Costruzioni e Territorio C.L.: Tecnologie agrarie Prof. Lorenzo Boccia AGR10 = Costruzioni Rurali e Territorio Agroforestale UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDERICO II DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA AGRARIA E AGRONOMIA DEL TERRITORIO

UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDERICO II - Prof. Lorenzo Boccia - Intersezione inversa: SCOPO Si vogliono determinare le coordinate del punto di stazione, note le coordinate di tre punti visibili dal punto di stazione. E’ il più importante metodo di appoggio Per esempio se si vedono tre punti fiduciali del Catasto si possono determinare le coordinate e l’orientamento della stazione per partire con un rilievo. L’intersezione inversa si chiama anche Problema di Pothenot o Problema di Snellius. N.B. La dimostrazione che segue, occorre solo per presentare la trattazione agli studenti e non c’è ragione di memorizzarla. I moderni software commerciali risolvono l’intersezione inversa

UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDERICO II - Prof. Lorenzo Boccia - Intersezione inversa: DATI Sono note le coordinate di tre punti A, B e C visibili dalla stazione P. Condizione necessaria è che i quattro punti A, B, C e P non siano su una stessa circonferenza. Ad esempio X A =80,88 mY A =108,64 m X B =102,00 mY B =110,42 m X C =122,52 mY C =111,6 m Si vogliono determinare le coordinate di P: X P =?Y P =?

UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDERICO II - Prof. Lorenzo Boccia - Esempio di punto fiduciale del Catasto, sito nel comune di Portici

UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDERICO II - Prof. Lorenzo Boccia - Preparazione operazioni di campagna Si utilizza una stazione totale (tacheometro o teodolite) Si prepara l’eidotipo: Libretto di campagna del 20 maggio 2013 Operatore….. Località …….Strumento…….. P B CA  

UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDERICO II - Prof. Lorenzo Boccia - Libretto StazStratoPunto collim. Lettura C.S. Lettura C.D. Media C.S. C.D. AngoloMedia P1A 1B  ’= == 1C  ’= P2A 2B  ’’= 2C  ’ ’= P3A 3B  ’’= == 3C  ’’ ’=

UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDERICO II - Prof. Lorenzo Boccia - Libretto (operazioni semplificate) StazPunto collim. Lettura C.S.Angolo PA B == C ==

UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDERICO II - Prof. Lorenzo Boccia - Operazioni di campagna in C Si effettua una stazione sul punto P Si misura l’angolo  e l’angolo  P B CA  

UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDERICO II - Prof. Lorenzo Boccia - Libretto (Esempio) StazPunto collim. Lettura C.S.Angolo PA4,65 B64,29  =59,64 C134,31  =70,02

UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDERICO II - Prof. Lorenzo Boccia - Operazioni di tavolino 1 Quello che cerchiamo è l’azimut AP e la distanza AP 1) Calcolo delle distanze AB (a) e BC (b) (Pitagora): AB =a=  ( (X B -X A ) 2 +(Y B -Y A ) 2 ) a =  ( (102-80,88) 2 +(110,42-108,64) 2 ) = 21,2 m BC = b =  ( (X C -X B ) 2 +(Y C -Y B ) 2 ) b =  ( (122,52-102) 2 +(111,6-110,42) 2 ) = 20,55 m P B CA   a b

UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDERICO II - Prof. Lorenzo Boccia - Operazioni di tavolino 2 2) Calcolo degli Azimut  BA e  BC  BA = 200+ArcTan ( (X A -X B )/(Y A -Y B ) ) = 299,54  BC = ArcTan ( (X B -X C )/(Y B -Y C ) ) = 96,34  BA P B C A    BC

UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDERICO II - Prof. Lorenzo Boccia - Operazioni di tavolino 3 3) Calcolo dell’angolo ABC ABC =  BA -  BC = 299, ,34 = 203 c,197  BA P B C A    BC

UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDERICO II - Prof. Lorenzo Boccia - Operazioni di tavolino 4 4) Calcolo degli angoli  e  La somma degli angoli di un quadrilatero è 400 c ovvero   +  +  + ABC = 400 Da cui  +  = = 400 –(  +  + ABC ) Chiamiamo M= (  +  )/2= 200 –(  +  + ABC )/2 Nel nostro caso M= 200-(59,64+70,02+203,197)/2=33,57 Chiamiamo N=(  )/2 Se conoscessimo N ed M sarà  =M+N  =M-N La determinazione di N è laboriosa. Si introduce un angolo ausiliario  P B C A   

UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDERICO II - Prof. Lorenzo Boccia - Operazioni di tavolino 5 Si consideri il triangolo ABP. Per il teorema dei seni: sin  /BP=sin  /a quindi sin  = BP * sin  /a Si consideri il triangolo BCP. Per il teorema dei seni: sin  /BP=sin  /b quindi sin  = BP * sin  /b Dividendo membro a membro: sin  /sin  = b / a *sin  /sin  Si introduce un angolo ausiliario  tale che: cotg  = sin  /sin  = b / a *sin  /sin  Nell’esempio: cotg  = 20,55/21,2 * sin 59,64/sin 70,02 cotg  =0,876=sin  /sin  Identicamente: sin  /sin  = cotg  /1 P B C A    a b

UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDERICO II - Prof. Lorenzo Boccia - Operazioni di tavolino 6 sin  /sin  = cotg  /1 a) Sottraendo 1: sin  /sin  - 1= cotg  /1 – 1 denominatore comune: (sin  - sin  )/sin  = (cotg  – 1 )/1 b) Allo stesso modo: sin  /sin  + 1= cotg  /1 + 1 (sin  + sin  )/sin  = (cotg  + 1 )/1 a/b)(sin  - sin  )/ (sin  + sin  ) = (cotg  – 1 )/ (cotg  + 1 ) Si applica al primo termine la formula di prostaferesi (sin  - sin  )/ (sin  + sin  )=tg ( (  -  )/2 ) / tg ( (  +  )/2 ) Si applica al secondo termine la formula di addizione: (cotg  – 1 )/ (cotg  + 1 )= cotg (  + 50 c ) Quindi: tg ( (  -  )/2 ) / tg ( (  +  )/2 ) = cotg (  + 50 c ) Avendo chiamato in precedenza M= (  +  )/2 ed N= (  -  )/2: tg N / tg M = cotg (  + 50 c ) da cui: tg N = cotg (  + 50 c ) * tg M

UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDERICO II - Prof. Lorenzo Boccia - Operazioni di tavolino 7 O meglio tg N = tg M /tg (  + 50 c ) Da cui si ricava N Nell’esempio: cotg  =0,876 Tg  =1/0,876 =  =54,20 tg N = tg 33,57 /tg (54, c ) = -0,00384 N= arctg N = arctg (-0,00384)= -2,45  =M+N  =M-N Nell’esempio:  =M+N = 33,57+(-2,45)= 31,12  =M-N = 33,57-(-2,45)=36,02

UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDERICO II - Prof. Lorenzo Boccia - Operazioni di tavolino 8 Sono noti tutti gli angoli e quindi: PA/sen (180-  -  )=a/sin  PA=a* sen (180-  -  )/sin  Meglio: PA=a* sen (  +  )/sin  ( si ricorda che sen(180-x)=sen x) PA=21,2* sen (59,64+31,12)/sin (59,64)=26,036 P B C A    a b 180-  - 

UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDERICO II - Prof. Lorenzo Boccia - Operazioni di tavolino 9  AB =  BA C  AB =299, C = 99,54  AP =  AB +   AP =94,54+ 31,12 = 130,66 X P =X A +AP*sin  AP Y P =Y A +AP*cos  AP X P =80,88+26,036 *sin 130,66 =103,95 Y P =108, ,036 *cos 130,66 =96,58 P B C A     a b  AB  AP  BA

UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDERICO II - Prof. Lorenzo Boccia - Riassumendo Dati: XA=80,88 m YA=108,64 m XB=102,00 mYB=110,42 m XC=122,52 mYC=111,6 m Operazioni di campagna: Misura degli angoli  e  Operazioni di tavolino: a =  ( (102-80,88) 2 +(110,42-108,64) 2 ) = 21,2 m b =  ( (122,52-102) 2 +(111,6-110,42) 2 ) = 20,55 m  BA = 200+ArcTan ( (X A -X B )/(Y A -Y B ) ) = 299,54  BC = ArcTan ( (X B -X C )/(Y B -Y C ) ) = 96,34 ABC =  BA -   = 299, ,34 = 203 c,197 M= (  )/2= 200 –(  +  + ABC )/2 =33,57 cotg  =sin  /sin  = b / a *sin  /sin  =0,876  =arc tg (1/cotg  ) = arc tg (1/0,876) =54,20  BA P B C A    BC

UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDERICO II - Prof. Lorenzo Boccia - Q=54,20 tg N = tg M /tg (  + 50 c ) = tg 33,57 /tg (54, c ) = -0,00384 N= arctg N = arctg (-0,00384)= -2,45  =M+N = 33,57+(-2,45)= 31,12  =M-N = 33,57-(-2,45)=36,02 PA=a*sen(  +  )/sin  =21,2* sen (59,64+31,12)/sin (59,64)=26,036  AB =  BA C =299, C = 99,54  AP =  AB +  =94,54+ 31,12 = 130,66 X P =X A +AP*sin  AP =80,88+26,036 *sin 130,66 =103,95 m Y P =Y A +AP*cos  AP =108, ,036 *cos 130,66 =96,58 m