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IO: VII Lezione (P. Bertoletti)1 Lezione VII: Competizione oligopolistica Oligopolio: poche imprese, non così piccole da implicare che le loro decisioni.

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1 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)1 Lezione VII: Competizione oligopolistica Oligopolio: poche imprese, non così piccole da implicare che le loro decisioni non abbia- no un significativo impatto sulle rivali. Ex:1) Coca Cola vs Pepsi Cola; 2) Compaq vs Dell; 3) Tim vs Vodafone.

2 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)2 Il modello di Bertrand (1883) Punti di partenza: La fissazione dei prezzi è una componente cruciale del processo decisionale di unim- presa. In oligopolio, la domanda che si rivolge ad unimpresa (e quindi i suoi profitti) dipende anche dai prezzi praticati dalle concorrenti.

3 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)3 Nella sua versione duopolistica, il modello di Bertrand assume: 1)due imprese (1 e 2), indicate da i e j (i, j = 1,2, i j); 2)costi marginali/medi costanti e identici: C i (q i ) = cq i ; 3)prodotto omogeneo (e consumatori informati). Segue da (3) che (con D(p) domanda di mercato): 0 se p i > p j D i (p i, p j ) =D(p i )/2se p i = p j D(p i )se p i < p j domanda per il prodotto dellimpresa i.

4 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)4 La domanda per il prodotto dellimpresa i, D i (p i, p j ). pipi qiqi pjpj D(p): curva di domanda di mercato D(p j )/2D(pj)D(pj) D i (p i, p j ) ·

5 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)5 Si supponga che le imprese debbano scegliere simultaneamente i loro prezzi. Chiaramente, la situazione descritta è quella di un gioco di strate- gia, in cui le decisioni di ciascuna impresa dipen- dono dalle congetture sul prezzo della rivale. Le funzioni di payoff rilevanti sono date, ovviamente, dal valore dei profitti: i (p i, p j ) = p i D i (p i, p j ) – C i (D i (p i, p j )) = (p i - c)D i (p i, p j )

6 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)6 Si ragioni in termini di risposta ottima dellimpresa i: se p j > p m > p i * = p m, se p m p j > c> p i * = p j - (cioè, appena meno, del rivale) se c p j > p i * = c (ovvero, p i * > p j, sicco- me il profitto è comunque nul- lo).

7 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)7 Graficamente: pipi pjpj c c pmpm pmpm 45° pi*(pj)pi*(pj) Risposta ottima o curva di reazione di i

8 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)8 Un NE del gioco di Bertrand è nullaltro che una coppia di prezzi (p 1, p 2 ) (detta Equilibrio di Bertrand) tale che nessuna impresa possa deviare convenientemente. Ciò richiede che debba valere: p 1 = p 1 *(p 2 ) e p 2 = p 2 *(p 1 ), ovvero che le curve di reazione si interse- chino ad un NE.

9 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)9 Graficamente: pipi pjpj c c pmpm pmpm 45° pi*(pj)pi*(pj) Curva di reazione di i pj*(pi)pj*(pi) Curva di reazione di j N N = Equilibrio di Bertrand

10 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)10 Chiaramente, la coppia di prezzi (p 1 N = c, p 2 N = c) è lunico equilibrio di Bertrand! Laspetto cruciale è lincentivo a ribassare il prezzo della concorrente. Si supponga che p j = p > c: se p i = p j = p > i = D(p)(p - c)/2 se p i = p - > i = D(p - )(p - - c) con i 2 i se è sufficientemente piccolo. nessuna coppia (p, p) può essere un NE (poiché il gioco è simmetrico è naturale che lo sia anche il suo equilibrio).

11 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)11 Si noti il cosiddetto Paradosso di Bertrand: Persino con due sole imprese (al posto di un monopo- lio) il prezzo di equilibrio risulta (come in concorren- za perfetta) uguale al costo marginale, e dunque i pro- fitti sono nulli (e sarebbero negativi se vi fossero dei costi fissi)! Questo risultato è contraddetto dallevidenza empiri- ca, che suggerisce: 1) normalmente i duopolisti fanno profitti elevati; 2) laumento del numero dei competitori diminuis- ce gradualmente il prezzo di mercato.

12 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)12 Il paradosso di Bertrand: spiegazioni Possibili spiegazioni fanno riferimento alla pos- sibilità che non basti un piccolo ribasso per otte- nere tutta la domanda, o comunque che non sia conveniente ribassare il prezzo delle concorrenti. Ciò accade se: 1) i prodotti sono differenziati (non basta un pic- colo ribasso per ottenere lo spostamento di tutti i consumatori: cap. 12); 2) linterazione è dinamica (abbiamo visto che nei giochi ripetuti occorre esaminare leffetto collegato a possibili future ritorsioni a comporta- menti opportunistici: cap. 8).

13 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)13 Modello di Bertrand: estensioni 1) Prima di esaminare una terza via di fuga dal paradossale risultato di Bertrand, consideriamo cosa accadrebbe in una versione oligopolistica, con n > 2 imprese simmetriche, del precedente modello di duopolio. Non è difficile capire che in tale versione lequili- brio di Nash prevede che almeno due imprese scelgano il prezzo uguale al costo marginale, men- tre tutte le altre sceglieranno un qualunque prezzo non inferiore. Si conferma dunque lirrilevanza del numero di imprese (purché maggiore di 1).

14 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)14 Modello di Bertrand: estensioni continuazione 2) Si consideri il caso asimmetrico in cui: C 1 (q 1 ) = c 1 > c 2 = C 2 (q 2 ). Si rammenti ora che il prezzo di monopolio di unimpresa dipende dal suo costo margi- nale (a parità di domanda). Perciò la prece- dente assunzione implica anche che, in generale: p 1 m > p 2 m.

15 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)15 p1p1 p2p2 c2c2 c1c1 p2mp2m p1mp1m 45° p1*(p2)p1*(p2) N = Equilibrio di Bertrand asimmetrico p2*(p1)p2*(p1) N Graficamente: c1c1 c2c2 p1mp1m p2mp2m

16 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)16 Nellequilibrio asimmetrico sopra descritto: NE: (p 1 N = c 1, p 2 N = c 1 - ) Ovvero, limpresa 2, più efficiente, spiazza limpresa 1, ribassando il costo marginale della concorrente e ottenendo il profitto: 2 N = (c 1 - – c 2 ) D(c 1 - ) (c 1 – c 2 ) D(c 1 ) Limpresa 1, meno efficiente, pratica un prezzo marginalmente superiore alla concorrente, non vende pertanto nulla e ottiene un profitto nullo.

17 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)17 Duopolio di Bertrand asimmetrico: continuazione Si noti che lequilibrio asimmetrico è sostanzial- mente equivalente alla coppia di prezzi: (p 1 = c 1 +, p 2 = c 1 ). Si noti inoltre che esso è valido se i costi marginali non sono troppo differenti (c 1 p 2 m ). Se invece fosse c 1 > p 2 m, allora lequilibrio sareb- be: (p 1 N = c 1, p 2 N = p 2 m ), con 2 N = 2 m e 1 N = 0.

18 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)18 Un altro modo di sfuggire al risultato di Bertrand è supporre che vi siano vincoli di capacità (Edgeworth, 1897) Ex: supponiamo che limpresa i abbia capacità produttiva k i (quindi q i k i ), i = 1,2. Ne segue che persino se fosse p i > p j limpresa i dovrebbe disporre di una domanda residuale positiva se D(p i ) > k j (data appunto da D(p i ) - k j ). E facile vedere che, in tale contesto, il risultato di Bertrand non si applica se le capacità produttive, appunto, non sono troppo grandi.

19 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)19 Graficamente (P 2 (q) = P(q + k 1 ) è la curva di do- manda residuale dellimpresa 2): p*p* p P(q)P(q) 0 q P2(q)P2(q) k1+k2k1+k2 k1k1 k2k2 R2(q)R2(q) p* = P 2 (k 2 ) = P(k 1 + k 2 ) R2(k2)R2(k2)

20 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)20 Supponiamo per semplicità che i costi marginali siano nulli (cioè C 1(q 1 ) = C 2(q 2 ) = 0). (p 1 = p*, p 2 = p*) è un NE del gioco di Bertrand con i vincoli di capacità indicati graficamente. Per vederlo, consideriamo limpresa 2 (per laltra impresa il ragionamento sarebbe simile), supponendo p 1 = p* : a) un prezzo p 2 < p* non sarebbe conve- niente, poiché si venderebbe comunque la quantità k 2 ad un prezzo inferiore.

21 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)21 Vincoli di capacità: continuazione b) un prezzo p 2 > p* non sarebbe invece conve- niente perché limpresa per la quantità q 2 = k 2 ha un ricavo marginale, R 2 (k 2 ), maggiore del costo marginale, C 2(k 2 ) = 0, e dunque vorrebbe sem- mai vendere di più (anche ad un prezzo inferiore). Q.E.D. Più in generale, se k i < D(c) il risultato di Bertrand non vale.

22 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)22 Inoltre: Si può mostrare che, se le imprese decidono prima quanta capacità produttiva installare e poi quali prezzi praticare (in un gioco a due stadi), nellunico SPNE di tale gioco emerge esattamente la situazio- ne sopra illustrata (Kreps & Sheinkman, 1983). Le imprese scelgono cioè strategicamente la capa- cità installata (nel lungo periodo) per rendere credi- bile che non abbasseranno (nel breve periodo) il prezzo sino al costo marginale, ottenendo così pro- fitti positivi.

23 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)23 Infine: Si noti che il precedente risultato con vincoli di capacità si applicherebbe anche al caso nel quale le quantità di prodotto da vendere (se non troppo elevate) venissero realizzate prima della determinazione dei prezzi. In tal caso, cioè, il prezzo di equlibrio (p i = p*) sarebbe quello in grado di far assorbire al mercato tutto loutput prodotto dalle im- prese (p* = P(q 1 + q 2 )).

24 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)24 Il Duopolio di Cournot (1838) Il modello di Cournot si basa esattamente su que- stultima ipotesi. Ovvero, assumendo omogeneità del prodotto, immagina che le (due) imprese scel- gano simultaneamente le loro quantità (piuttosto che i loro prezzi), nellipotesi che il prezzo sarà quello che permette al mercato di assorbirle. Cioè: p = P(q 1 + q 2 ), dove P(q) è la curva (inversa) di domanda del mercato, e q = q 1 + q 2 la quantità prodotta com- plessivamente.

25 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)25 Duopolio di Cournot: continuazione Nella forma normale del gioco di Cournot: a) le imprese 1 e 2 (simmetriche nel caso base) scelgono simultaneamente q 1 e q 2 ; b) le funzioni di payoff per ciascuna impresa sono date dal valore del loro profitto: i (q i, q j ) = P(q 1 + q 2 )q i – cq i (assumendo costi unitari costanti).

26 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)26 Ancora una volta, per risolvere il gioco, si con- sideri la funzione di risposta ottima (o curva di reazione) dellimpresa i, q i *(q j ): Se limpresa i si aspetta la produzione della quan- tità q j da parte del suo concorrente, il suo compor- tamento ottimale è quello di un monopolista che abbia come curva di domanda la domanda resi- duale data da: P i (q i ) = P(q i + q j ), e dunque ricavo marginale pari a: R i (q i ) = P i(q i )q i + P i (q i ) = P(q)q i + P(q).

27 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)27 Ex: q i * è la risposta ottimale a q j. p P(q)P(q) 0 q Pi(qi)Pi(qi) q i * + q j qjqj qi*qi* Ri(qi)Ri(qi) R i (q i ) = P(q)q i + P(q) q = q i + q j P i (q i *) C c

28 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)28 Si notino i due casi particolari: 1) se q j = 0 q i * = q m (poiché P i (q i ) = P(q i )) 2) se q j = q e (dove P(q e ) = c) q i * = 0 (poiché P i (0) = c) Il risultato (2) dipende dallassunzione di co- sti marginali costanti, ed è illustrato nel pros- simo grafico.

29 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)29 Ex: q i * = 0 è la risposta ottimale a q j = q e. p P(q)P(q) q Pi(qi)Pi(qi) q i * = 0 Ri(qi)Ri(qi) C c q j = q e

30 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)30 Laumentare di q j diminuisce necessaria- mente la curva di domanda residuale di i. Ciò suggerisce che la funzione q i *(q j ) sia decre- scente, compresa tra un valore massimo pari alla quantità di monopolio e un valore minimo nullo. Tale congettura risulta confermata nel caso, cui ora rivolgiamo la nostra attenzione, in cui anche la domanda risulti lineare. Tuttavia, se la domanda non fosse concava (e la funzione di costo non fosse convessa), tale risulta- to non sarebbe garantito.

31 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)31 Ex: il caso lineare (P(q) = a – bq, a > c) i (q i, q j ) = R i (q i,q j ) – C( q i ) = P(q i + q j )q i – cq i La FOC per la massimizzazione dei profitti di i confer- ma che una sua risposta ottima alla quantità q j della concorrente deve soddisfare la condizione che il suo ricavo marginale, R i / q i = P(q)q i + P(q), sia pari al suo costo marginale, c: i / q i = P(q)q i + P(q) – c = 0.

32 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)32 Il caso lineare: continuazione Sostituendo i parametri della domanda si ottiene: - bq i + a – bq i – bq j – c = 0 q i *(q j ) = (a – c)/(2b) – q j /2 (si noti che la SOC 2 i / q i 2 = P(q)q i + 2P(q) = 2 R i / q i 2 = - 2b < 0 è soddisfatta).

33 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)33 Il caso lineare: continuazione Si noti che : dq i */dq j = - ½, q i *(0) = (a – c)/(2b) = q m, q i *(q e ) = 0 (dove q e = (a – c)/b).

34 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)34 Il caso lineare graficamente: qeqe 0 qjqj q i *(q j ) qmqm qiqi tg = 1/2 q i *(q j ) è la curva di reazione di i.

35 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)35 Come nel caso del modello di Bertrand, lequilibrio di Nash del gioco di Cournot può essere localizzato come intersezione delle curve di reazione. Ovvero, un Equilibrio di Cournot è costituito da una coppia di quantità (q 1, q 2 ) tali che: q 1 = q 1 *(q 2 ) e q 2 = q 2 *(q 1 ) (ovviamente, le curve di reazione saranno sim- metriche se lo sono le imprese, e simmetrico sa- rà lequilibrio, che può pertanto essere identifi- cato anche attraverso la condizione q i N = q i *(q i N ), dove lapice N indica i valori di equilibrio).

36 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)36 Graficamente (caso lineare): qeqe 0 qjqj qmqm q i *(q j ) qmqm qiqi tg = 1/2 N è lEquilibrio di Nash del gioco di Cournot. qeqe q j *(q i ) 45° qjNqjN qiNqiN N

37 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)37 Il caso lineare - conclusione: Risolvendo il sistema dato dalle due curve di reazione si ottiene in effetti facilmente che: q 1 N = (a – c)/(3b) = q 2 N, q N = q 1 N + q 2 N, p N = P(q N ) = (a + 2c)/3. Perciò: q e > q N > q m e p m > p N > p e = c, e anche W e > W N > W m.

38 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)38 Graficamente: q e > q N > q m. qeqe 0 qjqj qmqm qi*qi* qmqm qiqi. qeqe qj*qj* N q i + q j = q e q i + q j = q m tg = 1

39 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)39 I precedenti risultati suggeriscono che, dal pun- to di vista del benessere collettivo, il duopolio (à la Cournot) sia una forma di mercato in- termedia tra il monopolio e la concorrenza per- fetta. Con imprese identiche (e costi unitari costanti) tale conclusione vale in effetti in generale e non nel solo caso lineare. Nelle valutazioni di efficienza comparata occorre in- vece tenere conto delle differenze di costo, e della presenza di eventuali economie di scala, se le tecno- logie sono differenti e/o con costi unitari variabili.

40 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)40 Modello di Cournot: estensioni Il modello duopolistico sopra presentato si estende comunque facilmente al caso di imprese asimme- triche e costi marginali crescenti. Supponiamo che sia C 1 > C 2. Ciò implica che risulti: q 1 m < q 2 m e q 1 e < q 2 e come mostriamo nel grafico seguente.

41 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)41 Imprese asimmetriche: C 1 (q) > C 2 (q) P(q)P(q) 0 q q2eq2e R(q)R(q) C 2 C 1 q1eq1e q2mq2m q1mq1m

42 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)42 Modello di Cournot: estensioni Manipolando la FOC che definisce la curva di reazione si ottiene facilmente che: P(q)q i + P(q) = C i(q i ) ovvero L i (q i, q j ) = (P(q) - C i(q i ))/P(q) = -P(q)q i /P(q) = s i (q i, q j )/ (q) dove è lelasticità della domanda, L i è lindice di Lerner dellimpresa i e s i = q i /q è la sua quota di mercato.

43 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)43 Modello di Cournot: estensioni Perciò, nellequilibrio di Cournot: L i N = s i N / N, dove L i N = L i (q i N, q j N ), s i N = s i (q i N, q j N ) e N = (q N ). Poiché il prezzo di equilibrio sul mercato è unico, ne segue che limpresa col costo marginale più elevato avrà la minore quota di mercato.

44 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)44 Imprese asimmetriche – il caso lineare Si noti che, nel caso lineare, (q) = (a - bq)/(bq). Perciò, se le imprese sono simmetriche, la precedente condizione diventa: (a – bq N – c)/(a – bq N ) = s i N bq N /(a – bq N ), ovvero (s i N = ½) a – bq N - c = bq N /2, e quindi q N = 2(a – c)/(3b) = 2q e /3, come già sapevamo.

45 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)45 Imprese asimmetriche – il caso lineare continuazione Si noti che la quantità del monopolista si ottiene dalla formula precedente ponendo s i N = 1. Intuitivamente, poiché se diminuisse il proprio prezzo ciascuna impresa sottrarrebbe anche clienti al competitore, tutto è come se lelasticità della domanda fosse aumentata (da a /s i ). Se ora C 1 = c 1 > c 2 = C 2, la precedente condizione si sdoppia in: a – bq N – c 1 = bq 1 N e a – bq N – c 2 = bq 2 N.

46 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)46 Imprese asimmetriche – il caso lineare continuazione Sommando le due precedenti espressioni si ottiene facil- mente: q N = (2a – c 1 – c 2 )/3b = 2(a – (c 1 + c 2 )/2)/3b, p N = P(q N ) = (a + c 1 + c 2 )/3, e perciò q i N = (a + c j – 2c i )/3b, s i N = (a + c j – 2c i )/(2a – c i – c j ), L i N = (a + c j – 2c i )/(a + c i + c j ). con s i N > s j N e L i N > L j N se e solo se c i < c j.

47 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)47 Imprese asimmetriche – il caso lineare conclusione 1 I medesimi risultati si ottengono riderivando le curve di reazione e mettendole a sistema. In particolare, dalla FOC: i / q i = P(q)q i + P(q) – c i = 0, si ottiene immediatamente che: q i *(q j ) = (a – c i )/(2b) – q j /2.

48 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)48 Imprese asimmetriche (caso lineare): p 2 m > c 1 > c 2 q2eq2e 0 q1q1 q1mq1m q 2 *(q 1 ) q2mq2m q2q2 tg = 1/2 q 2 N > q 1 N q1eq1e q 1 *(q 2 ) 45° q1Nq1N q2Nq2N N q2m < q1eq2m < q1e

49 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)49 Imprese asimmetriche – il caso lineare conclusione 2 Si noti graficamente che lequilibrio fin qui descritto richiede che q 2 m q 1 e, ovvero: p 2 m = (a + c 2 )/2 c 1. Se invece fosse c 1 > p 2 m, ovvero le differenze tra i costi marginali fossero così grandi da spiazzare del tutto limpresa meno efficiente, allora si otterrebbe: q 1 N = 0, q 2 N = (a - c 2 )/2b = q 2 m come indicato nel grafico seguente (si rammenti che, nel caso lineare, q i *(q j ) = 0 se q j q i e ).

50 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)50 Imprese asimmetriche (caso lineare): c 1 > p 2 m q2eq2e q1q1 q1mq1m q 2 *(q 1 ) q 2 N = q 2 m q2q2 tg = 1/2 q1eq1e q 1 *(q 2 ) 45° q 1 N = 0 N q2m > q1eq2m > q1e

51 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)51 Bertrand (B) vs Cournot (C) Il modello di Bertrand è nato storicamente come una critica a quello di Cournot, che metteva al centro dellanalisi le scelte di produzione piuttosto che quelle di prezzo. Le implicazioni dei due modelli sono in effetti molto diverse: B: p B = c q B = q e.

52 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)52 Manipolando la FOC che definisce le curve di reazione si ottiene invece: C: p C = c – P(q C )q i C > c q C < q e (mark up oligopolistico). Qual è il modello giusto? Dipende dal tipo di industria. Se le imprese devono scegliere oltre ai prezzi anche la loro capacità produttiva (o leffettivo livello di pro- duzione), allora quale modello risulti più ade- guato dipende dallordine temporale delle decisioni.

53 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)53 Usando un modello di gioco a due stadi: 1) se le scelte di capacità produttiva (o di output) sono più difficili (richiedono più tempo) da modificare di quelle di prezzo: LP: k, q Cournot BP: p

54 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)54 2) se invece è più facile modificare loutput che i prezzi: (in effetti il modello di Bertand prevede che le imprese soddisfino tutta la domanda che si rivolge loro (in assenza di vincoli di capa- cità produttiva)). LP: p Bertrand BP: k, q

55 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)55 Molte industri sembrano più vicine allo scena- rio previsto dal modello di Cournot. Ex: acciaio, automobili, computer, videogame (nel 1999 la Nintendo cambiò i suoi prezzi unora dopo che laveva fatto la Sony!). Per altre, comunque, lipotesi che le quantità possano adeguarsi quasi istantaneamente non è fuori luogo. Ex: servizi bancari, assi- curativi, software (si rammenti che il risulta- to di Bertrand richiede anche uniformità di prodotto e interazione one shot).

56 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)56 Qualche applicazione dei modelli oligopolistici Il confronto tra i valori di equilibrio di un modello in corrispondenza di differenti valori delle variabi- li esogene è detto esercizio di statica comparata. Ex. 1: costo degli input e prezzo del prodotto. In un equilibrio (di lungo periodo) di concorrenza perfetta, se i costi di produzione aumentano nella stessa proporzione aumenta anche il prezzo del prodotto (indipendentemente dallelasticità della domanda).

57 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)57 Cosa accade in oligopolio (ragionamento simile si potrebbe fare per il monopolio)? Supponiamo: 1.Duopolio à la Cournot 2.Imprese identiche, fondamentali lineari 3.Un aumento del costo marginale: C = c c° = C° > c

58 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)58 La curva di reazione si sposta verso il basso: p P(q)P(q) 0 q qmqm qm°qm°qeqe R(q)R(q) q e > q e °, q m > q m ° C c C°C° c°c° qe°qe°

59 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)59 Lequilibrio si sposta lungo la retta a 45°: qeqe 0 qjqj q i *(q j ) qmqm qiqi 45° q N > q N ° q i *°(q j ) qm°qm° qe°qe° N N°N°

60 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)60 Riprendendo le formule per il caso lineare a- simmetrico, si ottiene : p N = P(q N ) = (a +2c)/3 = c, dove = (a/(3c) + 2/3) > 1. Perciò p N / c = 2/3, e dp N = 2/3dc. Ovvero: dp N /p N = (2/3)dc/p N = ((2/3)/ )dc/c. Perciò laumento del prezzo è proporzionalmente meno di 2/3 di quello del costo marginale!

61 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)61 Lintuizione del risultato precedente è semplice: In duopolio il prezzo è più elevato del costo, ma il mark up dipende dallelasticità della domanda. Se laumento del prezzo causato dallau- mento del costo fa aumentare lelasticità (come nel caso lineare), allora questultimo viene passato solo parzialmente al prezzo, che cresce meno che proporzionalmente.

62 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)62 Ex. 2: Fluttuazioni del tasso di cambio e quo- te di mercato. Supponiamo che unimpresa statunitense e unim- presa europea competano à la Cournot sul mercato USA, con fondamentali lineari. Inoltre C U = c U = 10$ e C E = c E = 10. Inizialmente, il cambio sia 1$ = 1. Supponiamo che il cambio si rivaluti successivamente a favore del dollaro del 100%, ovvero 1$ = 2 e quindi, tradotto in dollari, c E ° = 5$. Cosa accadrà? La curva di reazione dellimpresa europea si allontanerà dallorigine, mentre quella dellimpresa statunitense non si muoverà.

63 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)63 Graficamente, lequilibrio si sposta lungo la curva di reazione dellimpresa statunitense: qEe°qEe°0 qUqU qUmqUm q E *°(q U ) qEm°qEm° qEqE tg = ½ tg = 1 tg = 2 qUeqUe 45° N°N° qN°qN° qEmqEm qEeqEe q U *(q E ) N q E N ° > q E N = q U N > q U N ° e q N < q N °

64 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)64 Si noti che la retta di inclinazione unitaria (di e- quazione q U + q E = q N °) che passa per N° e sopra il punto N dimostra che nel nuovo equilibrio la quan- tità complessivamente prodotta è aumentata (ovvero q N ° > q N ). Lo stesso risultato si ottiene riconsiderando la formula: q N = 2(a – (c 1 + c 2 )/2)/3b, dalla quale si deduce che lammontare comples- sivamente prodotto nellequilibrio di Cournot a- simmetrico dipende dal valore medio dei costi marginali.

65 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)65 Calibrazione: Si parla di calibrazione quando i valori di equili- brio delle variabili vengono utilizzati per determi- nare i valori dei parametri dei fondamentali. Nel nostro esempio, se p N = 20$, allora deve esse- re: a = 3p N – 2c = 40$. Perciò: s E N ° = ( – 10)/(80 – 10 – 5) = 40/65 61,54%

66 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)66 Si noti che: Il dimezzamento del costo unitario dellimpresa europea comporta laumento della sua quota di mercato solo di poco più del 20% (da 0, 5 a circa 0,62). In effetti, è il caso di notare che lequilibrio di Cournot non distribuisce in maniera efficiente la produzione tra le imprese, diversamente da quanto accade in concorrenza perfetta (al fine di minimiz- zare il costo complessivo, tutta la produzione do- vrebbe essere realizzata dallimpresa europea).

67 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)67 Quale somma (fissa) dovrebbe essere di- sposta a pagare limpresa 2 per accedere alla nuova tecnologia? Ex. 2: Innovazione e profitti. Supponiamo che, in presenza di fonda- mentali lineari, le imprese duopolisti- che utilizzino tecnologie di diversa an- zianità. In particolare, assumiamo: c 1 < c 2.

68 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)68 La risposta è naturalmente data dalla differenza nei profitti dellimpresa 2 nelle due situazioni (con la nuo- va o con la vecchia tecnologia), ovvero: 2 N ° - 2 N. Riprendendo le formule del caso asimmetrico (che naturalmente ci dicono che limpresa più efficien- te, che produce di più con un margine di profitto unitario più elevato, farà maggiori profitti): i N = (p N - c i )q i N = [(a + c j – 2c i )/3][(a + c j – 2c i )/(3b)] = (a + c j – 2c i ) 2 /(9b).

69 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)69 Innovazione e profitti: continuazione Tornando a calibrare il modello, supponiamo: p N = 20, q N = 10, c 1 =10 e c 2 = 15. Ne segue che: a = 3p N - c 1 - c 2 = 35, b = (2a - c 1 - c 2 )/(3q N ) = (70 -25)/30 = 1,5.

70 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)70 Innovazione e profitti: continuazione Perciò: 2 N = (a + c 1 – 2c 2 ) 2 /(9·1,5) = 15 2 /13,5 16,7, 2 N ° = (a + c 1 – 2c 2 °) 2 /(9·1,5) = 25 2 /13,5 46,3, 2 N ° - 2 N 29,6.

71 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)71 Innovazione e profitti: continuazione Per evidenziare la rilevanza delle analisi di statica comparata, si considerino le due se- guenti approssimazioni al risultato prece- dente. 1) q 2 N = (a + c 1 – 2c 2 )/(3b) = 15/4,5 3,3 2 = (c 2 – c 1 )q 2 N 16,5 < 29,6 (qui lerrore principale è che il passaggio al- la nuova tecnologia fa aumentare la produzio- ne e non solo il margine di profitto unitario).

72 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)72 Innovazione e profitti: continuazione 2) q 1 N = (a + c 2 – 2c 1 )/(3b) = 30/4,5 6,7 1 N = (p N – c 1 )q 1 N ( )6,7 = 67 2 = 1 N - 2 N 50,3 > 29,6 (qui i problemi principali sono due: a) la quantità del- limpresa 1 nellequilibrio iniziale era dovuta al suo vantaggio rispetto al competitore, e dunque non può essere replicata (q i N ° = 25/45,5 5,6); b) con lado- zione della nuova tecnologia da parte dellimpresa 2 il mercato diviene più competitivo e il prezzo di mercato scende (p N ° = 55/3 18,3)).

73 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)73 Innovazione e profitti: continuazione Infine, notiamo che ovviamente i nostri risul- tati dipendono dallassunzione di competizio- ne à la Cournot. Supponiamo invece che le imprese competa- no à la Bertrand. Nellequilibrio iniziale ri- sulterebbe, come sappiamo: p 1 N = c 2 < p 2 N = c 2 +, con 2 N = 0 e 1 N = (c 2 – c 1 )D(c 2 ) = ( )( )/1,5 66,7

74 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)74 Innovazione e profitti: conclusione Comunque, nel caso di competizione à la Bertrand limpresa 2 non avrebbe alcun in- centivo ad acquistare la medesima tecnolo- gia dellimpresa 1, perché il suo profitto re- sterebbe nullo! Si tratta di unaltra faccia del paradosso di Bertrand.

75 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)75 Una giustificazione dinamica dellequilibrio di Cournot: Riconsideriamo il grafico rappresentante le curve di reazione nel caso lineare, e supponiamo il seguente processo pseudo dinamico: al tempo 0 limpresa 1 sceglie un qualche livello di produzione per la propria impresa; al tempo 1 limpresa 2 sceglie il proprio livello otti- male di produzione dato quello scelto al tempo 0 dal suo competitore; al tempo 2 limpresa 1 sceglie il proprio livello otti- male di produzione dato quello scelto al tempo 1 dal competitore; Etc.

76 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)76 La stabilità dellequilibrio di Cournot (caso lineare) 0 q1q1 q10q10 q 2 *(q 1 ) q2q2 q 1 *(q 2 ) q21q21 N q12q12 q23q23 q14q14 q25q25

77 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)77 Si noti che: Laggiustamento dinamico descritto postula un comportamento particolarmente naive da parte delle imprese, che prendono decisioni di produ- zione a periodi alternati continuando a supporre che il competitore mantenga costante la propria produzione a livello del periodo precedente … Si tratta a ben vedere di una pseudo dinamica che giustifica lequilibrio ma non il processo attra- verso il quale esso è raggiunto. Si potrebbe natu- ralmente utilizzare anche per giustificare il con- cetto stesso di equilibrio di Nash (se il sottostante processo risultasse stabile).

78 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)78 Unaltra giustificazione dellequilibrio nel duo- polio di Cournot (caso lineare, simmetrico). La curva di reazione si può utilizzare per definire il seguente processo di eliminazione iterativa di strategie dominate. Si noti che, essendo il gioco simmetrico, ogni eli- minazione valida per il giocatore i si applicherà a entrambi i giocatori. Passo 1: ogni scelta di produrre più della quantità di monopolio è dominata dallopzione per que- stultima quantità.

79 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)79 Eliminazione di strategie dominate nel duopo- lio di Cournot (lineare, simmetrico). Passo 2: dunque ogni scelta di produrre meno di: q i *(q m ) = (a – c)/(2b) – q m /2 = (a – c)/(4b) = q m /2 sarà dominata da tale quantità. Largomento è illustrato nel grafico successivo.

80 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)80 Eliminazione di strategie dominate nel duopo- lio di Cournot (lineare, simmetrico). Passo 2 qeqe 0 qjqj q i *(q j ) qiqi q i *(q m ) 45° qmqm Intervallo rimanente: q i [q m /2, q m ] qmqm

81 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)81 Eliminazione di strategie dominate nel duopo- lio di Cournot - continuazione Passo 3: a questo punto dunque ogni scelta di produrre più di: q i *(q m /2) = (a – c)/(2b) – q m /4 = 3(a – c)/(8b) = 3q m /4 sarà dominata da tale quantità. Largomento è nuovamente illustrato nel grafico successivo.

82 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)82 Eliminazione di strategie dominate nel duopo- lio di Cournot (lineare, simmetrico). Passo 3 q i *(q m /2) qeqe 0 qjqj q i *(q j ) qiqi q m /2 45° qmqm Intervallo rimanente: q i [q m /2, 3q m /4] qmqm q m /2

83 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)83 Eliminazione di strategie dominate nel duopo- lio di Cournot - continuazione Passo 4: perciò ogni scelta di produrre meno di: q i *(3q m /4) = (a – c)/(2b) – 3q m /8 = 5(a – c)/(16b) = 5q m /8 sarà dominata da tale quantità. Si veda il grafico successivo.

84 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)84 Eliminazione di strategie dominate nel duopo- lio di Cournot (lineare, simmetrico). Passo 4 qeqe 0 qjqj q i *(q j ) qiqi q m /2 45° qmqm Intervallo rimanente: q i [5q m /8, 3q m /4] qmqm q m /2 3q m /4 q i *( 3q m /4 )

85 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)85 Eliminazione di strategie dominate nel duopo- lio di Cournot - conclusione E facile immaginare (e si può provare) che il pro- cesso continuerà sino a ridurre linsieme delle strategie non dominate allunico valore q m cor- rispondente ad un punto fisso della curva di rea- zione: q m = q i *( q m ) = (a – c)/(2b) – q m /2, cioè q m = (a – c)/(3b) = q i N, ovvero = 2/3.

86 IO: VII Lezione (P. Bertoletti)86 Eliminazione di strategie dominate nel duopo- lio di Cournot - conclusione Lequilibrio del duopolio di Cournot è dun- que anche lequilibrio in strategie dominanti dopo literativa eliminazione delle strategie dominate del gioco di Cournot (nel caso li- neare). q i N corrisponde in effetti allunica strategia di produzione non dominata.


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