Complex Systems in Economics10 T-test sulle singole variabili p = numero di variabili esplicative b k = inclinazione di Y rispetto alla variabile k tenendo costanti le altre variabili S bk = errore standard del coefficiente di regressione b k t = statistica test con distribuzione t con n – p – 1 gradi di libertà. Sotto lipotesi nulla di assenza di relazione lineare tra la singola variabile indipendente e la variabile dipendente tale statistica assume valore inferiore al valore critico delle tavole (p-value < livello di significatività scelto)

11 Trieste, 7 Febbraio 2005 Complex Systems in Economics11 Test sulle assunzioni di base del modello di regressione lineare Ipotesi sui residui Il valore atteso dellerrore è nullo La varianza degli errori è costante (omoschedasticità) Gli errori non sono correlati tra di loro nel tempo (incorrelazione seriale dei disturbi) Gli errori assumono una distribuzione normale Test di scorretta specificazione

12 Trieste, 7 Febbraio 2005 Complex Systems in Economics12 Ipotesi nulla: assenza di eteroschedasticità Test LM ARCH Il test mira a verificare se i residui della regressione seguono o meno un modello ARCH il quale per definizione è caratterizzato da eteroschedasticità condizionale Test di White Si basa su una regressione ausiliaria dove i quadrati dei residui sono la variabile dipendente mentre tra le variabili esplicative sono incluse le variabili della regressione originaria, i residui standardizzati e i loro rispettivi quadrati

13 Trieste, 7 Febbraio 2005 Complex Systems in Economics13 Test Durbin Watson = valore dei residui in ciascun periodo In caso di assenza di correlazione seriale dei residui di primo ordine la statistica assume un valore prossimo a 2 Ipotesi nulla: assenza di correlazione seriale dei residui

14 Trieste, 7 Febbraio 2005 Complex Systems in Economics14 Ipotesi nulla: normalità dei residui Test di Jarque Bera S = indice di asimmetria K = indice di Kurtosi S deve essere prossimo a 0 K deve essere prossimo a 3 Sotto lipotesi di normalità la statistica JB si distribuisce come una Chi quadro con 2 gradi di libertà Il test JB deve avere probabilità alta per accettare lipotesi nulla

15 Trieste, 7 Febbraio 2005 Complex Systems in Economics15 Approccio Classico: –Tuning dei dati con correzioni successive di un operatore esperto; 1 settimana di lavoro a mano continuato rischio di non raggiungere la soluzione ottima Proposto: –Metodo autonomo ed automatico di ricerca operativa; Realizzazione algoritmi statistici (MatLab ® ) e ottimizzazione vincolata (modeFRONTIER ® )

16 Trieste, 7 Febbraio 2005 Complex Systems in Economics16 Complessità del problema 1.Alta variabilità del modello; 2.Alto numero di variabili (L & P); 3.Alto numero di combinazioni possibili (34 variabili = e+037 combinazioni) ; 4.Soluzioni inattese.

17 Trieste, 7 Febbraio 2005 Complex Systems in Economics17 Obiettivi e Vincoli Constraints: 1.P-value 2-3); 2.Omoschedasticità (Arch LM test su residui) ; 3.Nessuna correlazione seriale (Ljung-Box Q-statistic su residui) ; 4.Normalità dei disturbi (Jarque-Bera test su residui) ; Objectives: |Durbin-Watson| 2.0; R 2 1.0; Max F-statistic; Min Schwartz criterion;

18 Trieste, 7 Febbraio 2005 Complex Systems in Economics18 Elaborazione con MATLAB VARIABLE = Adj_R_squared = SE_of_regression = sum_squared_resid = e+003 LogLikelihood = e+002 Durbin_Watson_stat = Mean_dependent_var = e+002 SD_dependent_var = AIC = SC = F_statistic = e+002 Prob_F_statistic = 0 C'è eteroschedasticità! Non c'è correlazione seriale! C'è la normalità dei disturbi! Constraint p-value = 4

19 Trieste, 7 Febbraio 2005 Complex Systems in Economics19 Main Diagram (mF) Lags Presences Statistics DOE (+MOGA) Objectives Constraints

20 Trieste, 7 Febbraio 2005 Complex Systems in Economics20 Pre-processing (Reduced Factorial 2048)

21 Trieste, 7 Febbraio 2005 Complex Systems in Economics21 Correlazione degli Obiettivi

22 Trieste, 7 Febbraio 2005 Complex Systems in Economics22 Scatter Chart: F-Statistic vs. Schwartz Criterion

23 Trieste, 7 Febbraio 2005 Complex Systems in Economics23 Rottura dei Vincoli

24 Trieste, 7 Febbraio 2005 Complex Systems in Economics24 P-value vs. Num. Serie Storiche

25 Trieste, 7 Febbraio 2005 Complex Systems in Economics25 Revisione Obiettivi e Vincoli Constraints: 1.P-value < 0.05; 2.Omoschedasticità (Arch LM test su residui) ; 3.Nessuna correlazione seriale (Ljung-Box Q-statistic su residui) ; 4.Normalità dei disturbi (Jarque-Bera test su residui) ; Objectives: 1.|Durbin-Watson| 2.0; 2.R 2 1.0; 3.Max F-statistic; 4.Min Schwartz criterion; |2-DurbinWatson| < 0.1 R 2 > 0.92 F-statistic > 200 Serie Storiche utilizzate 10

26 Trieste, 7 Febbraio 2005 Complex Systems in Economics26 Ricerca del DOE iniziale

27 Trieste, 7 Febbraio 2005 Complex Systems in Economics27 Ottimizzazione Dopo circa calcoli complessivi equivalenti a 4 ore effettive di lavoro (0,92 s / calcolo AMD Mb RAM ) si è ritenuta conclusa lottimizzazione.

28 Trieste, 7 Febbraio 2005 Complex Systems in Economics28 Storia degli obiettivi (feasible)

29 Trieste, 7 Febbraio 2005 Complex Systems in Economics29 Durbin-Watson History Chart

30 Trieste, 7 Febbraio 2005 Complex Systems in Economics30 F-Statistic History Chart

31 Trieste, 7 Febbraio 2005 Complex Systems in Economics31 R 2 Adjusted History Chart

32 Trieste, 7 Febbraio 2005 Complex Systems in Economics32 Schwarz Criterion History Chart

33 Trieste, 7 Febbraio 2005 Complex Systems in Economics33 4D Bubble Chart |DW-2| F-Stat Diameter: R 2 Adj Color: Design ID

34 Trieste, 7 Febbraio 2005 Complex Systems in Economics34 Scatter Chart: F-Statistic vs. Schwartz Criterion

35 Trieste, 7 Febbraio 2005 Complex Systems in Economics35 Vincoli rotti nel corso dellottimizzazione

36 Trieste, 7 Febbraio 2005 Complex Systems in Economics36 Parallel Chart |DW-2| R2R2 F-stat Schwarzn. Serie

37 Trieste, 7 Febbraio 2005 Complex Systems in Economics37 Un esempio di regressione: elaborazione manuale Riportiamo i risultati parziali ottenuti da un operatore intenzionato a costruire a mano con luso del programma E-views un modello di regressione Il tempo impiegato è stato di parecchie giornate La finestra che segue è quella di output di E-views e contiene le determinazioni per i coefficienti di regressione e i risultati di alcuni test

38 Trieste, 7 Febbraio 2005 Complex Systems in Economics38 Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 09/15/04 Time: 14:56 Sample(adjusted): 1995: :11 Included observations: 105 after adjusting endpoints VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C A5(-1) A6(-1) A10(-1) A11(-1) A A A A18(1) A23(-1) A27(-1) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

39 Trieste, 7 Febbraio 2005 Complex Systems in Economics39 Residui Series: residuals Observations: 105 Mean: 1,58E -15 Median: -0, Maximum: 1, Minimum: -1, Skewness: 0, Kurtosis: 2, Jarque-Bera: 0, Probability: 0,757603

40 Trieste, 7 Febbraio 2005 Complex Systems in Economics40 I valori evidenziati ci interessano per valutare la bontà della regressione il rifiuto dellipotesi nulla non bontà del modello Mentre la prima finestra di output ci mostra risultati abbastanza buoni, i test sui residui (Test LM ARCH, Test di White) determinano il rifiuto dellipotesi nulla e dunque dimostrano la non bontà del modello test di normalità non restituisce un esito positivo Anche il test di normalità non restituisce un esito positivo

41 Trieste, 7 Febbraio 2005 Complex Systems in Economics41 Un esempio di regressione: elaborazione automatizzata Ecco invece quanto ottenuto inserendo in E-views le variabili e i lags suggeriti dal meccanismo di ottimizzazione Abbiamo selezionato, come esempio, un modello con 5 variabili e scostamenti temporali sia positivi che negativi

42 Trieste, 7 Febbraio 2005 Complex Systems in Economics42 Dependent Variable: PREZZO Method: Least Squares Date: 12/09/04 Time: 17:53 Sample(adjusted): 1995: :09 Included observations: 102 after adjusting endpoints VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C VAR1(-1) VAR2(3) VAR6(-1) VAR13(3) VAR18(-3) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Finestra di output di E-views

43 Trieste, 7 Febbraio 2005 Complex Systems in Economics43 Residui

44 Trieste, 7 Febbraio 2005 Complex Systems in Economics44 ARCH Test: F-statistic Probability Obs*R-squared Probability Test Equation: Dependent Variable: RESID^2 Method: Least Squares Date: 12/10/04 Time: 15:47 Sample(adjusted): 1995: :09 Included observations: 96 after adjusting endpoints VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C RESID^2(-1) RESID^2(-2) RESID^2(-3) RESID^2(-4) RESID^2(-5) RESID^2(-6) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

45 Trieste, 7 Febbraio 2005 Complex Systems in Economics45 I risultati ottenuti dallelaborazione con il programma E-views dimostrano come la scelta delle variabili e dei lags suggerita dal processo di ottimizzazione conduca alla determinazione di un ottimo modello di regressione secondo i vincoli imposti dalloperatore

46 Trieste, 7 Febbraio 2005 Complex Systems in Economics46 Thanks to: Esteco Eu-Ra Università degli Studi di Trieste

47 Ottimizzazione multi obiettivo e vincolata applicata ad un modello di regressione lineare multipla Studio delleffetto congiunto che variabili macro e microeconomiche esercitano sui rendimenti azionari ing. Mattia Ciprian (DipEne) dott. Giulia Nogherotto (DETA) dott. Massimiliano Kaucic (DETA)

48 Trieste, 7 Febbraio 2005 Complex Systems in Economics48 Principali meccanismi di funzionamento: Riproduzione Mantenimento dei caratteri dominanti nelle successive generazione Incrocio o crossover Determinazione degli individui figli a partire dalla divisione delle stringhe genitori Mutazione Introduzione di anomalie su di un campione della popolazione al fine di ricercare nuove configurazioni Basi del GA


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