Incontro laboratoriale 1 e le competenze in ambito linguistico Modena - 15 ottobre 2014 Incontro laboratoriale 1 L’early algebra e le competenze in ambito linguistico Giancarlo Navarra GREM, Università di Modena e Reggio Emilia Titolo da completare

Ambiti delle competenze nel Curricolo ArAl Linguaggio Forma canonica e non canonica del numero Approccio all’incognita e alle equazioni Approccio ai concetti di variabilità/variabile Dalle successioni modulari alle leggi di corrispondenza Verso le funzioni Utilizzare il linguaggio algebrico per indagare su conoscenze pregresse e per successivi approfondimenti ed ampliamenti di insiemi numerici dai naturali ai razionali, agli interi relativi Modena - 15 ottobre 2014 2

Prova di verifica delle competenze Curricolo di matematica per la scuola primaria e secondaria di primo grado nella prospettiva di un approccio precoce all’algebra (early algebra) Iniziamo dagli esiti di una sperimentazione: una prova per la verifica delle Competenze nell’ambito linguistico –A) proposta nel giugno 2014 in tre prime, tre seconde, tre terze, una quarta e due quinte di Trieste (12 classi, di cui tre ‘ArAl’, 204 alunni). Non ci sono classi di scuola secondaria. Per ognuna delle sei competenze sono state proposte tre frasi (in linguaggio naturale o matematico) adeguate all’età degli alunni. Modena - 15 ottobre 2014 3

Le sei competenze in ambito linguistico (A) A1. Tradurre in linguaggio naturale un numero espresso in forma non canonica; Es: 3×2+5 A2. Tradurre in linguaggio matematico un numero espresso attraverso una definizione procedurale; Es: Aggiungi 9 alla somma fra 4 e 15 A3. Tradurre in linguaggio matematico un numero espresso attraverso una definizione relazionale. Es: Il doppio della somma fra 51 e 37 Modena - 15 ottobre 2014 4

Competenze A4, A5, A6 A4. Esprimere in linguaggio naturale il confronto tra numeri scritti in forma canonica e non canonica, cogliendo le equivalenze senza calcoli scritti e argomentando le scelte Es: 6×n-4 e 4+n×3×2 A5. Ricavare scritture equivalenti ad una data esplicitando, dov’è possibile, le proprietà applicate Es: 27-▲=15 A6. Completare frasi scritte in linguaggio matematico in cui un punto di domanda sostituisce un segno Es: 5×0 ? 0:12 Modena - 15 ottobre 2014 5

Competenza A1, seconda primaria Il laboratorio si basa sulle risposte fornite da 56 alunni di tre seconde a questa consegna: Le traduzioni verranno analizzate da due punti di vista: Cosa ci dicono della didattica attraverso la quale sono state costruite le conoscenze relative alla moltiplicazione? (rivolto ai docenti) Come possiamo utilizzare le traduzioni per promuovere nella classe una riflessione sui loro significati? (implementazione in classe) A1: Traduci in linguaggio naturale la frase 5×2 Modena - 15 ottobre 2014 6

A1: Traduci in linguaggio naturale la frase 5×2 Prima parte A1: Traduci in linguaggio naturale la frase 5×2 Cosa ci dicono della didattica attraverso la quale sono state costruite le conoscenze relative alla moltiplicazione? (rivolto ai docenti) Modena - 15 ottobre 2014 7

A1: tradurre 5×2 (seconda primaria) (seconda primaria) Cinque per due (25); Cinque moltiplicato per 2 (1) Moltiplico 5 per [con] 2 [volte] (3); 5 lo moltiplico per 2 [volte] (4); Possiedo 5 e lo moltiplico per 2 (1); Cinque ripetuto per 2 volte (1); A 5 moltiplico 2 (2); Da 5 ripeto per 2 volte (1); Ripeto 5 per 2 volte (1); 5 ripeto per 2 (1); Ripetere due volte il cinque (1); A cinque moltiplico per due (1); Raddoppio 5 (1); 5 raddoppio 2 (1); Raddoppiare il 5 × 2 volte (2); Prendo per due volte il cinque (1); Devo fare 5 preso 2 volte (1); Devi fare 2 volte 5 (1); Bisogna fare con il × il numero 5 e 2 (1); Cinque più due uguale dieci (1); Cinque due (1); Il risultato deve essere sempre scritto (1); sbagliati: cinque più due (1) Modena - 15 ottobre 2014 8

A1: tradurre 5×2 (seconda primaria) (seconda primaria) Cinque per due (25); Cinque moltiplicato per 2 (1) Moltiplico 5 per [con] 2 [volte] (3); 5 lo moltiplico per 2 [volte] (4); Possiedo 5 e lo moltiplico per 2 (1); Cinque ripetuto per 2 volte (1); A 5 moltiplico 2 (2); Da 5 ripeto per 2 volte (1); Ripeto 5 per 2 volte (1); 5 ripeto per 2 (1); Ripetere due volte il cinque (1); A cinque moltiplico per due (1); Raddoppio 5 (1); 5 raddoppio 2 (1); Raddoppiare il 5 × 2 volte (2); Prendo per due volte il cinque (1); Devo fare 5 preso 2 volte (1); Devi fare 2 volte 5 (1); Bisogna fare con il × il numero 5 e 2 (1); Cinque più due uguale dieci (1); Cinque due (1); Il risultato deve essere sempre scritto (1); sbagliati: cinque più due (1) Ci sono informazioni che permettano di ipotizzare un ‘retroterra concettuale’ degli alunni che li ha portati ad organizzare le loro frasi? Emergono segnali che indichino i modi nei quali sono state costruite le loro conoscenze nel corso dei primi due anni della scuola primaria? Modena - 15 ottobre 2014 9

A1: tradurre 5×2 (seconda primaria) (seconda primaria) Cinque per due (25); Cinque moltiplicato per 2 (1) Moltiplico 5 per [con] 2 [volte] (3); 5 lo moltiplico per 2 [volte] (4); Possiedo 5 e lo moltiplico per 2 (1); Cinque ripetuto per 2 volte (1); A 5 moltiplico 2 (2); Da 5 ripeto per 2 volte (1); Ripeto 5 per 2 volte (1); 5 ripeto per 2 (1); Ripetere due volte il cinque (1); A cinque moltiplico per due (1); Raddoppio 5 (1); 5 raddoppio 2 (1); Raddoppiare il 5 × 2 volte (2); Prendo per due volte il cinque (1); Devo fare 5 preso 2 volte (1); Devi fare 2 volte 5 (1); Bisogna fare con il × il numero 5 e 2 (1); Cinque più due uguale dieci (1); Cinque due (1); Il risultato deve essere sempre scritto (1); sbagliati: cinque più due (1) Modena - 15 ottobre 2014 10

A1: tradurre 5×2 (seconda primaria) (seconda primaria) Cinque per due (25); Cinque moltiplicato per 2 (1) Moltiplico 5 per [con] 2 [volte] (3); 5 lo moltiplico per 2 [volte] (4); Possiedo 5 e lo moltiplico per 2 (1); Cinque ripetuto per 2 volte (1); A 5 moltiplico 2 (2); Da 5 ripeto per 2 volte (1); Ripeto 5 per 2 volte (1); 5 ripeto per 2 (1); Ripetere due volte il cinque (1); A cinque moltiplico per due (1); Raddoppio 5 (1); 5 raddoppio 2 (1); Raddoppiare il 5 × 2 volte (2); Prendo per due volte il cinque (1); Devo fare 5 preso 2 volte (1); Devi fare 2 volte 5 (1); Bisogna fare con il × il numero 5 e 2 (1); Cinque più due uguale dieci (1); Cinque due (1); Il risultato deve essere sempre scritto (1); sbagliati: cinque più due (1) Alcuni segnali Modena - 15 ottobre 2014 11

Competenza A1: tradurre 5×2 (seconda primaria) Cinque per due; Cinque moltiplicato per 2; Moltiplico 5 per [con] 2 [volte]; 5 lo moltiplico per 2 [volte]; Possiedo 5 e lo moltiplico per 2; Cinque ripetuto per 2 volte; A 5 moltiplico 2; Da 5 ripeto per 2 volte; Ripeto 5 per 2 volte; 5 ripeto per 2; Ripetere due volte il cinque; A cinque moltiplico per due; Raddoppio 5; 5 raddoppio 2; Raddoppiare il 5 × 2 volte; Prendo per due volte il cinque; Devo fare 5 preso 2 volte; Devi fare 2 volte 5; Bisogna fare con il × il numero 5 e 2; Cinque più due uguale dieci; Segnale 1 Aspetti fondativi del concetto di moltiplicazione: compaiono spesso i termini volte e ripetere. Modena - 15 ottobre 2014 12

Competenza A1: tradurre 5×2 (seconda primaria) Cinque per due; Cinque moltiplicato per 2; Moltiplico 5 per [con] 2 [volte]; 5 lo moltiplico per 2 [volte]; Possiedo 5 e lo moltiplico per 2; Cinque ripetuto per 2 volte; A 5 moltiplico 2; Da 5 ripeto per 2 volte; Ripeto 5 per 2 volte; 5 ripeto per 2; Ripetere due volte il cinque; A cinque moltiplico per due; Raddoppio 5; 5 raddoppio 2; Raddoppiare il 5 × 2 volte; Prendo per due volte il cinque; Devo fare 5 preso 2 volte; Devi fare 2 volte 5; Bisogna fare con il × il numero 5 e 2; Cinque più due uguale dieci; Segnale 2 La concretezza degli esordi: ‘possiedo’ (probabile residuo di testi di problemi verbali), ‘prendo’ (permane la manipolazione di oggetti e poi di numeri). Modena - 15 ottobre 2014 13

Competenza A1: tradurre 5×2 (seconda primaria) Cinque per due; Cinque moltiplicato per 2; Moltiplico 5 per [con] 2 [volte]; 5 lo moltiplico per 2 [volte]; Possiedo 5 e lo moltiplico per 2; Cinque ripetuto per 2 volte; A 5 moltiplico 2; Da 5 ripeto per 2 volte; Ripeto 5 per 2 volte; 5 ripeto per 2; Ripetere due volte il cinque; A cinque moltiplico per due; Raddoppio 5; 5 raddoppio 2; Raddoppiare il 5 × 2 volte; Prendo per due volte il cinque; Devo fare 5 preso 2 volte; Devi fare 2 volte 5; Bisogna fare con il × il numero 5 e 2; Cinque più due uguale dieci; Segnale 3 Aspetti operativi: fare (spesso accompagnato da verbi in funzione assertiva – Devi, bisogna) Modena - 15 ottobre 2014 14

Competenza A1: tradurre 5×2 (seconda primaria) Cinque per due; Cinque moltiplicato per 2; Moltiplico 5 per [con] 2 [volte]; 5 lo moltiplico per 2 [volte]; Possiedo 5 e lo moltiplico per 2; Cinque ripetuto per 2 volte; A 5 moltiplico 2; Da 5 ripeto per 2 volte; Ripeto 5 per 2 volte; 5 ripeto per 2; Ripetere due volte il cinque; A cinque moltiplico per due; Raddoppio 5; 5 raddoppio 2; Raddoppiare il 5 × 2 volte; Prendo per due volte il cinque; Devo fare 5 preso 2 volte; Devi fare 2 volte 5; Bisogna fare con il × il numero 5 e 2; Cinque più due uguale dieci; Il risultato deve essere sempre scritto; Devi fare con i segni l’operazione; Tu scrivi il risultato e vedrai che fai bene Segnale 4 Il permanere di indicazioni ad un puro livello formale: probabile residuo di consigli e avvertimenti dati dall’insegnante Modena - 15 ottobre 2014 15

gli aspetti fondativi (volte, ripetere) I ‘segnali’ I ‘segnali’: gli aspetti fondativi (volte, ripetere) la concretezza degli esordi (possiedo, prendo) gli aspetti operativi (fare, devi, bisogna) il permanere di indicazioni a livello formale fanno parte dell’epistemologia matematica degli alunni (Schoenfeld) che condiziona, nel bene e nel male, i modi attraverso i quali essi affrontano l’evolversi della disciplina. Sono in gran parte, a questa età, più lo specchio di fattori esterni (l’insegnante) che il frutto di una rielaborazione personale. Modena - 15 ottobre 2014 16

I ‘segnali’ I ‘segnali’ che traspaiono dalle traduzioni (in misure diverse, da alunno ad alunno) rappresentano atteggiamenti individuali che probabilmente, in una pur efficace didattica tradizionale, tendono a non emergere. La discussione collettiva permette non solo la loro emersione ma anche il loro confronto. Attraverso il confronto si apre la negoziazione sui significati (quale frase è più chiara? Più ‘matematica’? Più ‘evoluta’? Più trasparente? Sbagliata‘?) che dovrà condurre ad una condivisione ragionata della/e frase/i considerata più corretta. Modena - 15 ottobre 2014 17

A1: Traduci in linguaggio naturale la frase 5×2 Seconda parte A1: Traduci in linguaggio naturale la frase 5×2 2. Come possiamo utilizzare le traduzioni per promuovere nella classe una riflessione sui loro significati? Modena - 15 ottobre 2014 18

A1: tradurre 5×2 (seconda primaria) Immaginate che queste traduzioni siano state proposte dai vostri alunni. A partire da questo elenco molto disordinato come potrebbe essere organizzata un’attività centrata sulla riflessione da proporre alla classe che spinga gli alunni a mettersi in gioco? (nella quale quindi l’insegnante svolga un ruolo defilato, come smistatore di traffico argomentativo). NB: alla classe non proporreste certamente tutte le traduzioni ma fareste una selezione significativa. Ora le consideriamo tutte perché è una simulazione ‘per soli adulti’. Modena - 15 ottobre 2014 19

Competenza A1: tradurre 5×2 (seconda primaria) Cinque per due; Cinque moltiplicato per 2; Moltiplico 5 per [con] 2 [volte]; 5 lo moltiplico per 2 [volte]; Possiedo 5 e lo moltiplico per 2; Cinque ripetuto per 2 volte; A 5 moltiplico 2; Da 5 ripeto per 2 volte; Ripeto 5 per 2 volte; 5 ripeto per 2; Ripetere due volte il cinque; A cinque moltiplico per due; Raddoppio 5; 5 raddoppio 2; Raddoppiare il 5 × 2 volte; Prendo per due volte il cinque; Devo fare 5 preso 2 volte; Devi fare 2 volte 5; Bisogna fare con il × il numero 5 e 2; Cinque più due uguale dieci; Il risultato deve essere sempre scritto; Devi fare con i segni l’operazione; Tu scrivi il risultato e vedrai che fai bene Modena - 15 ottobre 2014 20

Competenza A1: tradurre 5×2 (seconda primaria) Cinque per due; Cinque moltiplicato per 2; Moltiplico 5 per [con] 2 [volte]; 5 lo moltiplico per 2 [volte]; Possiedo 5 e lo moltiplico per 2; Cinque ripetuto per 2 volte; A 5 moltiplico 2; Da 5 ripeto per 2 volte; Ripeto 5 per 2 volte; 5 ripeto per 2; Ripetere due volte il cinque; A cinque moltiplico per due; Raddoppio 5; 5 raddoppio 2; Raddoppiare il 5 × 2 volte; Prendo per due volte il cinque; Devo fare 5 preso 2 volte; Devi fare 2 volte 5; Bisogna fare con il × il numero 5 e 2; Cinque più due uguale dieci; Il risultato deve essere sempre scritto; Devi fare con i segni l’operazione; Tu scrivi il risultato e vedrai che fai bene L’esperienza mostra che durante l’analisi collettiva delle frasi gli alunni sanno riconoscere che: il termine ‘volte’ non è importante; i termini ‘ripetere’, ‘fare’ o ‘prendere’ sono meno significativi di ‘moltiplicare’, o ‘raddoppiare’; certi modi di dire non si usano, ad es: ‘A 5 moltiplico 2’, ‘Raddoppio il 5 per due volte’; le ultime frasi ‘dicono’ molto meno delle altre. ↓ Accettano di cancellarle: Modena - 15 ottobre 2014 21

Competenza A1: tradurre 5×2 (seconda primaria) Cinque per due; Cinque moltiplicato per 2; Moltiplico 5 per [con] 2 [volte]; 5 lo moltiplico per 2 [volte]; Possiedo 5 e lo moltiplico per 2; Cinque ripetuto per 2 volte; A 5 moltiplico 2; Da 5 ripeto per 2 volte; Ripeto 5 per 2 volte; 5 ripeto per 2; Ripetere due volte il cinque; A cinque moltiplico per due; Raddoppio 5; 5 raddoppio 2; Raddoppiare il 5 × 2 volte; Prendo per due volte il cinque; Devo fare 5 preso 2 volte; Devi fare 2 volte 5; Bisogna fare con il × il numero 5 e 2; Cinque più due uguale dieci; Il risultato deve essere sempre scritto; Devi fare con i segni l’operazione; Tu scrivi il risultato e vedrai che fai bene Rimangono: Modena - 15 ottobre 2014 22

Competenza A1: tradurre 5×2 (seconda primaria) Cinque per due; Cinque moltiplicato per 2; Moltiplico 5 per 2; 5 lo moltiplico per 2; Possiedo 5 e lo moltiplico per 2; Cinque ripetuto per 2 volte; Ripeto 5 per 2 volte; 5 ripeto per 2; Ripetere due volte il cinque; Raddoppio 5; Prendo per due volte il cinque; Devo fare 5 preso 2 volte; Devi fare 2 volte 5; Bisogna fare con il × il numero 5 e 2 Modena - 15 ottobre 2014 23

Competenza A1: tradurre 5×2 (seconda primaria) Cinque per due; Cinque moltiplicato per 2; Moltiplico 5 per 2; 5 lo moltiplico per 2; Possiedo 5 e lo moltiplico per 2; Cinque ripetuto per 2 volte; Ripeto 5 per 2 volte; 5 ripeto per 2; Ripetere due volte il cinque; Raddoppio 5; Prendo per due volte il cinque; Devo fare 5 preso 2 volte; Devi fare 2 volte 5; Bisogna fare con il × il numero 5 e 2 Se proponiamo di raggruppare frasi simili (attività sulle parafrasi) è molto probabile che emergano queste categorie: Frasi in cui compare il verbo ‘moltiplicare’; Frasi in cui compare il verbo ‘ripetere’; Frasi in cui compare il verbo ‘raddoppiare’; Frasi in cui compaiono verbi come ‘bisogna’, ‘devi’, ecc; Frasi senza verbo. Modena - 15 ottobre 2014 24

Competenza A1: tradurre 5×2 (seconda primaria) 5 moltiplicato per 2; Moltiplico 5 per [con] 2 [volte]; 5 lo moltiplico per 2 [volte]; Possiedo 5 e lo moltiplico per 2 5 ripetuto per 2 volte; Ripeto 5 per 2 volte; 5 ripeto per 2; Ripetere 2 volte il 5 Raddoppio 5; Raddoppiare il 5 × 2 volte Prendo per 2 volte il 5; Devo fare 5 preso 2 volte; Devi fare 2 volte 5; Bisogna fare con il × il numero 5 e 2 5 per due (25) Modena - 15 ottobre 2014 25

Competenza A1: tradurre 5×2 (seconda primaria) 5 moltiplicato per 2; Moltiplico 5 per [con] 2 [volte]; 5 lo moltiplico per 2 [volte]; Possiedo 5 e lo moltiplico per 2 5 ripetuto per 2 volte; Ripeto 5 per 2 volte; 5 ripeto per 2; Ripetere 2 volte il 5 Raddoppio 5; Raddoppiare il 5 × 2 volte Prendo per 2 volte il 5; Devo fare 5 preso 2 volte; Devi fare 2 volte 5; Bisogna fare con il × il numero 5 e 2 5 per due (25) La riflessione sulle frasi porta ad una ulteriore selezione Modena - 15 ottobre 2014 26

Competenza A1: tradurre 5×2 (seconda primaria) 5 moltiplicato per 2; Moltiplico 5 per [con] 2 [volte]; 5 lo moltiplico per 2 [volte]; Possiedo 5 e lo moltiplico per 2 5 ripetuto per 2 volte; Ripeto 5 per 2 volte; 5 ripeto per 2; Ripetere 2 volte il 5 Raddoppio 5; Raddoppiare il 5 × 2 volte Prendo per 2 volte il 5; Devo fare 5 preso 2 volte; Devi fare 2 volte 5; Bisogna fare con il × il numero 5 e 2 5 per due (25) Modena - 15 ottobre 2014 27

Competenza A1: tradurre 5×2 (seconda primaria) 5 per due Moltiplico 5 per 2 Ripeto 5 per 2 volte Raddoppio 5 Definizioni procedurali Prodotto fra 5 e 2 Doppio di 5 Definizioni relazionali Modena - 15 ottobre 2014 28

Un secondo esempio per A1 (quinta) Seconda parte Un secondo esempio per A1 (quinta) Traduci in linguaggio naturale la frase (5+4)×2 Modena - 15 ottobre 2014 29

Competenza A1: tradurre (5+4)×2 (quinta) Il doppio della somma di 5 e di 4 (1) Il prodotto di 2 e la somma di 5 e 4 (1) Il prodotto tra la somma di 5 e 4 e 2 (2) Raddoppia la somma di 5 e 4 (3) Moltiplica per 2 la somma di 5 e 4 (7) Raddoppia la somma di 5 per il numero che lo precede (2) Due moltiplicato il risultato di 5 più 4 (1) Fai la somma di 5 e 4 e moltiplica per 2 (1) La somma di 5 e 4 del prodotto di 2 (1) Aperta parentesi tonda 5 più 4 chiusa per 2 (6) 5 più 4 per 2 (12) Devi addizionare 5 e 4 il risultato per 2 (2) ArAl Modena - 15 ottobre 2014 30

Competenza A1: tradurre 5×2 (seconda) Il doppio della somma di 5 e di 4 (1) Il prodotto di 2 e la somma di 5 e 4 (1) Il prodotto tra la somma di 5 e 4 e 2 (2) Raddoppia la somma di 5 e 4 (3) Moltiplica per 2 la somma di 5 e 4 (7) Raddoppia la somma di 5 per il numero che lo precede (2) Due moltiplicato il risultato di 5 più 4 (1) Fai la somma di 5 e 4 e moltiplica per 2 (1) La somma di 5 e 4 del prodotto di 2 (1) Aperta parentesi tonda 5 più 4 chiusa per 2 (6) 5 più 4 per 2 (12) Devi addizionare 5 e 4 il risultato per 2 (2) Modena - 15 ottobre 2014 31

Un terzo esempio per la competenza A2 (quinta): Seconda parte Un terzo esempio per la competenza A2 (quinta): Tradurre in linguaggio matematico un numero espresso attraverso una definizione procedurale: Dividi per 2 la somma fra 5 e il numero precedente Modena - 15 ottobre 2014 32

Analizziamo le frasi in chiave early algebra A2: tradurre ‘Dividi per due la somma fra 5 e il numero precedente’ (V) (Classe ArAl, non ArAl) (4+5):2 (13, 3) (5+4):2=4,5 (1) 2:(5+4) (1) (5+4)×2 (1) 5+4=9:2=4,5 (1) (5×4):2 (1) 9:2= (1, 2) 4. R. 1 (1) 5×6:2 (1) 5+4=9:2=4,5 (2) 5+4=9:2=4 R2 (1) 5:4=1×1 (1) 5+4=9 9:2=4,5 (1) 9:2=4,5 (2) 3 (1) 5+4=9:2 (1) Analizziamo le frasi in chiave early algebra Modena - 15 ottobre 2014 33

Una riflessione di carattere generale A2: tradurre ‘Dividi per due la somma fra 5 e il numero precedente’ (V) (Classe ArAl, non ArAl) (4+5):2 (13, 3) (5+4):2=4,5 (1) 2:(5+4) (1) (5+4)×2 (1) 5+4=9:2=4,5 (1) (5×4):2 (1) 9:2= (1, 2) 4. R. 1 (1) 5×6:2 (1) 5+4=9:2=4,5 (2) 5+4=9:2=4 R2 (1) 5:4=1×1 (1) 5+4=9 9:2=4,5 (1) 9:2=4,5 (2) 3 (1) 5+4=9:2 (1) Una riflessione di carattere generale Modena - 15 ottobre 2014 34

a livello linguistico: A2: tradurre ‘Dividi per due la somma fra 5 e il numero precedente’ (V) Attraverso attività come questa vengono promosse negli alunni competenze relative all’interpretazione delle scritture in linguaggio matematico nei loro aspetti semantici e sintattici, alla ricerca della loro maggiore o minore aderenza alla frase iniziale: a livello linguistico: al significato della frase ‘Dividi per due… ‘ che induce in molti ad effettuare calcoli; a livello metalinguistico: al significato della consegna ‘Traduci’ che conduce alla categoria del rappresentare contrapposta a quella del risolvere. Modena - 15 ottobre 2014 35

Si cancellano delle frasi A2: tradurre ‘Dividi per due la somma fra 5 e il numero precedente’ (V) (Classe ArAl, non ArAl) (4+5):2 (13, 3) (5+4):2=4,5 (1) 2:(5+4) (1) (5+4)×2 (1) 5+4=9:2=4,5 (1) (5×4):2 (1) 9:2= (1, 2) 4. R. 1 (1) 5×6:2 (1) 5+4=9:2=4,5 (2) 5+4=9:2=4 R2 (1) 5:4=1×1 (1) 5+4=9 9:2=4,5 (1) 9:2=4,5 (2) 3 (1) 5+4=9:2 (1) Si cancellano delle frasi Modena - 15 ottobre 2014 36

A2: tradurre ‘Dividi per due la somma fra 5 e il numero precedente’ (V) (Classe ArAl, non ArAl) (4+5):2 (13, 3) (5+4):2=4,5 (1) 9:2= (1, 2) 5+4=9 9:2=4,5 (1) 9:2=4,5 (2) Molti alunni si rendono conto che la consegna chiede di tradurre, e non di effettuare operazioni e propongono di cancellare le scritture che contengono le operazioni e/o il risultato. Modena - 15 ottobre 2014 37

A2: tradurre ‘Dividi per due la somma fra 5 e il numero precedente’ (V) (Classe ArAl, non ArAl) (4+5):2 (13, 3) 9:2= (1, 2) Scritture come ‘9:2=‘ conducono alle categorie note come ‘sindrome da mancanza di risultato’ o ‘mancanza di chiusura’: gli alunni vedono 9:2 solo come operazione e quindi aggiungono l’uguale, come per preparare l’inevitabile conclusione di una storia che senza risultato non sta in piedi. Modena - 15 ottobre 2014 38

4+5 è più aderente a frase iniziale perché contiene gli stessi numeri. A2: tradurre ‘Dividi per due la somma fra 5 e il numero precedente’ (V) (Classe ArAl, non ArAl) (4+5):2 (13, 3) 9:2= (1, 2) Cosa si può dire di 4+5 e 9? 4+5 è più trasparente (rappresentazione non canonica di 9, mostra il processo) rispetto a 9 (rappresentazione del prodotto, opaco rispetto al processo che l’ha generato). 4+5 è più aderente a frase iniziale perché contiene gli stessi numeri. Approfondiremo fra poco questo aspetto. Modena - 15 ottobre 2014 39

A2: tradurre ‘Dividi per due la somma fra 5 e il numero precedente’ Possiamo guidare la classe verso una rappresentazione che esprima in modo più trasparente le relazioni fra i numeri in gioco (si pensi alla frase iniziale)? (4+5):2 . Collochiamo ora questi episodi in un contesto generale facendo riferimento a dei costrutti teorici accompagnati da un esempio relativo ad una prima secondaria. Modena - 15 ottobre 2014 40

COMPORTAMENTO CONSUETO Tradizionalmente, nella scuola primaria italiana, gli studenti si abituano a vedere i numeri come termini di un'operazione o come risultati. Questo porta, tra l'altro, a vedere la soluzione di un problema come ricerca di operazioni da effettuare. Il punto di vista prevalente è quindi di natura procedurale: i numeri sono entità che devono essere manipolate. Gli studenti non sono guidati verso la riflessione, attraverso l'analisi della rappresentazione del numero, sulla sua struttura. Gli insegnanti raramente spiegano che... September 21–26, 2014, Herceg Novi, Montenegro, Workshop Malara-Navarra (Italy)

UNA PROSPETTIVA PRE-ALGEBRICA ... ogni numero può essere rappresentato in diversi modi, attraverso una qualsiasi espressione equivalente ad esso: uno (ad esempio 12) è il suo nome, la cosiddetta forma canonica, tutti gli altri modi di nominarlo (3×4, (2+2)×3, 36/3, 10+2, 3×2×2, ...) sono forme non canoniche, e ognuna di loro riceverà un senso in relazione al contesto e al processo sottostante. La forma canonica, che rappresenta un prodotto, è opaca in termini di significati. La forma non canonica rappresenta un processo ed è trasparente in termini di significati. September 21–26, 2014, Herceg Novi, Montenegro, Workshop Malara-Navarra (Italy)

UNA PROSPETTIVA PRE-ALGEBRICA Saper riconoscere e interpretare queste forme crea negli alunni la base semantica per accettare e comprendere, negli anni successivi, scritture algebriche come a-4p, ab, x2y, k / 3. Il complesso processo che accompagna la costruzione di queste competenze dovrebbe essere sviluppato nel corso dei primi anni di scuola. Il concetto di forma canonica / non-canonica comporta per gli alunni (e per i docenti) implicazioni essenziali per riflettere sui possibili significati attribuiti al segno di uguaglianza. Vediamo un esempio di queste competenze: September 21–26, 2014, Herceg Novi, Montenegro, Workshop Malara-Navarra (Italy)

Esempio (11 anni) - UNA PROSPETTIVA PRE-ALGEBRICA Gli alunni hanno il compito di rappresentare in linguaggio matematico la frase: "Raddoppia la somma fra 5 e il numero successivo.“ Quando le proposte vengono visualizzate alla lavagna Diana indica la frase di Filippo e giustifica la sua scrittura: "Filippo ha scritto 2×(5+6) ed è giusto. Ma io ho scritto 2×(5+5+1) perché in questo modo è evidente che il numero successivo a 5 è una unità più grande. La mia frase è più trasparente". Cosa possiamo dire della frase di Diana? September 21–26, 2014, Herceg Novi, Montenegro, Workshop Malara-Navarra (Italy)

Esempio (11 anni) - UNA PROSPETTIVA PRE-ALGEBRICA Gli alunni hanno il compito di rappresentare in linguaggio matematico la frase: "Raddoppia la somma fra 5 e il numero successivo.“ Quando le proposte vengono visualizzate alla lavagna Diana indica la frase di Filippo e giustifica la sua scrittura: "Filippo ha scritto 2×(5+6) ed è giusto. Ma io ho scritto 2×(5+5+1) perché in questo modo è evidente che il numero successivo a 5 è una unità più grande. La mia frase è più trasparente". Diana esalta gli aspetti relazionali del numero resi ​​evidenti dalla sua forma non-canonica. September 21–26, 2014, Herceg Novi, Montenegro, Workshop Malara-Navarra (Italy)

attivare queste competenze? A. LINGUAGGIO - Quinta A1. Traduci in linguaggio naturale: 4×100+2×10+6 15×2-32:2 Somma fra il prodotto di 4 e 100, il prodotto di 2 e 10 e 6; Somma fra il quadruplo di 100, il doppio di 10 e 6 Curricolo di matematica Differenza fra il doppio di 15 e la metà di 32 Perché è importante attivare queste competenze? 46 Passa a: Primaria 1 2 3 4 5 Secondaria 1° 1 2 3 Secondaria 2° 1

Verso l’oggettivazione Cosa è un oggetto matematico (a+b)2 quadrato di un binomio a3–b3 differenza di due cubi (3–b3)(5a+4b) prodotto di due binomi La capacità di nominare gli oggetti dipende dal fatto che lo studente non sia stato abituato solo ad operare sugli oggetti: This paper contributes to the research strand concerning early algebra and focuses on the distributive law. It reports on a study involving pupils aged 8 to 10, engaging in the solution of problem situations, purposefully designed and presented through concrete objects, drawings, oral or written descriptions. The study focuses on ways in which perception leads to different mental images that influence the choice of either the (a+b)×c or the (a×c+b×c) representation. Our hypothesis is that understanding these dynamics is a fundamental step for the construction of a meaningful approach to properties based on suitable activities, organised so as to favour an explicit statement of proposed solutions and a collective comparison of arithmetic expressions that codify solution processes. 3+5 (3+5)2=82=64 (3+5)2 quadrato di una somma Modena - 17 settembre 2014 47

Curricolo di matematica A. LINGUAGGIO A4. Esprimere in linguaggio naturale il confronto tra numeri scritti in forma canonica e non canonica, cogliendo le equivalenze senza calcoli scritti e argomentando le scelte (attività sulla struttura delle rappresentazioni) Riferimenti Unità 3 Unità 4 Unità 11 GREM INVALSI Curricolo di matematica Passa a: Copertina Obiettivi Prim: 1 2 3 4 5 Sec 1°: 1 2 3

Curricolo di matematica Quinta primaria Esprimi in linguaggio naturale il confronto fra i seguenti numeri: 39 39+5 39-16 ⅝ ⅝×3 2d d+4 (con d punteggio di un dado variabile fra 1 e 6) (4+n)×5 5+(4×n) 4×5+5×n 3×0,5 0,5×2+0,5 0,5×3 0,5×1+0,5×2 Curricolo di matematica 49 Passa a: Copertina Obiettivi Prim: 1 2 3 4 5 Sec 1°: 1 2 3

Curricolo di matematica A. LINGUAGGIO A5. Ricavare scritture equivalenti ad una data esplicitando, dov’è possibile, le proprietà applicate (attività sulla struttura delle rappresentazioni additive, moltiplicative, esponenziali) Curricolo di matematica Passa a: Copertina Obiettivi Prim: 1 2 3 4 5 Sec 1°: 1 2 3

Curricolo di matematica A. LINGUAGGIO A5. Ricavare scritture equivalenti ad una data esplicitando, dov’è possibile, le proprietà applicate (attività sulla struttura delle rappresentazioni additive, moltiplicative, esponenziali) Curricolo di matematica Passa a: Copertina Obiettivi Prim: 1 2 3 4 5 Sec 1°: 1 2 3

Curricolo di matematica A. LINGUAGGIO A6. Completare frasi scritte in linguaggio matematico in cui un punto di domanda sostituisce un segno Riferimenti Elaborazioni da Prove INVALSI Curricolo di matematica Passa a: Copertina Obiettivi Prim: 1 2 3 4 5 Sec 1°: 1 2 3

Prima secondaria primo grado Completa le seguenti frasi inserendo un segno al posto del ‘?’: 0:d=d ? d 153=157 ? 154 73 ? 70×74 (5+6)×3=5 ? 3 ? 6 ? 3 5a>6a ? 3a (aN) Curricolo di matematica 53 Passa a: Copertina Obiettivi Prim: 1 2 3 4 5 Sec 1°: 1 2 3

Piano del corso Modena - 15 ottobre2014 54

Date Incontro Malara Navarra Giorno Data M 0 mar 17.09 M 1 mer 15.10 M 2 11.11 M 3 09.12 M 4 20.01 M 5 25.02 M 6 17.03 M concl 29.04 Modena - 15 ottobre2014 55