Divisione di un angolo retto in tre angoli uguali

Mediante il programma Geogebra verrà effettuata la costruzione di come dividere un angolo retto in tre angoli uguali.

Si disegna un angolo retto i cui lati sono le semirette b e d.

Con centro nel vertice A dell’angolo retto si traccia un arco di circonferenza f con raggio, R, qualsiasi. Tale raggio deve essere il più grande possibile.

Con centro nel punto H si tracci l’arco h il cui raggio è ancora R.

Con centro nel punto I si tracci l’arco p il cui raggio è ancora R.

I due archi, h e p, intersecano il primo arco f nei punti L e O.

Dal vertice A dell’angolo retto si traccino le semirette i e j che passano per i punti O e L.

In seguito alla costruzione, le semirette i e j dividono l’angolo retto in tre angoli, α, , . Questi angoli sono tutti uguali, pertanto l’angolo retto è stato suddiviso in tre angoli uguali.

Perché i tre angoli, α, ,  sono uguali? Dimostrazione: Si collega il punto I con il punto O. si forma il triangolo [AOI].

Il triangolo [AIO] è equilatero Il triangolo [AIO] è equilatero. Infatti il lato [AI] è uguale al raggio R. Il lato [AO] è uguale al raggio R (i punti I e O sono entrambi punti dello stesso arco di circonferenza f.) Il lato [IO] è il raggio dell’arco h, il cui raggio, per costruzione, è uguale al raggio, R, dell’arco f. Quindi: [AI]=[AO]=[IO]

Il triangolo [AOI], essendo equilatero, ha gli angoli interni tutti uguali; ognuno di essi vale: Pertanto: da cui si ricavano le seguenti relazioni:

Seconda parte della dimostrazione. Si collega il punto L con il punto H. Si forma il triangolo [ALH].

Il triangolo [ALH] è equilatero Il triangolo [ALH] è equilatero. Infatti il lato [AL] è uguale al raggio R. Il lato [AH] è uguale al raggio R (i punti L e H sono entrambi punti dello stesso arco di circonferenza f.) Il lato [LH] è il raggio dell’arco h, il cui raggio, per costruzione, è uguale al raggio, R, dell’arco f. Quindi: [AL]=[AH]=[LH]

Il triangolo [ALH], essendo equilatero, ha gli angoli interni tutti uguali; ognuno di essi vale: Pertanto: da cui si ricavano le seguenti relazioni:

La somma degli angoli α, ,  è uguale all’angolo retto. Sostituendo nell’espressione i valori degli angoli α e  si ottengono le seguenti relazioni:

Sostituendo il valore dell’angolo  nelle relazioni degli altri due angoli α e  si ottengono: Riassumendo: i tre angoli sono uguali a: Quindi l’angolo retto è stato diviso in tre angoli congruenti, o isometrici, tra di loro. (C.V.D.)

Commento: Nell’antica Grecia erano in circolazione tre problemi che i matematici non riusciarono a risolvere utilizzando solo riga e compasso. I tre problemi erano: Quadratura del cerchio: Costruire un quadrato la cui superficie sia equivalente ad un cerchio. Duplicazione del cubo: Dato un cubo di lato L e di volume V, costruire un secondo cubo il cui volume sia doppio del primo cubo. Trisezione di un angolo: Dato un angolo arbitrario, costruire un angolo la cui ampiezza sia la terza parte del primo.

La trisezione dell’angolo riguarda un angolo di ampiezza qualsiasi La trisezione dell’angolo riguarda un angolo di ampiezza qualsiasi. Però un angolo lo si può dividere in tre parti solo se l’angolo è un angolo particolare, come nel caso di un angolo retto.