Metodi di ricerca approssimata dello zero di una funzione F(z) = 0

I metodi presentati si basano sui teoremi del calcolo infinitesimale  calculus  Essi sono  tra parentesi i teoremi su cui si basano  : Bisezione  corollario di Bolzano-Weierstrass sulle funzioni continue  Della secante  corollario di Bolzano-Weierstrass sulle funzioni continue  Della tangente o di Newton  derivabilità della funzione  Del punto unito  derivabilità della funzione g(x) = f(x) + x ed esistenza di un valore m compreso strettamente tra zero e uno in modo tale da soddisfare |g’(x)|  m  x  [a;b] 

Metodo di bisezione o dicotomico L’efficacia di tale metodo è garantita dal teorema di Bolzano: “ Sia f(x) una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato [a;b], se f(a)  f(b) < 0 allora  z  (a;b) | f(z) = 0 ”.

F(x) = f(x) – g(x) Tracciare i grafici probabili delle funzioni f e g o in alternativa tracciare direttamente il grafico della funzione F(x). Trovare dei valori interi consecutivi per a e b che soddisfino F(a)  F(b)< 0 La stima iniziale dello zero z è quindi z = ( x 0   0 ), ove x 0 è il valore centrale dell’intervallo [a;b] : ;

L’errore  0 … mentre l’errore è stimato come semiampiezza dell’intervallo in cui cade lo zero: ½ (se a e b sono interi consecutivi)

Si valuti ora il segno della funzione F in x 0 : ovviamente se F(x 0 ) = 0, x 0 è la soluzione esatta; altrimenti si restringerà l’intervallo di applicazione del corollario di Bolzano all’interno di quell’intervallo, tra i due ottenuti mediante la bisezione sopra effettuata, che ne soddisfa le condizioni di applicabilità.

I segni sono della funzione F(x)

Se F(x 0 )  F(a) < 0 allora lo zero è nell’intervallo di sinistra. Dunque si ripeterà la procedura, avendo però sostituito a b il valore x 0 : b 1 = x 0, a 1 = a ; altrimenti lo zero sarà nel’intervallo di destra. Dunque si ripeterà la procedura, avendo però sostituito ad a il valore x 0 :a 1 = x 0 b 1 = b.

E’ necessario controllare che l’errore nell’approssimazione rientri in quello ritenuto accettabile (sia esso  ) Se la richiesta è di approssimare lo zero alla m- esima cifra decimale allora deve essere  < 5  10 –( m+1). Poiché all’inizio del processo dicotomico l’errore è ½ )e si dimezza ad ogni iterazione) si ha che, all’n-esima iterazione, Il numero di iterazioni necessarie per soddisfare la richiesta è dato quindi dalla soluzione della disequazione seguente:

cioè: è dunque sufficiente scegliere

Esempio: e x + 3x = 0

F(x) = f(x) – g(x)

Metodo della tangente o di Newton Il metodi di Newton può essere molto veloce se F’(x) assume valori assoluti molto grandi nell’intervallo [a;b]. Esso consiste nell’iterare le intersezioni con l’asse delle x della tangente al grafico di F(x) nel valore approssimato dello zero Nella diapositiva seguente viene precisata la procedura.

Trovato un valore x 0 da cui iniziare L’equazione della retta tangente in x 0 a F(x) è: y = y 0 + F’(x 0 )(x – x 0 ). L’intersezione della retta con l’asse delle x fornisce un nuovo valore approssimato dello zero:

L’iterazione fornisce quindi la seguente successione numerica definita per ricorrenza: che è convergente allo zero z : F(z) = 0 Si dimostra che, alla n-esima iterazione, l’errore  è minore di |x n+1 – x n |

Esempio: e x + 3x = 0

il programma excel:

Metodo del punto unito L’equazione F(x) = 0 può essere trasformata nel sistema equivalente: che richiede le intersezioni del grafico della bisettrice y = x con il grafico della funzione G(x) = F(x) + x

Partendo da un valore x 0 Si ottiene la successione definita per ricorrenza: Se la funzione F(x) è derivabile ed esiste un valore m : 0 < m < 1 in modo tale da soddisfare |G’(x)|  m  x  [a;b], allora la successione converge allo zero z : F(z) = 0

In questo caso non funziona

In questo caso sì e no, dipende dal valore di r