Breve trattazione della Serie di Mac – Laurin ISTITUTO ISTRUZIONE SECONDARIA SUPERIORE “E.Medi” Galatone di Michele Caprio Classe 5 A st Liceo Scientifico Tecnologico a.s Docente Prof. Giovanni Calò

Si definisce serie di funzioni l’espressione: Σ n=1 +∞ f n (x) = f 1 (x) + f 2 (x) + … + f n (x) + … Ogni funzione f n (x) è definita ∨ n appartenente ai numeri naturali. Le varie f 1 (x), f 2 (x), … sono i termini della serie. Esempio: Σ n=0 +∞ [(1-x)/(2+x)] n si studi il carattere per x= 0 e x= -1; Se x= 0, allora Σ n=0 +∞ (½) n ; è convergente perché è una serie geometrica di ragione ½. Se x= -1, allora Σ n=0 +∞ (2) n ; è divergente positivamente perché è una serie geometrica la cui ragione, 2, è maggiore di 1.

Data una serie di funzioni: Σ n=1 +∞ f n (x) = f 1 (x) + f 2 (x) + … + f n (x) + … Si chiama dominio o insieme di convergenza della serie l’insieme dei valori di x appartenenti ai reali per cui la detta serie risula convergente. Per essere convergente, il valore assoluto del termine generale della serie deve essere minore di 1. |f n (x)|<1 Esempio: Σ n=0 +∞ (x) n = 1 + x + x 2 + x 3 + … + x n + … Dominio di convergenza D: |x|<1 D (-1; 1) Pur essendo le funzioni x n tutte definite in R, il dominio di convergenza è l’intervallo (-1; 1)

Data la serie di funzioni Σ n=1 +∞ f n (x) = f 1 (x) + f 2 (x) + … + f n (x) + … e detto D il dominio di convergenza della serie, al variare di x in D si ottengono delle serie numeriche convergenti, ciascuna delle quali avrà una somma. La funzione f, che a ogni x appartenente al dominio associa il valore della somma della serie numerica corrispondente, è detta somma della serie ed è funzione di x. f(x) = Σ n=1 +∞ f n (x) essendo x appartenente al D. f(x) si ottiene come limite, per n  +∞, della successione {s n (x)} delle somme parziali: f(x) = lim n  +∞ {s n (x)} con x appartenente al D, dove s n (x) = f 1 (x) + f 2 (x) + … + f n (x) + … e dove, nel limite, x è da ritenersi costante. La serie converge puntualmente in D.

Resto n-esimo di una serie convergente di funzioni Data la serie di funzioni Σ n=1 +∞ f n (x) = f 1 (x) + f 2 (x) + … + f n (x) + … sia essa convergente puntualmente in D. In tal caso, la serie residua dopo l’indice n Σ i=n+1 +∞ f i (x) = f n+1 (x) + f n+2 (x) + … è anch’essa convergente e la sua somma è il resto n-esimo indicato con r n (x). Per ogni valore di x appartenente al D, i resti n-esimi formano una successione {r n (x)} che è infinitesima al tendere di n a +∞: lim n  + ∞ {r n (x)} = 0 con x appartenente al D. Se una serie di funzioni Σ n=1 +∞ f n (x) è convergente in D, allora il resto n-esimo della serie è, per n  +∞, infinitesimo, per ogni x appartenente al D.

Una serie di funzioni si dice serie di potenze con centro x 0 se è della forma Σ n=0 +∞ a n (x – x 0 ) n = a 0 + a 1 (x – x 0 ) + a 2 (x - x 0 ) 2 +…+ a n (x - x 0 ) n + … dove x 0, a 0, a 1, …, a n,… sono numeri reali e x è la variabile reale. I numeri a 0, a 1, …, a n,… sono i coefficienti della serie. Nel caso in cui è x 0 = 0, la serie ha per centro l’origine e diventa Σ n=0 +∞ a n x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +…+ a n x n + …

Convergenza di una serie di potenze: intervallo e raggio di convergenza Sia Σ n=0 +∞ (a n x n ) una serie di potenze, e si abbia lim n  +∞ |(a n +1) / (a n )| = α Se α = +∞, la serie converge solo per x = 0. Se α = 0, la serie converge per qualunque valore di x. Se α > 0 la serie -converge per tutti i valori di x tali che -1/α < x < 1/α ; -diverge per tutti i valori di x tali che x 1/α ; -nulla si può dire, in generale, per x = ± 1/α. Sia Σ n=0 +∞ (a n x n ) una serie di potenze, e si abbia lim n  +∞ n √|a n | = α Se α = +∞, la serie converge solo per x = 0. Se α = 0, la serie converge per qualunque valore di x. Se α > 0 la serie -converge per tutti i valori di x tali che -1/α < x < 1/α ; -diverge per tutti i valori di x tali che x 1/α ; -nulla si può dire, in generale, per x = ± 1/α.

Posto r = 1/α con la convenzione di prendere r = 0 per α = +∞ e r = +∞ per α = 0, risulta che la serie converge per tutti i valori di x interni all’intervallo (-r ; r), diverge per tutti i valori di x esterni a tale intervallo. Per tale motivo il numero r è detto raggio di convergenza della serie.

Serie di Taylor e di Mac-Laurin e approfondimento di queste ultime Se f(x) è una funzione derivabile n volte in un intorno I del punto x 0, si ha, per x appartenente a I f(x) = f(x 0 ) + f’(x 0 )(x – x 0 ) + { [f”(x 0 )] /2!}(x – x 0 ) 2 +…+ + { [f (n) (x 0 )] /n!}(x – x 0 ) n + { [f (n+1) (c)] / (n+1)! }(x – x 0 ) n+1 essendo c un punto interno all’intervallo di estremi x 0 e x. La suddetta formula è la formula di Taylor di ordine n della funzione f(x), relativa al punto x 0, con il resto di Lagrange. Se x 0 = 0, la precedente formula assume la forma: f(x) = f(0) + f’(0) * x + { [f”(0)] / 2! } * x 2 +…+ { [f (n) (0)] /n!} * x n + { [f (n+1) (c)] / (n+1)! } * x n+1 e prende il nome di formula di Mac-Laurin di ordine n della funzione f(x), con il resto di Lagrange; in questo caso c è un punto interno all’intervallo di estremi 0 e x. I termini del secondo membro della formula di Mac-Laurin, escluso l’ultimo, formano un polinomio P n (x) di grado n: P n (x) = f(0) + f’(0) * x + { [f”(0)] / 2! } * x 2 +…+ { [f (n) (0)] /n!} * x n detto polinomio di Mac-Laurin di ordine n della funzione f(x).

L’ultimo termine del secondo membro, cioè t n (x) = { [f (n+1) (c)] / (n+1)! } * x n+1 è detto resto (di Lagrange) o termine complementare. Si considera una funzione y = f(x) che sia definita in un intorno I del punto x 0 e che ammetta in ogni punto di I derivate di qualsiasi ordine; la f(x) sia indefinitamente derivabile in I. Sia x un punto di I; la serie di potenze di centro x 0 = 0 diventa una serie di potenze con centro nell’origine: Σ n=1 +∞ { [ f (n) (0) / n! ] * x n } = f(0) + f’(0) * x + { [f”(0)] / 2! } * x 2 +…+ { [f (n) (0)] /n!} * x n + … Essa prende il nome di serie di Mac-Laurin della funzione f(x). Una funzione f(x), indefinitamente derivabile nell’intervallo I, avente x 0 = 0 appartenente ad I, è sviluppabile in serie di Mac-Laurin nell’intervallo I, se, per ogni x appartenente ad I, si ha f(x) = f(0) + f’(0) * x + { [f”(0)] / 2! } * x 2 +…+ { [f (n) (0)] /n!} * x n + …

Nelle applicazioni pratiche sono molto usati gli sviluppi in serie di Mac-Laurin; se una funzione, di solito trascendente, è sviluppabile in serie di Mac-Laurin, allora la funzione è approssimabile con un polinomio nella variabile x: tale polinomio risulta essere, approssimativamente, la ridotta somma s n (x) della serie. Gli sviluppi più frequenti sono i seguenti: Lo sviluppo di e x in serie di Mac-Laurin è, per ogni x appartenente ad R, e x = 1 + x + x 2 / 2! + x 3 / 3! +…+ x n / n! + … = Σ n=0 +∞ (x n / n!) La serie Σ n=0 +∞ (x n / n!) è detta serie esponenziale proprio perché la sua somma è la funzione esponenziale e x. Lo sviluppo di sen x in serie di Mac-Laurin è, per ogni x appartenente ad R, sen x = [ x – (x 3 / 3!) ] + [ (x 5 / 5!) – (x 7 / 7!) ] +…+ (-1) n * [ (x 2n+1 ) / (2n+1)! ] + … = = Σ n=0 +∞ { [ (-1) n * (x 2n+1 ) ] / (2n+1)! }

Grafico della funzione sen x con quello delle ridotte corrispondenti ai polinomi approssimati di grado 3 e 5.

Lo sviluppo di cos x in serie di Mac-Laurin è, per ogni x appartenente ad R, cos x = [ x – (x 2 / 2!) ] + [ (x 4 / 4!) – (x 6 / 6!) ] +…+ (-1) n * [ (x 2n ) / (2n)! ] + … = = Σ n=0 +∞ { [ (-1) n * (x 2n ) ] / (2n)! } Grafico della funzione cos x con quello delle ridotte corrispondenti ai polinomi approssimati di grado 2, 4 e 6.

Le applicazioni delle serie di Mac-Laurin sono molteplici. Esse sono utilissime nel calcolo dei limiti, nel calcolo approssimato dei valori di una funzione e delle radici n-esime di un numero, nella maggiorazione dell’errore nello sviluppo di sen x, cos x ed e x. Sono anche usate nel calcolo di integrali. In particolare, supponiamo di dover calcolare il limite lim x  x0 f(x) / g(x) e supponiamo di essere nel caso di una forma indeterminata del tipo [ 0 / 0 ]. Supponiamo anche di sapere sviluppare in serie di potenze di (x – x 0 ) le funzioni f(x) e g(x) che, per ipotesi, sono infinitesime. Dette α(x) e β(x) rispettivamente le parti principali di f(x) e g(x), si avrà: f(x) = α(x) + r(x) g(x) = β(x) + s(x) dove r(x) e s(x) sono i resti dello sviluppo in serie delle due funzioni f(x) e g(x); tali resti risultano infinitesimi di ordine superiore alle rispettive parti principali.

Concludendo, dunque: lim x  x0 f(x) / g(x) = lim x  x0 α(x) / β(x) cioè il limite del rapporto di due infinitesimi (simultanei) è uguale al limite del rapporto delle rispettive parti principali (escluso il resto di Lagrange). Per quanto riguarda la maggiorazione dell’errore nello sviluppo di e x, l’errore che si commette sostituendo al posto di e x la ridotta di indice n della serie esponenziale è dato dal resto n-esimo r n (x). Maggiorando il resto n-esimo, migliora la precisione del calcolo secondo la formula: r n (x) < { ( x n+1 ) / [ ( n + 1 – x ) * n! ] } con 0 < x < n + 1 Il breve percorso sulle serie, con particolare riguardo a quelle di Mac-Laurin, termina qui. GRAZIE PER L’ATTENZIONE!!! Michele CAPRIO V A s.t.