1Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

Dal punto di vista intuitivo dire che una funzione è continua in un intervallo [a;b] significa dire che si può disegnare il suo grafico senza alzare mai il gesso dalla lavagna o la penna dal foglio 2Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

0 a 3 b

Se per disegnare il grafico si è costretti ad alzare il gesso dalla lavagna o la penna dal foglio vuol dire che in quel punto c’è una “interruzione” detta discontinuità 4Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

Tipi di discontinuità in un punto x 0 Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/20125

0 c 6 f(c)

0 c 7Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012 f(c)

0 c 8Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012 f(c)

0 c 9Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

0 c 10Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

0 c 11Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

0 c 12Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012 f(c)

Definizione di funzione continua in un punto Una funzione f(x), definita in un intervallo (a,b) si dice continua in un punto c se risulta: 13Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

Dalla definizione segue che una funzione è continua in un punto c se si verificano 3 condizioni 14Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

1Esiste il valore della funzione nel punto c 2Esiste il limite della funzione per x  c 3Il limite coincide con il valore della funzione 15Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

Se una delle 3 condizioni viene meno la funzione nel punto è discontinua 16Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

Riprendiamo i vari tipi di discontinuità e per ognuno di essi vediamo quale delle 3 condizioni viene meno Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/201217

0 c 18Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012 f(c) il limite non esiste perché l 1 ≠ l 2 l1l1 l2l2

0 c 19Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012 f(c)=l 2 l1l1 Il limite non esiste perché l 1 ≠ l 2

0 c 20Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012 f(c)=l 2 l1l1 f(x) si dice continua a destra in c perché il limite destro coincide con la funzione

0 c 21Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012 f(c)=l 1 l2l2 Il limite non esiste perché l 1 ≠ l 2

0 c 22Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012 f(c)=l 1 l2l2 f(x) si dice continua a sinistra in c perché il limite sinistro coincide con la funzione

0 c 23Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012 f(c)=l 1 l2l2 Quando la funzione salta da l 1 a l 2 la discontinuità è detta di prima specie

Punti di discontinuità di prima specie Si dice che per x=c la funzione y=f(x) ha un punto di discontinuità di prima specie, quando esistono e sono finiti e diversi tra loro i limiti dalla destra e dalla sinistra della funzione a prescindere dal valore della funzione 24Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

Esempio Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/ La seguente funzione presenta una discontinuità di prima specie per x=0

1 26Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

0 c 27Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012 non esiste la funzione in c

0 c 28Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012 non esiste il limite in c

0 c 29Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012 Tali discontinuità sono dette di seconda specie

Punti di discontinuità di seconda specie Si dice che per x=c la funzione y=f(x) ha un punto di discontinuità di seconda specie, quando non esiste o non esiste finito almeno uno dei due limiti dalla destra o dalla sinistra di c 30Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

Esempio Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/ La seguente funzione presenta una discontinuità di seconda specie per x=0

32Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

0 c 33Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012 l Esiste il limite e non esiste la funzione

0 c 34Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012 f(c) Limite e funzione hanno valori diversi l

0 c 35Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012 f(c) Tali discontinuità sono dette di terza specie o eliminabile. La discontinuità si può eliminare imponendo che la funzione assuma il valore del limite l

0 c 36Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

0 c 37Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012 f(c)=l

0 c 38Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012 f(c)=l

Esempio Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/ La seguente funzione presenta una discontinuità di terza specie per x=0

Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/

Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/

Altra forma della continuità Indichiamo con h un qualunque numero positivo o negativo, che diremo incremento e poniamo x=c+h 42Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

0 c 43Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012 f(c)=l x=c+h

44Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012 Altra forma della continuità

Esempi di funzioni continue 45Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

Sono sempre continue La funzione costante y=k La funzione y=x Le funzioni razionali intere Le funzioni senx e cosx La funzione esponenziale 46Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

La funzione radice n-esima è continua per ogni x del suo dominio se n è dispari, e per x  0, se n è pari Le funzioni tgx e ctgx sono continue per ogni x del loro dominio 47Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

Le funzioni razionali fratte sono continue per ogni x del suo dominio La funzione logaritmo è continua per ogni x positivo 48Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

Continuità in un intervallo La funzione y = f(x), si dice continua nell’intervallo [a;b], se essa è continua in ogni suo punto di tale intervallo 49Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

Teoremi fondamentali sulle funzioni continue Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/201250

Teorema di Weierstrass Se una funzione è continua in un intervallo chiuso [a;b], essa assume ivi un valore massimo e un valore minimo 51Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

Interpretazione geometrica a b M xMxM m xmxm 52Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

Teorema dei valori intermedi Se una funzione è continua in un intervallo chiuso [a;b], essa assume ogni valore compreso tra il suo massimo e il suo minimo 53Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

Interpretazione geometrica a b M xMxM m xmxm y=kk 54Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012 y=kk k k k k x

Teorema esistenza degli zeri Se una funzione è continua in un intervallo chiuso [a;b] e se negli estremi dell’intervallo assume valori di segno opposto, essa si annulla in almeno in un suo punto interno 55Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

a b f(b) f(a) 56Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012 Interpretazione geometrica

Continuità delle funzioni inverse Se y=f(x) è una funzione continua in un insieme X ed ivi invertibile, allora la funzione inversa x=g(y) è continua 57Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

Sono pertanto continue nel loro dominio le inverse delle funzioni circolari: y=arcsenx y=arccosx y=arctgx y=arcctgx 58Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

Continuità delle funzioni composte 59Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

60Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

Osservazione 61Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

Esempio 1 62Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

Esempio 2 63Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

Esempio 3 64Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

Limiti notevoli 65Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

66Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

67Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

68Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

69Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

70Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

71Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

Esercizi sui limiti notevoli 72Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

Esempio 1 73Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

Esempio 2 74Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

Esempio 3 75Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

Esempio 4 76Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

Esempio 5 77Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

Esempio 6 78Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

Esempio 7 79Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

Esempio 8 80Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

Esempio 9 81Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

Esempio 10 82Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

Ancora sulle forme indeterminate 83Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

Vi sono 3 forme indeterminate che si ricollegano alla forma 0·∞ Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/201284

Tali forme si incontrano quando si calcola il limite di una funzione del tipo: Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/201285

Conviene trasformare la funzione Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/201286

Esempio 1 87Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

88Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

Esempio 2 89Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

90Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/2012

Fine presentazione Funzioni continue - IISS "E. Medi" - Galatone - prof. Giuseppe Frassanito a. s. 2011/201291