Esercizio 2 Un gruppo di persone con DCA ha partecipato per tre mesi ad una psicoterapia di gruppo per aumentare la propria autostima. Verificare che la psicoterapia sia stata efficace. Soggetti Prima Dopo 1 3 4 2 5

Calcolo di s2D D -1 -3 -2 Ď=-2 D-(-2) [D-(-2)]2 1 -1 Ʃ(D-Ď)2= 4 Ʃ(D-Ď)2= 4 Ʃ(D-Ď)2/(N-1)= 4/4=1

Svolgimento 2 t(N-1)=-2,132 Conclusioni: Siccome –tcal< -tcri rifiuto H0

Esercizio Verificare che il livello di stress sia diverso in tre campioni: persone che lavorano da meno di 10 anni, da 11 a 20 anni e da più di 20 anni. <10 11-20 >20 1 3 5 2 4 Ẍ1=2 Ẍ2=3 Ẍ3=4

Varianza Per verificare se vi è differenza significativa tra più di due campioni, non è sufficiente utilizzare le medie o la loro differenza, ma è necessario confrontare le varianze. A parità di medie, infatti, la differenza significativa tra i campioni dipende dalla GRANDEZZA della varianza di ciascun campione. Se le varianze dei singoli campioni sono piccole, differenze piccole di medie hanno maggiori probabilità di risultare significative rispetto a quando le varianze sono grandi.

Bassa varianza entro i gruppi Alta varianza entro i gruppi Disegni Bassa varianza entro i gruppi Ẍ=2 Ẍ=3 Ẍ=4 Alta varianza entro i gruppi Ẍ=2 Ẍ=3 Ẍ=4

ANalysis Of VAriance (ANOVA) Il test dell’ANOVA univariata ha l’obiettivo di testare eventuali differenze significative nel confronto tra due o più campioni (K), attraverso l’utilizzo della varianza. Se i campioni sono due è equivalente utilizzare il test per campioni indipendenti (t o z) oppure l’ANOVA.

Anova e test su campioni Perché non condurre più test per campioni indipendenti piuttosto che l’ANOVA? Potremmo infatti confrontare prima i gruppi <10 con 11-20; poi 11-20 con >20 ed infine <10 con >20. Non è corretto poiché aumenterebbe l’errore di I tipo: Infatti se per ciascun test α=0.05, la probabilità di rifiutare H0 quando invece è vera sarà 0.05 X 3, ossia 0.15. Dunque ci sarebbe una probabilità di errore pari al 15%.

Ipotesi ANOVA Le ipotesi nell’ANOVA sono sempre: H0: Le medie delle popolazioni da cui sono stati estratti i gruppi sono uguali, ossia non vi è differenza tra i gruppi. H0: μ1 = μ2 = μ3 H1: Vi è almeno una disuguaglianza tra le medie delle popolazioni da cui sono stati estratti i gruppi, ossia i campioni provengono da popolazioni differenti. H1: μ1 ≠ μ2 ≠ μ3

Logica generale dell’ANOVA Attraverso l’ANOVA ci si chiede se i campioni appartengono alla stessa popolazione (H0) oppure a popolazioni differenti (H1). Per rispondere a questa domanda bisogna considerare tre tipi di Devianza: Devianza Totale (SST): quanto ciascun soggetto dista dalla media generale. Devianza Tra i gruppi (SSB, between): quanto la media di ciascun gruppo dista dalla media generale. Devianza Entro i gruppi (SSW, within): quanto ciascun soggetto dista dalla media del proprio gruppo.

Calcolo delle Devianze Devianza totale: è la somma degli scarti quadratici di ciascun punteggio dalla media generale.

Calcolo delle Devianze Devianza Tra i gruppi (between): è la somma degli scarti quadratici della media di ciascun gruppo dalla media generale, moltiplicati per N.

Calcolo delle Devianze Devianza Entro i gruppi (Within): è la somma degli scarti quadratici di ciascun punteggio dalla media del proprio gruppo.

Formule delle devianze La Devianza Totale è uguale alla Devianza Tra i gruppi + la Devianza Entro i gruppi SST=SSB+SSW

Calcolo della media generale <10 11-20 >20 1 3 5 2 4 Ẍ1=2 Ẍ2=3 Ẍ3=4 ẌG=3 È necessario innanzitutto calcolare la media generale e la media di ciascun gruppo. Calcolo della media generale: Se i gruppi hanno N uguale, ẌG=ƩẌi/k Se i gruppi hanno N diverso, ẌG=ƩNiẌi/N Sia per N uguale che per N diverso: ẌG=ƩX/N

Calcolo devianza totale: SST X X-ẌG (X-ẌG)2 1 -2 4 2 -1 3 5 SST = Σ(X-ẌG)2 = 10

Calcolo devianza tra i gruppi: SSB Medie dei gruppi (Ẍi-ẌG) (Ẍi-ẌG)2 Ni (Ẍi-ẌG)2 2 -1 1 3 4 SSB= Σ Ni (Ẍi-ẌG)2 =6

Calcolo devianza entro i gruppi: SSW X X-Ẍi (X-Ẍi)2 1 -1 2 3 5 4 SSW= Σ(X-Ẍi)2 = 4

Interpretazione delle devianze SST=10 SSB=6 SSW=4 Per rifiutare H0, ossia per dimostrare che i campioni provengono da diverse popolazioni, vorremmo che SSB sia grande e che SSW sia piccolo. Quanto più sarà alta SSB tanto più sarà alta la probabilità che i campioni non provengano da popolazioni con la stessa media, ossia che provengano da popolazioni diverse.

Dalle Devianze alle Varianze: df A partire dalle SSB e SSW è possibile calcolare le Varianze dividendo per i rispettivi gradi di libertà, sempre intesi come scarti dalla media. Gradi di libertà relativi a SSB saranno uguali a: DfB=k-1, dove K è il numero di gruppi. Medie dei gruppi (Ẍ-3) 2 -1 3 4 ?

Gradi di libertà relativi a SSW X X-Ẍi Gruppo 1 1 -1 2 3 ? Gruppo 2 Gruppo 3 5 4 DfW=N-k, ossia il numero totale di soggetti meno il numero dei gruppi.

Calcolare le Varianze relative all’esempio

Valore calcolato: F di Fisher Il valore finale Fcal, si calcola dividendo la varianza tra i gruppi con la varianza entro i gruppi. Fcal deve essere confrontato con Fcri

Distribuzione F di Fisher La distribuzione di Fisher è una distribuzione asimmetrica positiva, ossia i valori critici sono sempre positivi. Perché? Perché i valori F sono una divisione tra due varianze (particolari), ossia tra due valori sempre positivi. In particolare Fcri sarà sempre maggiore di 1 poiché MSB è sempre > di MSW, tranne il caso in cui le k distribuzioni siano identiche (Fcal=1).

Forma della distribuzione F di Fisher 1 Esistono diverse distribuzioni F di Fisher, i cui parametri sono i DFB e DFW. Si rifiuta H0 soltanto se Fcalc > Fcri

Fcri Per trovare il valore critico è necessario cercare sulla tavola “k-1” sulle colonne e “N-k” sulle righe. Calcolare il valore F critico dell’esercizio precedente, con i seguenti gradi di liberta: Fcri(k-1; N-k) = Fcri (2; 6) = ? Riportare Fcalc e Fcri sul disegno e trarre le conclusioni.

Tavola della distribuzione F

Tavola della distribuzione F

Soluzione esempio Siccome Fcal < Fcri accetto H0: non c’è differenza significativa tra le medie dei campioni. Per interpretare i risultati (soprattutto nel caso di rifiuto di H0) è necessario costruire un grafico delle medie, riportando sull’asse orizzontale la numerazione dei gruppi e sull’asse verticale la media di ciascun gruppo. Fcal =4,48 Fcri =5,14

Costruire il Grafico delle medie Il grafico delle medie serve a rappresentare, graficamente le medie dei diversi gruppi. Per questo motivo, sull’asse delle X si riporta, semplicemente, la numerazione dei gruppi mentre l’asse delle Y viene scalato in funzione dei valori medi, a partire da 1 (anche se non è presente). Il grafico delle medie, dunque, ci informa di quanto distano “graficamente”, le medie dei gruppi.

Grafico delle medie

Commento al Grafico delle medie Se si accetta H0 il grafico delle medie non si deve interpretare. Al contrario, nel caso di rifiuto di H0 è necessario scrivere un commento specifico, ossia descrivere quale gruppo si discosta maggiormente (ossia ha una media significativamente maggiore o significativamente minore) dagli altri due gruppi.

Riepilogo Anova L’analisi della varianza è un test statistico utile a confrontare più di due gruppi. Utilizza la distribuzione F di Fisher Ipotesi: H0 (uguaglianza tra le medie) e H1 (disuguaglianza tra le medie) Fcri: dipende dai df: k-1 e N-k Fcalc: si calcola attraverso il rapporto tra varianza between (MSB) e varianza within (MSW) Conclusioni: se Fcalc > Fcri rifiuto H0

Esercizio 1 Verificare che il numero di reati commessi dipende dal titolo di studio. Licenza elementare Licenza media Diploma superiore 6 5 1 7 4 2 8 3 Ẍ=7 Ẍ=4 Ẍ=2 Ẍ=4,33

Disegno Fcri = 3,88 Accetto H0 Rifiuto H0

Soluzione 1 Conclusioni: Siccome Fcal>Fcri rifiuto H0: interpretare grafico medie

Grafico delle medie 1

Ossessivo-compulsivo Esercizio 2 Verificare che il tipo di disturbo di personalità influenza il livello di ansia. Ossessivo-compulsivo Borderline Narcisistico 6 7 5 8 9 10 Ẍ=8 Ẍ=6 Ẍ=7,40

Disegno Fcri = 4,74 Accetto H0 Rifiuto H0

Soluzione 2 Conclusioni: Siccome Fcal < Fcri accetto H0

Grafico delle medie 2

Esercizio 3 Verificare che la soddisfazione lavorativa dipenda dal settore organizzativo. Profit Pubblico Non profit 13 9 17 14 7 15 3 10 4 18 2 11 Ẍ=14 Ẍ=6 Ẍ=11

Disegno Fcri = 3,80 Accetto H0 Rifiuto H0

Soluzione 3 Conclusioni: Siccome Fcal>Fcri rifiuto H0: interpretare grafico medie.

Grafico delle medie 3