Programmazione Bilivello Lezione 2

Definizioni e Proprietà: Soluzione Ottimistica/Pessimistica

Soluzione Ottimistica/Pessimistica se il reaction set R(x) non è single-value la soluzione potrebbe essere non stabile o non esistere affatto BLP può non avere soluzione anche se le funzioni sono continue e limitate approccio ottimistico  cooperazione approccio pessimistico  avversione al rischio

Soluzione Ottimistica/Pessimistica Teorema di Dempe sull’esistenza della soluzione ottimistica e pessimistica: Si consideri un problema di programmazione bilivello con variabili positive. Sia la regione S non vuota e compatta, se esiste una soluzione (x,y) tale che G(x,y) ≤ 0 con y ϵ R(x) e x ≥ 0, allora la formulazione ottimistica del problema ammette almeno una soluzione ottima. Non vale altrettanto per la formulazione pessimistica.

Soluzione Ottimistica/Pessimistica Esempio 2 (Bard):

Soluzione Ottimistica/Pessimistica Reaction set R(x): sostituendo nella f.o. upper level:

Soluzione Ottimistica/Pessimistica andamento della f.o. F(x,y) al variare di x ottimistico pessimistico

Soluzione Ottimistica/Pessimistica andamento della f.o. F(x,y) al variare di x approccio ottimistico soluzione ottima

Soluzione Ottimistica/Pessimistica andamento della f.o. F(x,y) al variare di x approccio pessimistico soluzione ottima non esiste

Soluzione Ottimistica/Pessimistica Si consideri il seguente problema bilivello. La soluzione ottima è stabile?

Soluzione Ottimistica/Pessimistica Test di stabilità Data una soluzione , si risolve il seguente problema: Se il valore della funzione obiettivo leader non cambia la soluzione è stabile.

Definizioni e Proprietà: BLP e Ottimizzazione Biobiettivo

BLP e Pareto Ottimalità una soluzione ottima non è necessariamente Pareto-ottimale nel caso in cui ,y) = c1x + d1y e f(x,y)= c2x + d2y se d1=αd2 allora la soluzione è Pareto-ottimale (Macotte, Savard)

BLP e Pareto Ottimalità C D

BLP e Pareto Ottimalità C D

BLP e Ottimizzazione Biobiettivo C D regione delle soluzioni dominanti

Constrained Set, Reaction Set, Inducible Region

BLP e Ottimizzazione Biobiettivo frontiera efficiente nello spazio degli obiettivi

BLP e Ottimizzazione Biobiettivo C D vincoli corrispondenti alla frontiera efficiente nello spazio degli obiettivi

Metodi Risolutivi: BLP Lineare

BLP Lineare

BLP Lineare: Metodi di Trasformazione Fortuny-Amat e McCarl, 1981 si sostituisce il problema follower con le sue condizioni KKT  single-level con vincoli bilineari di complementarità si linearizzano i vincoli introducendo variabili binarie uno dei metodi più utilizzati per la facilità implementativa

BLP Lineare: Metodi di Trasformazione branch & bound sulle variabili zi ottimo globale limiti: uso della big-M che riduce l’efficienza aumento del numero di vincoli e variabili

BLP Lineare: Metodi di Trasformazione Nel caso lineare

BLP Lineare: Metodi di Trasformazione Bard e Moore, 1990 si sostituisce il problema follower con le sue condizioni KKT  single-level con vincoli bilineari di complementarità si ignorano i vincoli di complementarità se ui gi(x,y) ≠ 0 branch & bound su ui e gi(x,y) ottimo globale