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Corso di Introduzione alla Finanza Quantitativa (matematica computazionale) Desenzano 10/11 Settembre 2011 17/18 Settembre 2011 A cura di: Luigi Piva www.intermarketstrategies.eu.

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1 Corso di Introduzione alla Finanza Quantitativa (matematica computazionale) Desenzano 10/11 Settembre /18 Settembre 2011 A cura di: Luigi Piva Equity Line Solutions – Londra

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3 MODULO 3 Sabato 17 settembre h e STRATEGIE QUANTITATIVE DINVESTIMENTO 1- Analisi economica delle alternative: 1.1 descrizione delle opportunità dinvestimento; 1.2 Strategie dinvestimento 1.3 Valutazione dei titoli azionari 2- La decisione tra diverse alternative: 2.1 Tipi di proposte dinvestimento; 2.2 Opzioni 2.3 Derivati sui tassi si interesse 2.4 Ottimizzazione di portafoglio

4 Portfolio Selection Teoria dellutilità La massimizzazione dellutilità attesa, riconosciuta come criterio generale di decisione in condizioni di incertezza, costituisce un obiettivo di tipo globale, nel senso che raccoglie direttamente in una sintesi finale tutti I singoli elementi di giudizio che possono concorrere, anche in maniera contrastante tra loro, a determinare la preferibilità di una scelta rispetto ad unaltra. Molto spesso si ottiene una descrizione più chiara del problema decisionale disaggregando lobiettivo globale in più obiettivi parziali; tali obiettivi andranno dapprima considerati separatamente e poi armonizzati tra loro in una fase finale, nella quale il miglior compromesso verrà individuato perseguendo lobiettivo globale.

5 Portfolio Selection Teoria dellutilità Un esempio tipico di questo modo di procedere si ha nel campo delle scelte pubbliche, quando vogliamo rappresentare le preferenze di una collettività organizzata di individui, intesa come ununica entità, attraverso una funzione di utilità sociale. In questo contesto risulterà significativo considerare dapprima come obiettivi parziali le preferenze, generalmente contrastanti, dei singoli individui, per conglobarli, poi, armonizzandoli nel modo giudicato più idoneo rispetto a certi criteri prefissati, nella funzione di preferenza collettiva.

6 Portfolio Selection Misure di rischiosità Nellambito della teoria delle decisioni finanziarie in condizioni di incertezza è espressivo scomporre il criterio della massimizzazione dellutilità attesa introducendo due obiettivi parziali, consistenti, intuitivamente, nella massimizzazione del profitto da una parte, e nella minimizzazione del rischio dallaltra. Con riferimento allindividuo I, dotato di funzione di utilità u(x), che deve valutare la situazione finanziaria incerta X, la decomposizione può essere effettuata in modo rigoroso definendo una misura di rischiosità di X come: avendo indicato con U(X) lutilità attesa E[u(X)]

7 Portfolio Selection Come risulta dalla diseguaglianza di Jensen e, più in generale, dalle considerazioni svolte in precedenza, questa misura di rischiosità non è mai negativa e si annulla solo nei casi estremi di variabile aleatoria X degenere. Esempio: se lindividuo I è dotato di funzione di utilità quadratica Lequazione precedente fornisce:

8 Portfolio Selection Dato che, per costruzione, è: La massimizzazione dellutilità attesa dovrà ottenersi contemperando in qualche modo la massimizzazione di u[E(X)] e la minimizzazione di ϕ(X). Dato che u(x) è una funzione monotona di x, il primo di questi obiettivi si riduce a massimizzare E(X). Restano quindi individuati due criteri di scelta parziali, che consistono luno nel rendere massimo il valore atteso dellimporto incerto X, laltro nel rendere quanto più piccola possibile la rischiosità.

9 Portfolio Selection Lutilità attesa come funzione di rischio e rendimento Lespressività di questo approccio risulta evidente se si rappresentano la rischiosità e la speranza matematica di X su un piano cartesiano, secondo il metodo tipico della cosiddetta analisi rischio-rendimento. Per semplicità di notazione indicheremo con m la speranza matematica di E(X) e con ϕ la rischiosità di ϕ (X). Evidentemente, ogni possibile posizione finanziaria sarà caratterizzata da un valore della media e da un valore della rischiosità; sarà quindi rappresentata da un punto P nel piano (ϕ,m). Di conseguenza linsieme X delle opportunità avrà la forma di un sottoinsieme del piano (ϕ,m).

10 Portfolio Selection Lutilità attesa ha la forma: Geometricamente, ad ogni punto P rappresentativo di una posizione finanziaria incerta X, corrisponderà un valore della funzione U(P) e quindi lutilità attesa sarà rappresentata da una superficie nello spazio a tre dimensioni (ϕ, m, U) defnita sullinsieme X delle opportunità. Ragionando nel piano (ϕ, m) si può assumere che u(x) sia derivabile almeno due volte. La derivata parziale di U rispetto a m è positiva, essendo

11 Portfolio Selection Quindi si può affermare che tra due punti aventi la stessa ascissa ϕ sarà preferito quello avente ordinata m maggiore, dato che lutilità attesa U è funzione crescente di m, per ϕ fissata. Analogamente, la derivata parziale di U rispetto a ϕ è negativa: Conseguentemente, comunque presi due punti sulla retta m= costante, sarà preferito tra essi quello con valore minore dellascissa ϕ.

12 Portfolio Selection Nella figura, ad esempio A > B, dato che, a parità di rischiosità, il punto A corrisponde ad una situazione finanziaria con valore atteso maggiore

13 Portfolio Selection Analogamente è C > D, poiché, per uno stesso livello di importo atteso, la posizione C è caratterizzata da un valore più basso della rischiosità. Naturalmente questo semplice criterio introduce un ordinamento soltanto parziale, come subito si verifica osservando che le posizioni corrispondenti ai punti B e C, ad esempio, risultano tra loro non confrontabili. La rappresentazione completa delle preferenze potrà ottenersi solo considerando congiuntamente gli obiettivi ed m attraverso la valutazione della funzione U(ϕ,m). Le ipotesi generali sulla funzione di utilità permettono di ricavare landamento qualitativo delle linee di livello della superficie U(ϕ,m), cioè la forma del luogo dei punti del piano (ϕ,m) che corrispondono ad uno stesso livello u 0 dellutilità attesa e che risultano pertanto indifferenti tra loro.

14 Portfolio Selection Queste linee di livello, dette curve di indifferenza, sono implicitamente descritte dallequazione U (ϕ,m) = u 0 dove u 0 assume il significato di un parametro che contraddistingue tra di loro le singole curve. Dato che u(x) È dotata di inversa, lequazione: Può essere risolta rispetto ad m, fornendo quindi lespressione della curva di indifferenza con utilità attesa u 0, si ha:

15 Portfolio Selection La derivata prima ha la forma: Ed è quindi positiva, per lipotesi di crescenza su u(x)(u(x)>0) Calcolando la derivata seconda si ottiene:

16 Portfolio Selection Anchessa positiva per la crescenza e concavità di u(x)(u(x)<0). Si conclude quindi che le curve di indifferenza nel piano (ϕ,m) sono funzioni crescenti e convesse in ϕ. Dato che U (ϕ,m) cresce al crescere di m e al decrescere di ϕ, muovendosi in direzione nord-ovest nel piano (ϕ,m) si incontraranno curve di indifferenza corrispondenti a valori crescenti di utilità attesa. Nella figura sono illustrate curve di indifferenza relative ai valori u 0, u 1, u 2 dellutilità attesa, con u 0 < u 1 < u 2. Le posizioni A e C sono indifferenti, perché hanno utilità attesa uguale a u 2 La posizione D è preferita alla B, perché è indifferente a B che, a sua volta, è preferita a B.

17 Portfolio Selection Frontiera delle Opportunità e Frontiera Efficiente Il problema della massimizzazione dellutilità attesa è significativo solo in presenza di vincoli sulle variabili decisionali ϕ e m ; in assenza di limitazioni sulla rischiosità e sul valore atteso di X, infatti, esisterà sempre la soluzione banale ϕ = 0 e m =. In tutti I casi di interesse pratico linsieme delle opportunità X sarà quindi rappresentato da un sottoinsieme proprio del piano (ϕ, m). Nellinsieme X rivestono un ruolo logicamente importante le opportunità di frontiera. Una opportunità di frontiera è definita come lopportunità che la minima rischiosità tra tutte le opportunità che hanno la stessa speranza matematica.

18 Portfolio Selection Per ogni livello fissato di m 0, del valore atteso E(X), la corrispondente opportunità di frontiera sarà soluzione del problema: Geometricamente, fissato il livello m 0, lopportunità di frontiera sarà rappresentata dal punto P 0 di x alla cui destra si situano tutti gli altri punti X che giacciono sulla retta orizzontale m = m 0. Tali punti-opportunità saranno tutti dominati da P 0, nel senso della relazione di preferenza >.

19 Portfolio Selection Al variare di m 0, vengono individuate in X tutte le opportunità di frontiera, che costituiscono appunto la frontiera di X, o frontiera delle opportunità, che indicheremo con B. Sulla frontiera B possono esistere delle opportunità caratterizzate dalla stessa rischiosità, ma diversa speranza matematica; possono cioè esistere dei punti di frontiera situati sulle retta verticale ϕ = ϕ 0. Si definisce allora opportunità efficiente ogni opportunità di frontiera che ha massimo valore atteso fra tutte le opportunità di B aventi uguale rischiosità ϕ 0.

20 Portfolio Selection Una opportunità efficiente è quindi soluzione del problema: Il luogo delle opportunità efficienti, corrispondenti ai diversi valori di ϕ 0, è un sottoinsieme ε della frontiera B, ed è chiamato frontiera efficiente dellinsime X. Gli elementi che compongono la frontiera efficiente rappresentano dei punti di ottimo paretiano, dal nome delleconomista Vilfredo Pareto.

21 Portfolio Selection Il procedimento in base al quale abbiamo definito la frontiera ε garantisce infatti che non ci si può spostare su di essa per migliorare uno degli obiettivi parziali, per es. Per aumentare la speranza matematica, senza peggiorare laltro, senza cioè aumentare la rischiosità.

22 Portfolio Selection Con lindividuazione della frontiera efficiente ε si esaurisce la fase di ottimizzazione, consistente nellanalizzare separatamente gli obiettivi parziali. Il processo decisionale sarà risolto individuando il punto di massimo dellobiettivo globale U (ϕ,m), e questo non potrà che essere uno dei punti di ottimo. Si tratterà quindi di individuare il punto della frontiera efficiente che si situa sulla curva di indifferenza U (ϕ,m) = con valore più alto di della utilità attesa. Nella figura, la zona ombreggiata indica linsieme X delle opportunità, allora La linea continua che ne costituisce il contorno rappresenta le frontiera delle opportunità B.

23 Portfolio Selection I punti P 0, P 1 e P 2 rappresentano le opportunità di frontiera relative ai livelli di speranza matematica E(X) uguali a m 0, m 1 e m 2, rispettivamente. Il punto P 1 corrisponde allopportunità meno rischiosa tra tutte le opportunità disponibili. La porzione della frontiera B che corrisponde a valori di m maggiori, evidenziati in nero, costituisce la frontiera efficiente ε, cioè il luogo dei punti di ottimo. Il punto di massimo è il punto per cui si ha la massima utilità attesa tra tutti I punti di ε, e quindi tra tutti I punti di X. Come si vede è il punto di tangenza tra la frontiera efficiente e la linea di indifferenza U =.

24 Portfolio Selection I Modelli Media-Varianza Secondo lapproccio sviluppato in precedenza, con lintroduzione di obiettivi parziali la massimizzazione dellutilità attesa per un individuo I può essere fatta precedere da una fase in cui vengono ricercate soluzioni ottime nel senso di Pareto. E importante sottolineare che con questa impostazione la forma della funzione di utilità, e quiandi la struttura delle preferenze di I, non entra in gioco solo nella seconda fase, ma svolge un ruolo importante anche nella precedente fase di ottimizzazione.

25 Portfolio Selection Infatti la misura di rischio generalizzata ϕ (X), definita in precedenza, dipende essa stessa dalla funzione di utilità, la cui forma contribuirà quindi anche alla determinazione della frontiera efficiente. In molti modelli decisionali, più orientati verso le applicazioni pratiche. È importante individuare degli obiettivi parziali di valore più oggettivo nel senso di poter essere considerati comuni ad unintera classe di individui, che possono essere pensati come gli agenti economici partecipanti a un ideale mercato finanziario. In questo modo la suddivisione del processo decisionale nelle due fasi di ottimizzazione e di massimizzazione equivale a scomporre lanalisi dellincertezza in due momenti distinti.

26 Portfolio Selection Dapprima ne vengono studiati gli effetti sullambiente economico in cui I decisori agiscono, in n secondo tempo vengono introdotte le considerazioni sul comportamento dei singoli, specificando le preferenze individuali di fronte al rischio. Nellambito di una concezione oggettiva della probabiltà risulterà naturale individuare obiettivi parziali determinati unicamente dalle caratteristiche delle funzioni di distribuzione F(x) delle variabili aleatorie X. Si tratta di un modo di procedere evidentemente in contrasto con la teoria soggettiva delle probabilità per la quale lutilità e l aprobabilità andrebbero definite, almeno in via teorica, simultaneamente e congiuntamente, la definizione stessa di probabilità soggettiva essendo un caso particolare della teoria delle decisioni.

27 Portfolio Selection Tuttavia, in molte situazioni reali si constata che è più facile trovare accordo tra gli individui a proposito delle distribuzioni di probabilità piuttosto che sul grado di avversione al rischio. Ciò ha portato a sviluppare modelli basati sullipotesi di homogeneous expectations, per cui, basandosi sullosservazione che luniformità di aspettative sembra costituire una situazione molto meno irrealistica delluniformità nei livelli di avversione al rischio, si assume che tutti gli agenti economici condividano le stesse opinioni probabilistiche e si differenzino solamente per la concavità più o meno accentuata della funzione di utilità. Questo tipo di approccio, se inteso come una prima, gossolana approssimazione di certe situazioni reali, può essere considerato accettabile anche da un punto di vista soggettivista.

28 Portfolio Selection Tra I possibili obiettivi parziali che un individuo I deve perseguire per massimizzare la propria utilità attesa U(X), la massimizzazione del valor medio e la minimizzazione della varianza sono I più importanti ed immediati. Ammettendo che la funzione di utilità di I sia sviluppabile in serie di Taylor e scegliendo, ad esempio, come punto iniziale dello sviluppo il valore atteso m=E(X) si ha: Essendo R 3 il resto di terzo ordine espresso dalla:

29 Portfolio Selection Sotto condizioni di regolarità lutilità attesa sarà allora espressa dalla: con: Dalla prima, si deduce che la preferenza per valori più alti della media e per valori più bassi della varianza è una conseguenza necessaria delle proprietà di monotonia e concavità della u(x), dato che il contributo dellutilità attesa fornito dal primo termine aumenta con E(X), mentre quello fornito dal secondo termine è negativo ed aumenta il valore assoluto con V(X).

30 Portfolio Selection Tuttavia è anche evidente che il perseguimento di questi due obiettivi parziali non è, in generale, sufficiente per garantire il conseguimento dellobiettivo globale, in quanto, per una generica funzione di utilità e per una generica distribuzione di probabilità, U(X), è anche funzione dei momenti di X di ordine superiore al primo, rappresentati nel termine E[R 3 (X)] I criteri decisionali che accettano di ridurre il problema della scelta in condizioni di incertezza al perseguimento di obiettivi di primo e secondo ordine sono noti come modelli media-varianza. La loro giustificazione teorica alla luce del principio dellutilità attesa è stata molto dibattuta.

31 Portfolio Selection Teoria dei modelli media-varianza Se non si fanno ipotesi sulla distribuzione di probabilità di X, lapproccio media-varianza può essere motivato ipotizzando una funzione di utilità quadratica : Infatti in questo caso tutte le derivate di u(x) di ordine superiore al secondo si annullano, per cui il termine E[R 3 (X)] diviene nullo. Vanno però ricordati I limiti di significatività economica della funzione di utilità quadratica, che può essere accettata solo se definita per valori di x minori di 1/a e che è caratterizzata da avversione al rischio r(x) crescente.

32 Portfolio Selection In molti casi, lunico modo corretto per giustificarne lutilizzazione è quello di intederla come approssimazione di una generica funzione di utilità, nello spirito delle considerazioni svolte in precedenza. Se non si accettano ipotesi specifiche sulla funzione di utilità, il modello media –varianza può essere giustificato assumendo che la variabile aleatoria X abbia distribuzione di probabilità normale. Questa distribuzione è individuata completamente dalla media e dalla varianza. Si riconosce allora che il termine e quindi il valore dellutilità attesa dato dalla precedente espressione, possono essere espressi in termini esatti solo in funzione di m e V e si può fare vedere che questa dipendenza funzionale è crescente rspetto ad m e devrescente rispetto a V.

33 Portfolio Selection La distribuzione normale è inoltre caratterizzata dalla proprietà di stabilità, per la quale la somma di variabili aleatorie normali è ancora una variabile aleatoria normale, si tratta di una proprietà particolarmente utile nelle applicazioni alla selezione di portafoglio. Lipotesi di normalità presentaperò anche degli inconvenienti di utilizzazione nella modellistica finanziaria. Il fatto, per esempio, di attribuire probabilità non nulla a valori negativi di x la rende incompatibile con luso di funzioni di utilità definite solo sui reali positivi, come lutilità logaritmica. Lapproccio media-varianza non ha quindi le caratteristiche di generalità di quello basato sul principio dellutilità attesa. Tuttavia la sua semplicità concettuale e la sua maggiore utilizzabilità pratica gli hanno assegnato un ruolo centrale nella teoria finanziaria in condizioni di incertezza.

34 Portfolio Selection Sarà utile osservare che, se I modelli media-varianza sono correttamente inquadrati nella teoria dellutilità attesa, la varianza non va intesa come una misura della rischiosità della posizione finanziaria X, ma solo come uno dei fattori che la determinano. Essendo individuata unicamente dalla distribuzione di probabilità, la varianza di X misura il grado di incertezza attribuita alla opportunità X da individui che condividono le stesse opinioni probabilistiche, ma non individua il livello di rischiosità che viene effettivamente percepito dai singoli individui e che ne determina, in definitiva, le scelte. In quanto questo dipenderà anche dai diversi gradi di avversione al rischio.

35 Portfolio Selection Nel caso, ad esempio, di un decisore dotato di funzione di utilità quadratica con parametro a, la misura di rischiosità di X, è data da : ϕ(X)=(1/2)aV(X) E sarà quindi diversa dalla rischiosità: ϕ(X)=(1/2)aV(X) Percepita da un altro decisore che assegni ad X la stessa varianza e che abbia anche utilità quadratica, ma con parametro a diverso da a.

36 Portfolio Selection Analisi media-varianza di portafogli azionari La selezione di portafogli di attività rischiose rappreseta lapplicazione principlae dei modelli media-varianza. Lo schema più elementare, cui conviene fare riferimento, è costituito da un modello di mercato strutturato su un solo periodo di tempo, che assumeremo di durata unitaria, ad esempio annua. Si ipotizza che al tempo zero, inizio periodo, siano disponibili sul mercato n titoli rischiosi, che possono essere acquistati ad un prezzo π k (con k=1,2,…,n) noto a tutti gli investitori. L valore a fine periodo del k-esimo titolo è invece sconosciuto al tempo zero, ed è quindi rappresentato da una variabile aleatoria X k (k=1,2,…,n).

37 Portfolio Selection Analisi media-varianza di portafogli azionari Si possono pensare le Xk come le future quotazioni di borsa dei titoli azionari, anche se il modello conserva la sua significatività nel caso di applicazioni diverse. Per semplificare la notazione converrà ragionare in termini di tassi si interesse, in linea, daltra parte, con la consuetudine della matematica finanziaria di condizioni di certezza. La differenza X k – π k rappresenta lincremento di valore, aleatorio, ottenuto acquistando il k-esimo titolo, quindi la variabile aleatoria:

38 Portfolio Selection Rappresenta il corrispondente tasso di interesse, relativo al periodo unitario. Nel linguaggio corrente si usa riferirsi ad I k col termine abbreviato di rendimento. E il caso di osservare che, in condizioni di incertezza, non è garantito che il valore finale X k del titolo azionario sia maggiore del suo valore di acquisto π k, quindi la variabile aleatoria I k può anche assumere determinazioni negative. Se, ad esempio, si investono x lire nel titolo k-esimo, il valore a fine periodo x(1+I k ) dellinvestimento potrà risultare anche minore di x.

39 Portfolio Selection Portafogli di attività rischiose Consideriamo ora un individuo I che investa un capitale certo c in titoli azionari. Se si indica con α k la quota percentuale del capitale dedicata allacquisto del k-esimo titolo, il portafoglio di investimento di I sarà rappresentato dal vettore: Sarà soddisfatta la condizione:

40 Portfolio Selection Valori negativi delle quote α k potranno essere ammessi solamente se si accetta che sul mercato sia consentito effettuare vendite allo scoperto. Dato che il capitale investito nella k-esima azione è cα k, il valore a fine periodo del portafoglio sarà dato da: Quindi il (tasso di) rendimento del portafoglio definito I = (X-c)/c risulterà espresso come:

41 Analisi di Portfolio Analizziamo ora il noto modello di Markovitz utilizzando in seguito Excel. Questo argomento viene trattato sempre di più attraverso l'utilizzo di Excel anche nei Master di finanza presso università di tutto il mondo. Ci Ci prenderemo il tempo necessario per spiegare come il foglio è impostato e come semplici scorciatoie possono fare lanalisi di questo tipo di problema semplice e rapida. Dapprima andremo ad usare un portafoglio a 2 variabili come esempio per mostrare come il rischio di portafoglio e il rendimento con i pesi varino nel determinare i pesi ottimali, con lobiettivo di minimizzazione il rischio, utilizzando sia espressioni lineari che semplice algebra delle matrici

42 Analisi di Portfolio Successivamente andremo ad estendere il numero dei titoli a sette e ad illustrare con algebra delle matrici in Excel che l'analisi di un portfolio con n-asset col modello di Markovitz è semplice come l'analisi di un portafoglio di con due asset. Presteremo particolare attenzione nel mostrare come la matrice di correlazione può essere generata in modo efficiente e come, allo stesso Modo, l'obiettivo di ottimizzazione può essere modificato senza problemi. L'obiettivo non è quello di fornire una approfondita discussione di questo modello, è piuttosto quello di mostrare come può essere implementato all'interno di Excel. Discussioni approfondite di questo modello possono essere trovate in una vasta gamma di libri di testo sulla finanza, compresi Cuthbertson e Nitzsche (2001)(vedi bibliografia)

43 Analisi di Portfolio Tuttavia, vale la pena di fornire una breve panoramica di questa teoria. In sostanza la logica di fondo è basata su singoli aspetti della rischio atteso e del rendimento, con il rischio misurato dalla varianza o deviazione standard dei rendimenti attesi. La frontiera efficiente del portafoglio è data da: 1.Quei titoli che offrono un rendimento maggiore per lo stesso rischio, o in maniera equivalente: 2. Quei titoli che offrono un minor rischio per lo stesso rendimento. La posizione precisa che un investitore assume sulla frontiera efficiente dipende dalla sua funzione di utilità sulla base del rendimento atteso e del rischio, in altre parole funzione l'utilità è inclinata positivamente nel Dominio rendimento / rischio.

44 Analisi di Portfolio Inizialmente supponiamo che questa funzione di utilità sia molto ripida (cioè l'individuo è fortemente avverso al rischio), così la sua posizione ideale è una posizione in cui è il rischio è ridotto al minimo rispetto a solo due beni. In seguito lanalisi è stata estesa per incorporare un maggior numero di attività e / o altri obiettivi di minimizzazione del rischio di portafoglio.

45 Analisi di Portfolio Modello di Markovitz semplificato In un modello di portafoglio di Markovitz semplificato, i rendimenti r p, con due assets modello sono dati da : E la corrispondente varianza dei rendimenti: dove w i rappresenta il peso assegnato al bene i in portafoglio (i = {1, 2}), σ (sigma) quadro rappresentala varianza dei rendimenti dell'attività i (i = {1, 2 }).

46 Analisi di Portfolio Modello di Markovitz semplificato r i rappresenta i rendimenti storici del titolo i (i = {1, 2}) e σ 12 rappresenta la covarianza tra i rendimenti delle attività 1e 2. Utilizzando tale relazione, il coefficiente di correlazione (ρ 12 ) tra due attività può essere calcolato come ρ (rho): E lequazione può essere riscritta come:

47 Analisi di Portfolio Modello di Markovitz semplificato Questa è una versione più conveniente dell'equazione della varianza del portafoglio e una di più facile interpretazione in quanto qui si usa il coefficiente di correlazione che si muove nel range a -1, +1, mentre in precedenza abbiamo espresso la covarianza la cui dimensione era relativo alle varianze individuali dei titoli. Come esempio, in questo modello ci sarà ora la applicano con due indici azionari,cioè, l'indice azionario FTSE per il Regno Unito (WIUTDK $) e l'indice FTSE per le azioni europee che esclude il Regno Unito (WIEXUK $). La frequenza dei dati è settimanale e copre il periodo gennaio 1996 e fine giugno 2002.I dati grezzi e lanalisi relativa all'esempio è inclusa nel file LPLaws001.xls".

48 Analisi di Portfolio Come sottolineato in precedenza, il modello di Markovitz si basa su rendimenti e non direttamente sui prezzi. Il primo compito è quindi quello di generare una serie dei rendimenti in cui il rendimento settimanale è data da : dove P t è il livello di prezzo corrente, P t-1 è il livello dei prezzi nel periodo precedente e log e è la trasformazione logaritmo naturale. Una schermata di questa trasformazione iniziale (contenute nel foglio di lavoro "Returns") è dato in Figura

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50 L'istruzione Excel necessaria ad effettuare questo calcolo,sulla base dei dati grezzi contenute nel foglio di lavoro raw data è indicata nella quarta riga della quarta colonna di questa schermata. Si noti inoltre che in questa presentazione ho arrotondato i dati corretti con due decimali. Al fine di implementare il modello di Markovitz dobbiamo prima di tutto trovare la Media e la deviazione standard di ciascuna delle nostre serie. Questo si può facilmente ottenere in Excel con le funzioni AVERAGE" e "ST.DEV. Per completezza abbiamo anche calcolato le misure di curtosi e asimmetria utilizzando il "KURT" e "SKEW. Queste misure sono riportati nel foglio di lavoro Summary Statistics" e sono riprodotta in figura

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52 Analisi di Portfolio Possiamo vedere che le distribuzioni di entrambe le serie dei rendimenti presentano "picchi" rispetto alla distribuzione normale. L'asimmetria negativa indica anche che la distribuzione ha una coda asimmetrica si estende più verso valori negativi. Ancora più importante, in termini di analisi di Markovitz, possiamo vedere che i dati europei hanno una media settimanale dei rendimenti superiore nel periodo rispetto ai dati Regno Unito, ma una deviazione standard dei rendimenti più elevati. Il correlazione tra i rendimenti è pari a 0,76, e quindi offre qualche opportunità di diversificazione del rischio. La cartella di lavoro portfolio riskimplementa l'equazione riscritta dopo le sostituzioni di cui sopra usando i dati $ WIUTDK e WIEXUK $

53 Analisi di Portfolio Questo risultato è ottenuto sostituendo un intervallo di valori di w 1 da 0a 1, dove 0 significa che il 0% della ricchezza è investita nellindice WIUTDK $ (con il 100%attualmente investito nellindice WIEXUK) e 1 implica che il 100% della ricchezza è investita nellindice WIUTDK $ (con lo 0% investito nel indice WIEXUK). Il risultato di questa analisi è mostrato nella figura della prossima pagina. E 'evidente da questi risultati che, come andiamo a ridurre la percentuale di portafoglio investita nellindice WIUTDK il rischio di portafoglio scende, così Come salgono i rendimenti, poi inizia a salire,all'aumentare del rendimento. Cè quindi un certo beneficio incorporando l indice WIEXUK nel portafoglio.

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55 Analisi di Portfolio Volendo, si può aggiungere un titolo ad ogni grafico e titoli per ogni asse. Infine si finisce con il grafico (figura nella prossima pagina), come illustrato nel foglio di lavoro Efficient Frontier". Qui possiamo vedere che come andando a ridurre la percentuale investita nellindice WIUTDK il rischio di portafoglio scende e aumenta il rendimento, almeno inizialmente. Se il nostro obiettivo è quello di minimizzare il rischio di portafoglio allora ci sono opportunità di investimento nell'indice WIUTDK $. E 'possibile trovare questo ottimale investimento utilizzando calcolo come segue.

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57 Analisi di Portfolio E 'possibile trovare questo ottimale investimento utilizzando calcolo come segue. Vogliamo minimizzare : Variando w1, precisando che w2 = 1-w1. Ciò può essere ottenuto impostando la derivata di σ2 p, il rischio del Portafoglio, rispetto a w1,la percentuale investita nellasset 1, uguale a zero.

58 Analisi di Portfolio Applicando questa formula al nostro set di dati si trovano i risultati della figura della pagina successiva, utilizzando il foglio di lavoro " Minimum Variance Using Eqn. Qui possiamo vedere il mix ottimale degli indici WIUTDK (82%) e WIEXUK (18%) che minimizza il rischio pari a 2,07% a settimana con un rendimento pari allo 0,06% per settimana. Il rischio è inferiore a quello dei singoli titoli.

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60 Approccio Matriciale al Rischio di Portafoglio Lequazione di partenza può essere espressa anche come: Il vantaggio di usare la notazione della matrice è che siamo in grado di generalizzare la formula a n-attività, come segue: σ2 p = w Σ w dove w = (w1, w2,..., wn) è una matrice di covarianza con i termini di Varianza sulla diagonale.

61 Approccio Matriciale al Rischio di Portafoglio L'equazione rendimenti può essere riassunto da: r p = w μ dove μ è un vettore di rendimenti patrimonio storico. La versione lineare dell'equazione di Markovitz diventa particolarmente Ingombrante quando si vuole incorporare più titoli.Poi, oltre ad aggiungere un termine che incorpora il varianza dobbiamo anche includere un termine che incorpora la covarianza/correlazione. Nella figura successiva abbiamo applicato la versione matriciale dell'equazione del rischio di portafoglio creando un mix di attività. Vedrete che il risultato è lo stesso che abbiamo trovato in precedenza.

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63 Approccio Matriciale al Rischio di Portafoglio Dallanalisi svolta possiamo vedere come la modellazione del rischio di portafoglio all'interno di Excel utilizzando matrici piuttosto che la versione lineare dell'equazione relativa al rischio appare molto più conveniente e flessibile. Il file LPLaws002.xls" include i dati su indici azionari europei di sette paesi, tra cui il Regno Unito e costituisce la base di tutte le operazioni di prova. Come prima, questo file contiene una serie di fogli di lavoro, i titoli di cui sono auto-esplicativi. Stiamo andando a utilizzare questo set di dati per mostrare come l'analisi di portafoglio per i portafogli con più di attività può essere modellato all'interno di Excel. Il dataset comprende dati settimanali dei prezzi degli indici.

64 Approccio Matriciale al Rischio di Portafoglio L'elenco dei dati utilizzati è il seguente: FTSE –FINLAND FTSE-IRELAND FTSE-ITALY FTSE-NETHERLANDS FTSE-WORLD FTSE-SWITZERLAND FTSE- UNITED KINGDOM Per evitare problemi di rischio di cambio tutti gli indici sono espressi in euro. Il due fogli di lavoro "Raw Data e Returns includono i dati originali e i logaritmi dei rendimenti settimanali

65 Approccio Matriciale al Rischio di Portafoglio Si noti chela matrice di covarianza può essere complicata relativamente ai calcoli quando il numero dei titoli diventa grande Dobbiamo prestare attenzione quando si utilizza il Funzione "COVAR per assicurarci che siano indicate le cellule corrette. Quando il numero di titoli diventa più grande, è consigliabile utilizzare il seguente metodo per costruire la matrice di Covarianza. dove E è un vettore di eccesso di rendimenti, E è la sua trasposizione e N è il numero di dati (osservazioni).E relativamente facile costruire un vettore di eccesso di rendimenti. Il foglio di calcolo in Figura mostra come il calcolo sia fatto per questo set di dati

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67 Approccio Matriciale al Rischio di Portafoglio Nella sezione "Portfolio Analysis" del foglio di lavoro si usa il metodo della matrice di rischio del portafoglio: per trovare la varianza di un portafoglio equamente ponderato. Per fare questo dobbiamo costruire un vettore colonna dei pesi che rappresenta il vettore w di cui sopra. Dobbiamo poi prendere la trasposta di questo vettore per ottenere il vettore w di cui sopra. La nostra matrice di covarianza (Σ ) è tratto dal foglio di lavoro Summary Statistics.

68 Approccio Matriciale al Rischio di Portafoglio L'algebra delle matrici coinvolte nel calcolo del rischio di portafoglio può essere suddiviso nella seguente moltiplicazione di matrici : vettore (1 x N ) x matrice ( N x N ) x matrice ( N x1) Dove N=7. Prendendo le ultime due operazioni, il risultato che si ottiene è una matrice (N × 1). questo è il risultato che troviamo nelle celle B26 di H26 del foglio di lavoro "Portfolio Analysis". Se moltiplichiamo il vettore (1 × N) per il risultato di sopra (una matrice (N × 1)),otteniamo uno scalare. Tale scalare è la varianza del portafoglio e può essere trovato nella cella B28 (segue figura) Utilizzando questo set di dati si scopre che il rischio di un portafoglio equamente ponderato è 2,46% a settimana con un rendimento del 0,12% a settimana.

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70 Approccio Matriciale al Rischio di Portafoglio Fortunatamente all'interno di Excel non è necessario frazionare questo calcolo in questi singole parti. Il foglio comprende le formule necessarie per combinare le due matrici moltiplicate in una cella e le formule necessarie per eliminare sia la moltiplicazione di matrici che la trasposizione vettore. E 'quindi possibile trovare la varianza del portafoglio dato solo un vettore di pesi di portafoglio e una matrice di covarianza. Andiamo adesso ad utilizzare questo quadro e, insieme con lo strumento Solver di Excel cerchiamo di trovare la composizione del portafoglio che minimizza la varianza del portafoglio.

71 Approccio Matriciale al Rischio di Portafoglio In precedenza, abbiamo usato Solver in un ambiente con due titoli, il peso assegnato alla seconda attività veniva aggiustato automaticamente ai cambiamenti del peso per il primo titolo. All'interno un ambiente N-asset ciò non è possibile e invece dobbiamo aggiungere una serie di vincoli all'interno della casella di dialogo "Solver". La schermata nella figura nella pagina successiva include i i vincoli necessari. Il significato dei vincoli è: $B$5:$B$11<=1 non possiamo investire più del 100% in un solo asset $B$5:$B$11>=0 non possiamo essere short $E$5=1 dobbiamo essere pienamente investiti

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73 Approccio Matriciale al Rischio di Portafoglio Ancora una volta stiamo al minimizzando la varianza del portafoglio (cella B22), ma questa volta piuttosto che variare solo una singola cella, stiamo variando il contenuto del vettore dei pesi (B5: B11). Il risultato mostrato nel foglio di lavoro "Min Variance Portfolio è dato nella figura nella pagina successiva. Questa analisi dimostra che per ottenere la minima varianza di portafoglio dovremmo assegnare il 65% della nostra ricchezza di azioni britanniche, il 28% di azioni svizzere e il 7% di azioni irlandesi. Inoltre, sulla base di questo set di dati non dobbiamo investire alcuna ricchezza in titoli finlandesi, italiani, olandesi o spagnoli.

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75 Sistemi di Trading: Spread Alcuni mercati sembrano avere una forte correlazione, cioè il movimento dei prezzi di un mercato ha un rapporto forte con quella di un indice del mercato, o altro flusso di dati. Abbiamo progettato questo sistema in modo da seguire la variazione percentuale del mercato confrontata con un altro flusso di dati. Abbiamo iniziato con l'idea che se il mercato si sta allontanando dal flusso di dati dellindice riferimento e ci sia quindi una significativa divergenza, il mercato sta probabilmente per tornare a livelli normali nel prossimo futuro. Se la divergenza raggiunge livelli anormalmente elevati, si considera il mercato ipercomprato, e se raggiunge livelli anormalmente bassi, si considera il mercato ipervenduto.

76 Sistemi di Trading: Spread Per esempio, dire che abbiamo visto una marcata correlazione tra l'indice Dow Jones Industrial Average e unazione che stiamo tradando. Quando la variazione percentuale dellazione negli ultimi 10 giorni di negoziazione è molto maggiore rispetto alla variazione percentuale del Dow (nel senso che aumenta lo spread), allora entrariamo nel mercato. La figura mostra una finestra del grafico che contiene due mercati, il mercato Su cui facciamo trading e un indice (tracciati in un sottografo nascosto). Abbiamo applicato il sistema di spread e un indicatore che abbiamo creato, chiamandolo Spread System Ind, quindi abbiamo potuto seguire visivamente la linea di spread. Si noti che quando la linea spread attraversa la fascia di ipercomprato che abbiamo specificato, il sistema genera un segnale short. Al contrario, quando la linea di spread attraversa da sotto la fascia di ipervenduto specificato, il sistema genera un ordine di acquisto

77 Sistemi di Trading: Spread Una componente importante di questo sistema è il livello definito per l'ipercomprato e ipervenduto bande. Abbiamo usato gli ingressi per i livelli, in questo modo

78 Sistemi di Trading: Spread Per uscire dalle nostre posizioni, useremo il trailing stop, ma aspetteremo che la posizione generi qualche profitto prima di effettuare le uscite. Stiamo cercando di comprare al supporto e vendere al resistenza, e quando abbiamo posto un trailing stop, vogliamo catturare i profitti, quindi, ci toccherà aspettare che il sistema sia in grado di generare un profitto. Per posizionare il trailing stop, useremo i nostri criteri standard e usciremo dalle nostre posizioni lunghe al minimo più basso delle ultime 6 barre e usciremo delle nostre posizioni corte al massimo più alto delle ultime 6 barre. Anche in questo caso, metteremo questi ordini solo una volta che avremo registrato un profitto

79 Sistemi di Trading: Spread Inoltre, poiché questo è un sistema di supporto e resistenza, è possibile che il sistema sia bloccato in una posizione. Cioè, in una posizione che non sta necessariamente perdendo soldi, ma non genera alcun profitto. Pertanto, avremo ordini di uscita una volta siamo stati in una posizione più di sei barre e il risultato, in termini di guadagno, è inferiore a 100 dollari. Come ultimo metodo di controllo del rischio, abbiamo intenzione di utilizzare uno stop monetario per la gestione della posizione. Il livello di stop, l'importo per questo stop dipenderà da quanti soldi abbiamo investito.

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