Un esempio Una casa farmaceutica dichiara che un nuovo antidolorifico che sta per immettere sul mercato fa effetto mediamente in un tempo pari a 12,75 minuti. Un campione casuale fornisce i seguenti risultati 12,9 13,2 12,7 13,1 13,0 13,1 13,0 12,6 13,1 13,0 13,1 12,8 Sapendo che il tempo si distribuisce normalmente e la deviazione standard della popolazione è pari a 0,5 trovare La media campionaria La deviazione standard del campione Stabilire se sulla base dei dati campionari l’azienda fa una dichiarazione corretta con un livello di confidenza del 95%

livello di confidenza 95%; Deviazione standard della popolazione = 0,5 intervallo di confidenza xi (xi-media)^2 12,90 0,004 13,20 0,054 12,70 0,071 13,10 0,018 13,00 0,001 12,60 0,134 12,80 0,028 155,60 0,367 Media campione=155,6/12=12,97 Varianza campione=0,367/11=0,03 n=12 livello di confidenza 95%; Deviazione standard della popolazione = 0,5 estremo inferiore 12,69 estremo superiore 13,25 La media della popolazione rientra nell’intervallo per cui l’azienda afferma il vero Ricordiamo che quando calcoliamo la varianza di un campione dobbiamo usare lo stimatore corretto cioè dividere gli scarti elevati al quadrato per n-1 Ampiezza dell’intervallo=13,25-12,69=0,56 Se volessi un’ampiezza inferiore o uguale a 0,4 dovrei avere un campione di numerosità pari a n=24,01 ossia 25

Universo parallelo….esistono campioni che mi forniscono stime puntuali che danno luogo a intervalli di confidenza che non contengono il parametro incognito µ Popolazione Voti conseguiti nel compito di statistica Xi ni val centr classe Xì*ni Xì^2*ni 17-18 21 17,5 367,5 6431,25 19-21 32 20 640 12800 22-24 40 23 920 21160 25-27 33 26 858 22308 28-30 22 29 638 18502 totale 148 3423,5 81201,25 media popolazione= 23,13 varianza popolazione= 13,58

1) Estraggo un campione di numerosità 30 e ottengo la seguente distribuzione xi f(xi) xi*f(xi) 17 0,10 1,70 18 0,20 3,60 19 3,80 20 0,23 4,67 27 0,13 30 4,00 totale 1,00 21,37 media campione= estremi dell'intervallo di confidenza con livello di confidenza pari a 0,95 estremo inferiore= 20,05 estremo superiore= 22,69 ampiezza dell'intervallo=estremo sup. - estremo inf.=2,64 la media della popolazione non rientra in questo intervallo il campione fornisce un valore di media campionaria che si colloca nelle code della curva normale valore standardizzato della media campionaria= -2,62 valore < di -1,96

2) se prendiamo un altro campione con la seguente distribuzione otteniamo xi f(xi) xi*f(xi) 19 0,20 3,80 20 0,27 5,33 21 0,23 4,90 23 0,10 2,30 27 0,07 1,80 30 0,13 4,00 totale 1,00 22,13 media campione= estremi dell'intervallo di confidenza con livello di confidenza pari a 0,95 estremo inferiore = 20,81 estremo superiore = 23,45 ampiezza dell'intervallo = estremo sup. - estremo inf.=2,64 la media della popolazione rientra in questo intervallo il campione fornisce un valore di media campionaria che si colloca all'interno degli estremi simmetrici che comprendono una probabilità di 0,95 valore standardizzato della media campionaria= -1,49 > -1,96

3) mantenendo i risultati ottenuti dal II campione ma aumentando il livello di confidenza a 0,99 cosa succede? i valori simmetrici della normale standardizzata che contengono il 99% di probabilità sono -2,58 e +2,58 estremo inferiore = 20,39 estremo superiore = 23,87 ampiezza dell'intervallo = estremo sup. - estremo inf.= 3,47 quando aumento il livello di confidenza, ferme restando le altre caratteristiche dell'intervallo, l'ampiezza dell'intervallo aumenta