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La sensitivity analysis nellottimizzazione convessa quadratica perturbata: una generalizzazione del Modello Media-Varianza Massimiliano Kaucic Trieste,

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1 La sensitivity analysis nellottimizzazione convessa quadratica perturbata: una generalizzazione del Modello Media-Varianza Massimiliano Kaucic Trieste, 23/06/2004

2 Il modello Media-Varianza Le fondamenta della teoria moderna di selezione dei portafogli sono costituite dai risultati di Markowitz circa la costruzione di portafogli in condizioni di incertezza da parte di investitori razionali. I parametri fondamentali per lanalisi sono la media e la varianza del rendimento del portafoglio.

3 Ottimizzazione in Markowitz Il modello M-V proposto da Markowitz si pone lobiettivo di costruire un insieme di portafogli che soddisfino alle seguenti proprietà: 1. aver il più alto livello di rendimento atteso per un dato livello di rischio; 2. aver il più basso livello di rischio per un dato livello di rendimento. I portafogli che soddisfano a questi due punti sono detti ottimali.

4 Linsieme dei portafogli ottimali viene detto frontiera efficiente. La determinazione di questo insieme richiede la formulazione e risoluzione di un problema di programmazione quadratica parametrico. Si tratta di massimizzare una funzione concava dellutilità attesa dellinvestitore.

5 Dettagli sul modello M-V Lobiettivo perseguito in questa prima parte è quello di studiare le caratteristiche principali del modello M-V e di portare allattenzione un algoritmo di calcolo per i portafogli introducendo dei vincoli lineari sulle frazioni di investimento.

6 Caratteristiche del problema La funzione di utilità studiata è dove è il vettore delle frazioni di investimento; è il vettore dei rendimenti attesi (o dei tassi) dei titoli; è la matrice delle covarianze dei titoli;

7 rappresenta la tolleranza al rischio dellinvestitore. Nota: ci sono stati molti studi riguardo ai valori da attribuire a questo ultimo parametro, il mio lavoro non vuole entrare nel dettaglio di questa letteratura ma vuole semplicemente essere uno studio delle caratteristiche matematiche del problema. Per gli interessati: risultati empirici su questo argomento si possono trovare in Kallberg e Ziemba (1983) Comparison of alternative utility functions in portfolio selection problems.

8 Formalizzazione del problema parametrico Determinare: al variare di λ, sotto i vincoli lineari che rappresenta un insieme di restrizioni sul vettore X che rappresenta la frazione k che voglio impiegare nelloperazione finanziaria che rappresenta la regione di definizione delle X

9 Possibile estensione Unulteriore classe di vincoli sulle frazioni di investimento è la seguente: Nota: lespressione di questo vincolo può però essere ricondotta ad un vincolo precedente con lintroduzione di una o più variabili ausiliarie.

10 Un po di definizioni 1.Una variabile di stato X i si dice down se: 2. Una variabile di stato X i si dice up se: 3. Una variabile di stato X i si dice in se:

11 Il metodo impiegato Per la risoluzione del problema mi sono avvalso del procedimento esposto in Markowitz (1956) The optimization of a quadratic function subject to linear constraints e noto come Critical Line Method. La strategia di calcolo si fonda sul Simplex Method.

12 Esempio dimostrativo Tratto dal sito mia_opt3.html mia_opt3.html Per i titoli considerati, il periodo storico impiegato e altre caratteristiche economiche si rimanda linteressato al sopra citato sito.

13 Dati in Input standard Dove e sono i rendimenti attesi, StdDev le loro deviazioni standard e Corr la matrice delle correlazioni.

14 Vincoli Nota: la matrice C viene determinata a partire da Corr e StdDev mediante la relazione

15 Utility hill per λ=50

16 Come varia la composizione del portafoglio λXk AX=b X>LB X

17 Lapproccio al problema Fase 1: Se pensassimo di risolvere la questione andando a vedere cosa succede variando λ, ci porremmo nella situazione di dover, ad ogni passo, risolvere un problema quadratico convesso, con costi computazionali considerevoli. Nota: questo approccio è utile quando si deve risolvere il problema per un numero ristretto di valori di λ.

18 Fase 2: Nel momento in cui vogliamo andare a vedere come cambia la composizione del portafoglio al variare di λ, ci accorgiamo che il punto centrale diventa il passaggio delle variabili X i da uno stato allaltro (ad esempio, da in ad up) in relazione a λ. Lidea alla base di questo lavoro è proprio questa: studiare i cambiamenti nelle variabili di stato con λ. Si dimostra che solo un numero finito di volte si verifica tale situazione. È quindi possibile costruire degli intervalli in cui le composizioni dei portafogli non cambiano stato. In altri termini, ci riconduciamo a studiare un numero ristretto di valori di λ e di composizioni X.

19 Corner Portfolios I portafogli che costituiscono il passaggio da uno stato ad un altro nelle frazioni di investimento sono detti corner portfolios. Ogni portafoglio viene costruito, fissato λ, come combinazione dei due portafogli ad angolo A e B per cui

20 Risultati dellesempio Tabella dei corner portfolios: λABC <= >=

21 In questo grafico si può vedere la composizione del portafoglio di tre titoli al variare di λ (che ho chiamato rt).

22 Frontiere efficienti a confronto

23 Frontiera efficiente accettabile

24 Ingrandimenti

25 Un metodo alternativo Wolfe (1959) The simplex method for quadratic programming. Il metodo è noto come long form ed è basato sulla sensitivity analysis. Consiste nel trasformare il problema quadratico in uno lineare.

26 Un nuovo approccio alla programmazione quadratica In alternativa allapproccio classico basato sulle optimal bases nel simplex method ho studiato limpiego della sensitivity analysis nellinterior point method. Linformazione prodotta dal metodo classico può risultare confusa a causa della non unicità della base ottimale.

27 Le fondamenta dello studio Il problema diventa trovare : dove simmetrica e semidefinita positiva matrice di rango m

28 Main Tools Wolfe duality theorem Complementary condition Maximal complementary solution Optimal tri-partition e optimal sets Critical Line MethodSensitivity Analysis corner portfoliotransition point efficient frontieroptimal value function

29 Pregi del metodo Come in Markowitz, i punti della optimal value function corrispondono ad intervalli del parametro su cui la partizione è costante Il metodo è una estensione del modello di Markowitz anche in caso di degenerazione, grazie alla nozione di tri-partition sets

30 Osservazioni sullo studio condotto Il metodo è ancora in fase di sviluppo e perfezionamento Una possibile estensione è nella direzione dei modelli M-V: considerare i casi in cui il parametro λ influenza non solo le preferenze rischio-rendimento ma anche i vincoli sulle risorse da investire.

31 Esempio illustrativo (non finanziario)

32 Transition points, optimal partitions BNT λ =-8{3,5}{1,4}{2} -8< λ<-5{2,3,5}{1,4}Ø λ =-5{2}{1,3,4,5}Ø -5< λ<0{1,2}{3,4,5}Ø λ =0{1,2}Ø{3,4,5} 0< λ<1.74{1,2,3,4,5}ØØ λ=1.74{2,3,4,5}Ø{1} 1.74< λ<3.33{2,3,4,5}{1}Ø λ =3.33{3,4,5}{1}{2} 3.33< λ<+{3,4,5}{1,2}Ø

33 Optimal Value Function

34 Esempio illustrativo tratto da Vörös (finanziario) Il problema analizzato è dove

35 Transition points, optimal partitions BNT λ =0.237{3}{1,2,4,5}Ø 0.237<λ<0.505{1,3,4}{2,5}Ø λ =0.505{1,3,4}{5}{2} 0.505<λ<0.520{1,2,3,4}{5}Ø λ =0.520{1,2,4}{5}{3} 0.520<λ<1.065{1,2,4}{3,5}Ø λ=1.065{1,2,4}{3}{5} 1.065<λ<1.145{1,2,4,5}{3}Ø λ =1.145{1,2,5}{3}{4} 1.145<λ<1.392{1,2,5}{3,4}Ø λ =1.392{1,5}{3,4}{2} 1.392<λ<1.780{1,5}{2,3,4}Ø λ =1.780{1}{2,3,4,5}Ø


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