Test per campioni indipendenti La differenza significativa tra due campioni indipendenti può essere testata attraverso tre diverse modalità, in riferimento alla varianza o DS: Se la varianza o DS) della popolazione è nota: test Z. Se le varianze o DS delle popolazioni sono incognite e uguali: test t. Se le varianze o DS delle popolazioni sono incognite e diverse: test t.

Confronto tra due popolazioni: DS della differenza incognita Nella pratica quotidiana delle ricerche, il ricercatore non ha mai a disposizione tanti campioni estratti casualmente e con la stessa ampiezza: pertanto è IMPOSSIBILE calcolare l’errore standard della differenza in modo empirico. È necessario, quindi, stimare l’errore standard della differenza sulla base di una sola coppia di campioni. Per questo test si assume che le DS delle popolazioni siano uguali (ed incognite): ciò non significa, automaticamente, che i due campioni estratti abbiano esattamente la stessa DS.

Stima combinata della varianza La stima della deviazione standard delle differenze (SẌ1-Ẍ2) deve essere quindi calcolata a partire dalla DS dei due campioni, attraverso la seguente formula: La stima combinata è una combinazione delle varianze dei due campioni, che rappresenta la varianza (ossia il quadrato della deviazione standard, che si assume essere uguale) delle due popolazioni.

Calcolo della stima combinata Se i due campioni hanno la stessa numerosità il calcolo della stima combinata è molto semplice: è sufficiente calcolare la media tra le stime (s2) relative a ciascuna popolazione. Ad esempio, sapendo che i campioni estratti hanno la stessa numerosità e s21 = 1 e s22 = 2, per calcolare la stima combinata della varianza è necessario calcolare la semisomma tra le stime delle varianze dei due campioni.

Calcolo della stima combinata E se i due campioni hanno diversa numerosità? Se i due campioni sono numericamente differenti, è necessario “pesare” ciascuna s2 rispetto alla numerosità del proprio campione. Sapendo che: È possibile risalire alla devianza e dividere per N “corretto”.

Calcolo della devianza La devianza del primo campione è uguale a: La devianza del secondo campione è uguale a: Per il calcolo della stima della varianza combinata è necessario innanzitutto sommare le devianze dei due campioni e poi dividere per la numerosità derivante dalla somma di N-1 dei due campioni.

Calcolo della stima combinata Quindi La formula per calcolare la stima combinata con N diversi è la seguente: Calcolare la stima combinata di due popolazioni, sapendo che: N1=31; N2=51; s21 = 1; e s22 = 2.

Stima della DS della differenza: varianze incognite e uguali Avendo la stima combinata della varianza è possibile, a questo punto, calcolare la stima dell’errore standard della differenza. Sappiamo che la stima della DS della media è:

Stima della DS della differenza: varianze incognite e uguali In questo caso, però, vi sono due popolazioni con varianze incognite e uguali. Dunque:

Stima della DS della differenza: varianze incognite e uguali Se si sostituisce la stima combinata della varianza con la sua formula si ottiene: Calcolare la SẌ1-Ẍ2 nell’esempio precedente con s2comb= 1,63; N1= 31; N2=51

Il test t sulla differenza tra due medie campionarie Il punto tcalc si ottiene dividendo la differenza tra le medie dei due campioni per la stima della deviazione standard della differenza, ossia:

Distribuzione t di Student I valori ottenuti dalla formula precedente non si distribuiscono secondo una D.N., ma secondo la distribuzione t di Student. I punti della distribuzione si chiamano t. Esiste una distribuzione t diversa per ogni dimensione del campione: il valore critico, dunque, varia al variare di N. Sopra le 30 unità (N>30) le due distribuzioni si assomigliano, oltre le 120 sono pressoché identiche.

t critico: i gradi di libertà Esistono più distribuzioni t di student che variano in funzione dei gradi di libertà. I gradi di libertà indicano il numero di grandezze che possono variare liberamente. Le grandezze considerate sono gli scarti dalla media (X-Ẍ). Quanti sono i gradi di libertà relativi a 2 campioni, ossia quanti “scarti dalla media”, in totale, sono liberi di variare?

t critico: i gradi di libertà CAMPIONE 1 SOGGETTI X X-2 1 2 3 4 5 X-2 -1 1 ? CAMPIONE 2 SOGGETTI X X-4 1 2 3 4 5 6 X-4 -2 2 ? Quanti sono i gradi di libertà? DF=N1-1+N2-1 = N1+N2-2 In questo caso 5+6-2=9 tcri=? tcri=1,833 (monodirez); 2,262 (bidirez.)

Esercizio 1 Si ipotizza che l’uso della caffeina migliori la prestazione ad un test universitario di matematica. A tale scopo sono stati estratti casualmente dalla popolazione di studenti un gruppo sperimentale (N1=62; Ẍ1=30; s21=1) a cui è stata somministrata una dose di caffeina ed un gruppo di controllo (N2=60; Ẍ2=29,7; s22=1,5) a cui è stato somministrato un placebo. Verificare che il gruppo sperimentale abbia una media più alta rispetto al gruppo di controllo.

Esercizio 1 1- α = 0,95 α = 0,05 1,658 Accetto H0 Rifiuto H0

Scrivere il commento specifico Svolgimento 1 t(120)=1,658 Conclusioni: Siccome |tcal |< |tcri| Accetto H0 Scrivere il commento specifico

Esercizio 2 Verificare che i maschi (N=11; Ẍ1=9; s21=7,07) abbiano un punteggio diverso di comunicazione aggressiva rispetto alle femmine (N2=8; Ẍ2=6; s22=9,27).

Esercizio 2 -2,11 +2,11 Rifiuto H0 Accetto H0 Rifiuto H0

Scrivere il commento specifico Svolgimento 2 t(17)=±2,11 Conclusioni: Siccome tcal > tcri rifiuto H0. Scrivere il commento specifico

Esercizio 3 Verificare che i maschi (NM=38; ẌM=13,84; s2M=2,08) presentano un punteggio minore nella “comunicazione assertiva” rispetto alle femmine (NF=32; ẌF=14,19; s2F=2,07).

Esercizio 3 1- α = 0,95 α = 0,05 -1,671 Rifiuto H0 Accetto H0

Scrivere il commento specifico Svolgimento 3 t(68)=-1,671 Conclusioni: Siccome -tcal>-tcri accetto H0 Scrivere il commento specifico