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Lezione n° 9: 31 Marzo-1 Aprile 2009 Algoritmo del Simplesso: - Coefficienti di costo ridotto - Condizioni di ottimalità - Test dei minimi rapporti - Cambio.

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1 Lezione n° 9: 31 Marzo-1 Aprile 2009 Algoritmo del Simplesso: - Coefficienti di costo ridotto - Condizioni di ottimalità - Test dei minimi rapporti - Cambio di base Anno accademico 2008/2009 Prof. Cerulli – Dott.ssa Gentili Lezioni di Ricerca Operativa Corso di Laurea in Informatica ed Informatica Applicata Università di Salerno

2 Calcolo della soluzione ottima di un problema di PL. Supponendo di aver individuato una base B ammissibile, riscriviamo la funzione obiettivo: (1) Sostituiamo in (1) lespressione delle variabili di base: (2)

3 Calcolo della soluzione ottima di un problema di PL. Il valore dellobiettivo corrispondente alla base B è (3) ottenendo:

4 Le relazioni (2) e (3) esprimono rispettivamente i vincoli e la funzione obiettivo in funzione delle variabili fuori base. (4) Le (4) sono m+1 equazioni.

5 Indicando con: Otteniamo: (4)

6 dove a j è la colonna di N che moltiplica la j-esima variabile fuori base. Inoltre essendo: Abbiamo

7 Dove le y j sono termini noti e x j variabili. Infine ponendo: Otteniamo: La nostra funzione obiettivo diventa:

8 Poniamo: la nostra F.O. diventa: I coefficienti Vengono detti coefficienti di costo ridotto.

9 Verifichiamo se la soluzione di Base corrente è ottima. Consideriamo lobiettivo: e consideriamo come varia lobiettivo facendo diventare positiva la variabile fuori base x k, attualmente nulla. >0 Lobiettivo migliora ! Supponiamo che esista un coefficiente k N tale che

10 Allora si potrebbe pensare di aumentare indefinitivamente x k migliorando sempre lobiettivo. Tuttavia, aumentando x k anche le equazioni (2) corrispondenti ai vincoli variano, modificando i valori delle variabili di base: (2)

11 Dal momento che per j N le x j sono uguali a zero per j k la relazione Diventa

12 In forma vettoriale: allora x Bi cresce al crescere di x k e così x Bi continua a essere non negativo.

13 Se y ik >0 allora x Bi decresce al crescere di x k. Il valore di x k verrà incrementato finchè una delle variabili che costituiscono la soluzione di base assumerà valore zero. Infatti noi vogliamo che: la variabile che si azzererà per prima verrà tolta dalle variabili di base e sarà rimpiazzata da x k.

14 Possiamo scrivere: Esaminiamo queste disuguaglianze. Dobbiamo considerare solo i rapporti in cui

15 Quindi considerando quei rapporti in cui y jk >0 x k assumerà il seguente valore: Così:

16 Fare assumere ad x k un valore positivo significa portare la variabile x k in base. Nello stesso tempo il valore delle altre variabili di base per cui y ik >0 diminuisce. Il valore che x k assume in base è quello corrispondente allannullamento della prima variabile di base, cioè

17 La variabile x k entra in base con tale valore, ed in corrispondenza la variabile esce di base. Il coefficiente y rk è detto Pivot, (laggiornamento della base si dice Pivoting) e viene usato per aggiornare i valori delle variabili in base dopo lingresso in base di x k. La nuova soluzione di base Le nuove variabili fuori base

18 Con il cambio delle variabili in base, la nuova matrice di base risulta composta delle stesse colonne della vecchia base ad eccezione del fatto che la colonna associata a è stata sostituita dalla colonna associata a x k.

19 La nuova soluzione di base ha migliorato il valore della funzione obiettivo: >0

20 E possibile iterare il procedimento fino a che esiste qualche variabile fuori base che può migliorare lobiettivo se portata in base. 5. Teorema (Condizione di ottimalità) Una soluzione di base non degenere di un problema di PL è ottima se e solo se:

21 Nel caso di soluzione degenere possono esistere soluzioni ottime in cui il punto (2) del teorema 5 non è soddisfatto. Tuttavia, se un problema ammette soluzione ottima finita allora ammette una soluzione di base ottima che soddisfa le condizioni (1) e (2) del teorema 5.


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