1 Metodo Simbolico e Numeri Complessi Problema 1 => Determinare le radici della seguente equazione polinomiale di secondo grado:

2 Soluzione 1: Il determinante è negativo => L’equazione non ammette soluzioni !!! INESATTO !!! L’equazione non ammette Radici => nell’insieme dei numeri reali R !!!

3 Problema 2: Descrivere algebricamente il legame fra il segnale Vr(t) (effetto) ed il segnale Vs(t) (causa) Facile !!! Il segnale Vr(t) ha la stessa frequenza e la stessa fase del segnale di ingresso ed è diverso solo nell’ampiezza.

4 Descrivere algebricamente il legame fra il segnale Vc(t) (effetto) ed il segnale Vs(t) (causa) Problema 3: Difficile !!! Il segnale Vc(t) ha la stessa frequenza del segnale di ingresso ma è diverso sia nell’ampiezza che nella fase; ampiezza e fase di Vc(t) che dipendono, a parità di ampiezza di Vs(t), anche dalla frequenza di Vs(t) Il legame non può essere espresso in forma algebrica ma attraverso una funzione complessa dell’ampiezza e della frequenza di Vs(t)

5 osservazioni: NB si faccia mente locale a quanto esperimentato in laboratorio Problema 2:  L’ampiezza e la fase del segnale Vr(t) non cambiano al variare della frequenza del segnale Vs(t).  Al variare dell’ampiezza del segnale Vs(t) varia proporzionalmente l’ampiezza del segnale Vr(t).  La frequenza di Vr(t) è sempre uguale alla frequenza di Vs(t).  La fase di Vr(t) è sempre uguale alla fase di Vs(t)  Il legame fra Vr(t) e Vs(t) può quindi essere facilmente espresso come legame algebrico fra le rispettive ampiezze.

6 Problema 3:  L’ampiezza e la fase del segnale Vc(t) cambiano al variare della frequenza del segnale Vs(t).  L’ampiezza del segnale Vc(t) varia anche al variare dell’ampiezza del segnale Vs(t).  La fase di Vc(t) rimane indipendente dall’ampiezza del segnale Vs(t).  La frequenza di Vc(t) è sempre uguale alla frequenza di Vs(t).  Il legame fra Vc(t) e Vs(t) è un legame complesso che coinvolge fase ed ampiezza di Vc(t) che dipendono dall’ampiezza e dalla frequenza di Vs(t) osservazioni: Anticipazione: Con i numeri CPLX è possibile esprimere un legame algebrico fra Vc(t) e Vs(t)

7 Fasori Rotanti: I segnali Vs(t), Vr(t) e Vc(t) del problema 3 sono rispettivamente esprimibili attraverso le seguenti funzioni della variabile tempo: Dove: Vsp = ampiezza di picco di Vs(t)  s = fase iniziale di Vs(t) Vrp = ampiezza di picco di Vr(t)  r = fase iniziale di Vr(t) Vcp = ampiezza di picco di Vc(t)  c = fase iniziale di Vc(t) E dove:

8 fasori rotanti: I tre segnali Vs(t), Vr(t) e Vc(t) possono essere descritti attraverso tre vettori nel piano, rotanti attorno all’origine con velocità 2  f: NB Il disegno di cui sopra va pensato come una istantanea scattata all’istante t=0, nel quale i vettori Vs e Vc hanno la posizione indicata. Allo scorrere del tempo i vettori ruotano attorno all’origine con velocità angolare 2  f (moto circolare uniforme), mantenendo invariate le posizioni relative (  s-  c=costante). Il vettore Vr non è stato rappresentato.

9 osservazioni:  In luogo di Vs(t), Vc(t) e Vr(t), posso considerare i corrispondenti vettori rotanti.  La lunghezza di un vettore corrisponde con l’ampiezza di picco del segnale associato e il suo angolo con la fase istantanea.  Tutti i segnali (vettori) “effetto” hanno la stessa frequenza (velocità angolare) del segnale (vettore) “causa”. ***  La posizione relativa (sfasamento) dei vettori non cambia nel tempo, quindi la variabile tempo non influisce sul legame cercato fra segnale (vettore) causa e segnale (vettore) effetto.  Per definire un legame fra i vettori causa ed i vettori effetto (quindi fra Vs(t), Vr(t) e Vc(t)) posso utilizzare l’algebra vettoriale. *** NB Vedi: linearità, sovrapposizione degli effetti…

10 Numeri complessi – definizioni:  Ogni vettore può essere descritto dalla sua lunghezza (modulo) e dal suo angolo (fase)  Ogni vettore può essere altresì descritto dalle componenti cartesiane sul piano  Sia a l’ascissa del generico vettore e b la sua ordinata: si definisce numero complesso una entità di questo tipo: Dove il numero a è detto anche parte reale del numero complesso Z e b è la sua parte immaginaria. La costante j vale:

11  Come l’insieme dei numeri reali, R, può essere univocamente associato ai punti di una retta …  …così l’insieme dei numeri complessi, C, può essere univocamente associato ai punti di un piano.  L’insieme R può essere pensato come un sottoinsieme di C  Mentre l’insieme R è ordinato, l’insieme C non lo è! ***  Sull’insieme C si possono definire degli operatori aritmetici con delle opportune proprietà: somma, prodotto e divisione.  Le proprietà degli operatori in C, dovranno essere tali da essere congruenti con le proprietà delle analoghe operazioni fra vettori, nonché con le equivalenti operazioni in R quando gli operandi appartengono anche a R. ……  Tutti i polinomi ammettono soluzioni nell’insieme dei numeri complessi. numeri complessi – definizioni: NB *** Che significa?

12 Numeri complessi – operatori: NB *** Applicare le regole ordinarie dell’algebra considerando j come una variabile di valore sqrt(-1): j*j = -1 Dati i due numeri complessi Z1 e Z2 SOMMA SOTTRAZIONE PRODOTTO RAPPORTO

13 numeri complessi – operatori: Dato il numero complesso Z1, esso può essere descritto in forma cartesiana o in forma polare: Z1 (senza il simbolo di vettore) rappresenta il modulo del numero complesso ovvero la lunghezza del vettore mentre  rappresenta la fase del vettore, detta anche argomento del numero complesso. Valgono poi le seguenti affermazioni: Forma cartesiana  Forma polare Forma polare  Forma cartesiana Formula di Eulero NB Ricordarsi che gli angoli sono espressi in radianti!!!

14 numeri complessi – operatori: Dati i due numeri complessi Z1 e Z2 in forma polare: Le regole degli operatori algebrici si possono così ridescrivere:

15 Metodo Simbolico Il metodo simbolico usa i numeri complessi per lo studio delle reti elettriche in regime sinusoidale. Torniamo a considerare il problema 3problema 3 Rappresentiamo Vs(t) e Vc(t) attraverso i corrispondenti numeri complessi in forma polare: Il legame fra Vc(t) e Vs(t) è facilmente calcolabile come rapporto fra i numeri complessi associati:

16 metodo simbolico Il metodo simbolico prevede che tutte le grandezze elettriche (tensioni e correnti) di un circuito (che saranno tutte sinusoidali se la rete è lineare e se le cause sono di tipo sinusoidale) siano rappresentate attraverso i corrispondenti numeri complessi. Ogni bipolo, potrà ancora essere descritto attraverso una propria transcaratteristica? E’ ancora possibile trovare un legame lineare fra il vettore tensione ai capi del bipolo ed il vettore corrente che attraversa il bipolo? SI !!! Per un generico bipolo lineare, operante in regime sinusoidale, il legame fra il vettore tensione ed il vettore corrente è di tipo algebrico complesso. Il rapporto è una costante caratteristica del bipolo, non dipende dall’ampiezza della tensione o della corrente ma eventualmente solo dalla loro frequenza.

17 Bipoli i Regime Sinusoidale Il legame fra tensione e corrente di un bipolo in regime sinusoidale è una caratteristico del bipolo stesso che dipende dai parametri intrinseci del bipolo e dalla frequenza di tensione e corrente. Tale legame prende il nome di Impedenza del Bipolo

18 Esempio:

19 esempio: Provate adesso a mettere in pratica quanto appreso, sostituendo i valori secondo quanto esperimentato in laboratorio!!! Dato il segnale di ingresso Vs(t) (ampiezza, e frequenza), dati i valori di R e C, calcolare ampiezza e sfasamento del segnale Vc(t), confrontando il risultato numerico con le misurazioni pratiche