Test per campioni appaiati Due campioni si definiscono appaiati o dipendenti se tra i casi di ciascun campione sussiste una relazione, ossia se è possibile “appaiare” una coppia di punteggi. Esempi: 1) I casi, appartenenti allo stesso campione, sono sottoposti due volte allo stesso test (pre e post test) per testare l’efficacia di una terapia. 2) Vi è una relazione stretta, in genere di parentela (marito-moglie, genitori-figli, fratelli), tra i casi, appartenenti ai due campioni.

Confronto tra medie: campioni appaiati Esempio: Verificare che in famiglie con due figli, il fratello maggiore è più introverso del minore. Soggetti Fratello Maggiore Fratello Minore 1 7 4 2 8 3 6 5

Calcolo della media delle differenze (µ D) della popolazione Poiché vi è una relazione diretta tra le coppie di punteggi di ciascun gruppo, non si fa riferimento alle caratteristiche (µ e σ) delle due popolazioni da cui sono stati estratti i campioni, ma piuttosto alla popolazione delle differenze. La popolazione delle differenze è una popolazione teorica, poiché per essere “realmente” calcolata sarebbe necessario estrarre infinite coppie di soggetti e calcolare la media delle differenze. Si assume che la popolazione delle differenze abbia sempre media µ=0, ossia che le medie delle due popolazioni appaiate siano uguali.

Calcolo della media delle differenze del campione (Ď) La media delle differenze del campione può essere calcolata abbastanza facilmente con due modalità: Soggetti Maggiore Minore 1 7 4 2 8 3 6 5 Differenze (D) 3 4 5 Media 7 4 Ď= 3 Calcolando la media di ciascun campione e facendo la differenza tra le due medie. Calcolando la differenza per ciascuna coppia di punteggi e successivamente la media.

Confronto tra medie: campioni appaiati La media delle differenze tra i punteggi dei campioni (Ď) deve essere confrontata con la media delle differenze delle popolazioni (µD = 0). Si assume che µD sia uguale a 0 poiché il test di ipotesi si basa sulla falsificazione di H0, ossia si vuole rifiutare le due medie siano uguali. Ipotesi: H0: non vi è differenza tra Ď e µD, ossia Ď = µD o Ď = 0 H1: Media dei figli maggiori > media figli minori, quindi? Ď > µD o Ď > 0

Stima della varianza della popolazione della differenza tra i punteggi (s2D) Essendo la varianza della popolazione incognita (poiché la popolazione in questo caso è puramente teorica) è necessario stimare la varianza della popolazione attraverso i punteggi delle differenze del campione. Bisogna pertanto dividere la devianza per N-1.

Calcolo di s2D D 3 4 5 Ď=3 D-Ď (D-Ď)2 1 -3 9 2 4 Ʃ(D-Ď)2= 14 5 Ď=3 D-Ď (D-Ď)2 1 -3 9 2 4 Ʃ(D-Ď)2= 14 Ʃ(D-Ď)2/(N-1)= s2D=14/4=3,5

Calcolo del valore calcolato Essendo la varianza della popolazione incognita, nel caso di campioni appaiati si utilizza sempre il test t di Student. Avendo Ď, µD (sempre = 0), s2D ed N è possibile procedere con il calcolo di tcal:

Distribuzione t

Calcolo del valore critico e GdL Il valore critico del test t dipende, oltre che dalle ipotesi, dai gradi di libertà. GdL=? Trattandosi del confronto tra campione e popolazione gdl = N-1 D 3 4 5 Ď=3 D-3 1 -3 ?

Disegno 1- α = 0,95 α = 0,05 2,132 Accetto H0 Rifiuto H0

Svolgimento t(N-1)=2,132 Conclusioni: Siccome tcal>tcri rifiuto H0: i fratelli maggiori sono più introversi dei fratelli minori

Esercizio 1 Verificare che il voto al primo modulo di psicometria sia diverso rispetto al voto del secondo modulo, sapendo che: Soggetti I modulo II Modulo 1 27 24 2 28 3 26 23 4 22 5 6 30 7 25 21 8 20 D 3 4 5 6 Ď=4

Esercizio 1 -2,365 +2,365 Rifiuto H0 Accetto H0 Rifiuto H0

Calcolo di s2D 3 4 5 6 Ď=4 D-4 (D-4)2 -1 1 2 4 Ʃ(D-Ď)2= 8 2 4 Ʃ(D-Ď)2= 8 Ʃ(D-Ď)2/(N-1)= 8/7=1,14

Esercizio 1 t(N-1)=2,365 Conclusioni: Siccome tcal>tcri rifiuto H0 il voto al primo modulo di psicometria è maggiore rispetto al voto del secondo modulo

Esercizio 2 Verificare che il livello di soddisfazione dopo un corso di formazione è significativamente maggiore rispetto a quello misurato prima del corso di formazione sapendo che: Soggetti Prima Dopo 1 5 6 2 4 3 7

Esercizio 2 1- α = 0,95 α = 0,05 -1,943 Rifiuto H0 Accetto H0

Calcolo di s2D -1 -2 D Ď=-1 D-(-1) D-(-1)2 1 -1 Ʃ(D-Ď)2= 2 -2 Ď=-1 D-(-1) D-(-1)2 1 -1 Ʃ(D-Ď)2= 2 Ʃ(D-Ď)2/(N-1)= 2/6=0,33

Svolgimento 2 t(N-1)=-1,943 Conclusioni: Siccome –tcal<-tcri rifiuto H0 ossia: il livello di soddisfazione dopo un corso di formazione è significativamente maggiore rispetto a quello prima, infatti il livello prima è minore di quello dopo (H1).