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8 - Esercizi. Essendo la Nana Bianca neutra, vi sarà una densità numerica di ioni n + pari a: n + = n e / Z (dove Z = numero atomico) La densità di materia.

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1 8 - Esercizi

2 Essendo la Nana Bianca neutra, vi sarà una densità numerica di ioni n + pari a: n + = n e / Z (dove Z = numero atomico) La densità di materia in questo gas sarà quindi data da: = A m p n + + m e n e A m p n + (dove A = peso atomico) (trascurabile) da queste due formule si ricava: n e = (Z ) / ( A m p ) P e = (h 2 /m e ) (Z / A) 5/3 ( / m p ) 5/3 Esercizio 1: Data una sfera di massa M e raggio R, adottando per la stima della pressione centrale P c dovuta alla stessa gravità della sfera la relazione semplice P c G M 2 / R 4, ricavate la relazione massa-raggio determinata dalla pressione degenere di un gas di elettroni. Utilizzate per la pressione degenere P e la relazione: P e = h 2 n e 5/3 / m e Soluzione: Assumendo per la densità media : M / (4 R 3 /3) e imponendo P e = P c = G M 2 / R 4 si ricava: (esatta a meno di un fattore 0.114, derivante dalle approssimazioni fatte) R (h 2 / G m e m p 5/3 ) (Z/A) 5/3 M -1/3

3 Esercizio 2: Calcolate il raggio R di una Nana Bianca nei due casi: M = 0.5 M M = 1 M Soluzione: Adottando la relazione esatta: e adottando (per una tipica Nana Bianca di He) Z/A = 0.5, e: h = 6.63 x erg s G = 6.67 x 10 8 gm 1 cm 3 s 2 m e = 9.11 x gm m p = 1.67 x gm Si ha: R = x (4.4 x / 1.43 x ) x 0.31 x (M/M ) 1/3 x 7.95 x R 0.9 x 10 9 cm per M = 1 M R 1.1 x 10 9 cm per M = 0.5 M R = x (h 2 / G m e m p 5/3 ) (Z/A) 5/3 M -1/3

4 Esercizio 3: Assumendo, per la composizione iniziale del Sole, solo Idrogeno, calcolare riserva totale di energia nucleare (per fusione 4H He) disponibile. Se assumiamo una composizione iniziale del Sole solo di H (100%) si ha: Numero totale di nuclei di H (protoni) disponibile pari a: N = M / m p = (2 x )/(1.67 x ) 11.9 x Se ogni 4 nuclei di H possiamo ottenere 1 nucleo di He, questo corrisponde a una riserva totale teorica di energia pari a: E tot = (N/4) x 0.03 m p c 2 = 13 x erg Soluzione:

5 Esercizio 4: In base al dato ottenuto nellesercizio precedente, fate una stima del tempo di vita del Sole. Spiegate perché è sovrastimata. Soluzione: Considerato che la luminosità del Sole è pari a: L = 3.9 x erg s -1 si ottiene un tempo di vita dellordine di: = E tot / L 3 x s 10 x anni E sovrastimata per due motivi: a)La composizione iniziale del Sole non è 100% Idrogeno (70%) b) Solo nel nucleo centrale (13 %) la fusione è efficace

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