TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE: LA ROTAZIONE

DEFINIZIONE In matematica si dice rotazione un movimento rigido individuato con un punto fisso detto centro di rotazione e da un angolo orientato che stabilisce l’ampiezza e il verso di spostamento nel piano.

Fissati nel piano un punto O e un angolo α, la rotazione di centro O e angolo α è quella trasformazione geometrica che ad ogni punto P fa corrispondere il punto P’ tale che: - OP’ ≡ OP - l’angolo è congruente ad α ed è ugualmente orientato

Qualunque sia il numero delle dimensioni dello spazio di rotazione, gli elementi della rotazione sono: il verso (orario-antiorario); l'ampiezza dell'angolo di rotazione; il centro di rotazione (il punto attorno a cui avviene il movimento rotatorio).

Le proprietà geometriche di una figura (forma, dimensione e posizione) che in una trasformazione non cambiano, prendono il nome di invarianti della trasformazione, quelle che invece cambiano prendono il nome di varianti della trasformazione.

INVARIANTI Linearità Parallelismo Misure dei segmenti Ampiezza degli angoli Misure delle aree Orientamento dei punti

LINEARITA’ E PARALLELISMO

MISURE DEI SEGMENTI

AMPIEZZA DEGLI ANGOLI

MISURA DELLE AREE

ORIENTAMENTO DEI PUNTI ROTAZIONE ORARIA E ANTIORARIA

ROTAZIONE DI 90° RISPETTO ALL’ORIGINE B B’ X’ = -Y Y’ = X

ROTAZIONE DI 180° RISPETTO ALL’ORIGINE X’ = -X Y’ = -Y

ESEMPI DI ROTAZIONE NELLA VITA D’OGGI…

… E IERI

ALTRE PROPRIETÀ DELLA ROTAZIONE La rotazione nulla è la rotazione di un angolo nullo o di un angolo multiplo di un angolo giro; coincide con l’identità. In una rotazione non nulla l’unico punto unito è il centro O, mentre esistono figure unite rispetto a particolari rotazioni: Circonferenza e cerchio Quadrato (angolo retto o angolo piatto)

SIMMETRIA CENTRALE È una particolare rotazione attorno a un punto, detto centro di simmetria, in cui l’ampiezza di rotazione è un angolo di 180°. È un’isometria. Due punti A e B si dicono simmetrici rispetto un punto O (centro di simmetria) quando questo è il punto medio che li unisce… Dimostriamolo!

x’=2xo-x y’=2yo-y

INVARIANTI Linearità Parallelismo Misure dei segmenti Ampiezza degli angoli Misure delle aree Orientamento dei punti Direzioni

ALTRE PROPRIETA’ DELLA SIMMETRIA CENTRALE La simmetria centrale è una trasformazione involutoria  componendola con se stessa, si ottiene l’identità (corrispondenza biunivoca).

ESEMPI DI SIMMETRIA CENTRALE