Astronomia I Lezione 011 Astronomia I Lezione n. 1 Richiami di trigonometria piana Trigonometria sferica: le relazioni di Gauss »Dimostrazione della formula del coseno »Dimostrazione della formula del seno »Dimostrazione della quarta formula

Astronomia I Lezione 012 Trigonometria sferica P Q O A B C D EF G K H r f q

Astronomia I Lezione 013 P Q BA CD O G H F E r K  B A C a c b Per definizione, in un triangolo sferico tutti i lati e gli angoli sono ≤ 

Astronomia I Lezione 014 Le relazioni di Gauss 1.Formula del Coseno cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A con le analoghe formule per gli angoli b e c cos b = cos c cos a + sin c sin a cos B cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C 2.Formula del seno 3. La formula analoga a quella del coseno sin a cos B = cos b sin c – sin b cos c cos A 4. Una quarta relazione particolarmente utile cos a cos C = sin a cot b – sin C cot B a A b c C B

Astronomia I Lezione 015 Dimostrazione della formula del coseno –Consideriamo il triangolo DAE; risulta DE 2 = AD 2 + AE 2 – 2 AD AE cos A –Consideriamo il triangolo DOE; risulta DE 2 = OD 2 + OE 2 – 2 OD OE cos a –Sottraendo membro a membro otteniamo 2 OD OE cos a = (OD 2 -AD 2 )+(OE 2 -AE 2 )+(2 AD AE cos A) A B C D E O

Astronomia I Lezione 016 A B C D E O D’altra parte per il teorema di Pitagora applicato al triangolo piano DAO risulta : (OD 2 -AD 2 ) = AO 2 –ed analogamente, considerando il triangolo piano OAE, risulta: (OE 2 -AE 2 ) = AO 2 –Pertanto si ottiene: OD OE cos a = AO 2 + AD AE cos A cos a = (OA/OD) (OA/OE) + (AD/OD) (AE/OE) cos A  cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A

Astronomia I Lezione 017 Dimostrazione della formula del seno –Riscriviamo la formula del coseno nella seguente forma sin b sin c cos A = cos a – cos b cos c –Eleviamo al quadrato sin 2 b sin 2 c cos 2 A = cos 2 a – 2 cos a cos b cos c + cos 2 b cos 2 c –Consideriamo il primo membro; risulta sin 2 b sin 2 c (1 - sin 2 A) = sin 2 b sin 2 c - sin 2 A sin 2 b sin 2 c = = (1 - cos 2 b) (1 - cos 2 c) – sin 2 A sin 2 b sin 2 c –Pertanto la (1) diventa (1 - cos 2 b) (1 - cos 2 c) – sin 2 A sin 2 b sin 2 c = = cos 2 a – 2 cos a cos b cos c + cos 2 b cos 2 c  sin 2 A sin 2 b sin 2 c = 1 – cos 2 a – cos 2 b - cos 2 c + 2 cos a cos b cos c  funzione simmetrica di a, b, c

Astronomia I Lezione 018 –Quindi sin 2 a sin 2 b sin 2 C = sin 2 a sin 2 B sin 2 c = sin 2 A sin 2 b sin 2 c  –Ricordiamo che in un triangolo sferico gli angoli ed i lati sono ≤ , segue

Astronomia I Lezione 019 Dimostrazione della formula analoga a quella del coseno Dimostriamo la formula analoga a quella del coseno sin c cos A = cos a cos b – sin a cos b cos C Partiamo dalla formula del coseno sin b sin c cos A = cos a – cos b cos c ed utilizziamo la formula del coseno per l’angolo c cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C segue sin b sin c cos A = cos a – cos b (cos a cos b + sin a sin b cos C) = = cos a sin 2 b – sin a sin b cos b cos C Dividendo per sin b ≠ 0 sin c cos A = cos a sin b – sin a cos b cos C

Astronomia I Lezione 0110 Dimostrazione della quarta formula cos a cos C = sin a cot b – sin C cot B Dalle formule del coseno (1) cos b = cos c cos a + sin c sin a cos B (2) cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C sostituendo l’espressione di cos c ottenuta in (2) nella (1) otteniamo cos b (1-cos 2 a) = cos a sin a sin b cos C + sin c sin a cos B cos b sin 2 a = cos a sin a sin b cos C + sin c sin a cos B Dividendo primo e secondo membro per sin a sin b otteniamo cot b sin a = cos a cos C + (sin c/sin b) cos B Usando la formula del seno (sin C/sin c) = (sin B/sin b)  (sin c/sin b) = (sin C/sin B)  cos a cos C = sin a cot b – sin C cot B

Astronomia I Lezione 0111 Un’altra formula interessante di trigonometria sferica Poniamo allora ed analoghe formule per sin (B/2) e sin (C/2).

Astronomia I Lezione 0112 Esercizio Due porti sono sullo stesso parallelo di Latitudine Nord 42° 27’. La loro differenza in longitudine è di 10 h e 25 m. Due navi A e B viaggiano alla velocità di 20 km/h da un porto ad un altro. La nave A segue il parallelo; la nave B segue la rotta lungo il cerchio massimo che passa per i due porti. Calcolare la differenza tra i tempi impiegati dalle due navi.

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