Montanari Maria Giulia Paduano Tina Maiocchi Giulia Montanari Maria Giulia Donelli Laura

Le equazioni delle bisettrici dei quadranti del piano cartesiano L'equazione di una retta passante per l'origine Le equazioni delle bisettrici dei quadranti del piano cartesiano Nel 1° e 3° quadrante l’ascissa (x) e l’ordinata (y) di un punto hanno lo stesso segno, quindi: Y=X. y 1° Il punto (-1;-1) appartiene alla bisettrice del primo e del terzo quadrante. Il punto (2;1) non appartiene alla bisettrice. 1 -1 x 2 3° -1

Con considerazioni analoghe, si ricava che alla bisettrice del 2° e 4° quadrante è associata l’equazione Y=-X. Tutti i punti di questa bisettrice, e soltanto essi, hanno le coordinate che sono numeri opposti. y Il punto (-1;1) appartiene alla bisettrice del secondo e quarto quadrante. 2° 1 -1 x 4° Vedremo nelle slide successive che, data una qualsiasi retta del piano, le coordinate dei suoi punti, e soltanto esse, soddisfano un’equazione che chiamiamo equazione della retta.

L’equazione di una retta generica passante per l’origine Consideriamo i punti A (1;2) e B (3;6) e la retta passante per A e B. I due punti hanno ordinata uguale al doppio dell’ascissa quindi la relazione è y=2x. Ogni altra coppia di numeri che soddisfi l’equazione y = 2x corrisponde a un punto della retta AB. Fra i punti della retta è compresa anche l’origine O, in quanto la coppia (0;0) soddisfa l’equazione. Più in generale se l’ordinata è m volte l’ascissa, l’equazione è y=mx. Si può dimostrare che l’equazione di una retta passante per l’origine, purchè diversa dall’asse y, è del tipo: y=mx. y 6 B y = 2x 4 2 A 1 O -2 1 2 3 5 x -4

y Una retta passante per l’origine diversa dall’asse “y” ha equazione: y=mx la “m”consiste nel coefficiente angolare. Esprime, per una retta passante per l’origine, il rapporto tra ordinata e ascissa. x y = m x y y se m è positivo, anche se m è negativo, anche è negativo: x x è positivo: i punti della retta hanno coordinate entrambe positive o negative. Ciò significa che la retta appartiene al primo e terzo quadrante. i punti della retta hanno coordinate discordi. Ciò significa che la retta appartiene al secondo e quarto quadrante.

Le equazioni degli assi cartesiani A (-1;0) B (1;0) C (2;0) Consideriamo i punti A, B e C. Essi come tutti gli altri punti dell’asse “x” godono della stessa proprietà: la loro ordinata è 0. Perciò l’equazione si dirà y=0 l’equazione si dirà y=0 A B C Se consideriamo invece i punti D, E ed F, essi come tutti gli altri punti dell’asse “y” godono della stessa proprietà: la loro ascissa è 0. Perciò D (0;2) E (0;1) F (0;-1) D E l’equazione si dirà x=0 F

L’equazione di una retta parallela ad un asse L'equazione generale della retta L’equazione di una retta parallela ad un asse y y x= 3 (1;3) 3 (3;2) y= 2 2 2 (3;2) (-1;2) (0;2) (1;1) (3;0) -1 1 3 x 3 -1 (3;-1) I punti (3;-1), (3;0), (3;2), … appartengono ad una retta parallela all’asse y. Essi hanno l’ascissa uguale a 3, come tutti i punti della retta a cui appartengono. Questo ci fa capire che l’equazione è x=3. I punti (-1;2), (0;2), (3;2), … appartengono ad una retta parallela all’asse x e, come tutti gli altri punti di questa retta, godono della stessa proprietà: hanno l’ordinata uguale a 2, perciò l’equazione è y=2.

y y x x y=k x=h L’equazione di una retta parallela all’asse y è x=h. L’equazione di una retta parallela all’asse x è y=k. L’equazione di una retta parallela all’asse y è x=h. Le lettere h e k indicano un qualunque valore reale. Al variare di k, otteniamo tutte le rette parallele all’asse x. Per k=0 l’equazione è quella dell’asse x. Al variare di h, otteniamo tutte le rette parallele all’esse y. Per h=0 l’equazione è quella dell’asse y.

La forma esplicita y=mx+q L’aggettivo “esplicita’’ sottintende “rispetto alla variabile y” e significa che nell’equazione è messa in evidenza y in funzione di x. B 5 Consideriamo la retta r passante per l’origine e di equazione y=2x. Scegliamo su tale retta i due punti O (0;0) e A (1;2). Aumentando di 3 l’ordinata dei due punti, otteniamo i punti Q (0;3) e B (1;5). Il quadrilatero OABQ è un parallelogramma, perché hanno i lati opposti OQ e AB congruenti e paralleli; quindi, la retta s passante per B e Q risulta parallela alla retta r. Le coordinate dei punti Q e B soddisfano l’equazione Y=2x+3 3 Q 2 A 1 O 1 x s r

Ogni retta del piano, purchè non parallela all’asse y, è rappresentata da equazione del tipo y=mx+q y y=mx q Y=MX+Q x Il coefficiente q si chiama termine noto oppure ordinata all’origine, perché rappresenta l’ordinata del punto di intersezione della retta con l’asse y.

DUE CASI PARTICOLARI y y x x 1) m=0 2) q=0 y=mx y=q Se nell’equazione y=mx+q poniamo q=0, otteniamo y=mx, ossia l’equazione di una retta passante per l’origine. Se nell’equazione y=mx+q poniamo m=0, otteniamo y=q, ossia l’equazione di una retta parallela all’asse x.

L’equazione di una retta in forma implicita L’equazione esplicita y=mx+q può rappresentare tutte le rette del piano, tranne l’asse y e le rette parallele a esso. Infatti non esistono valori di m e di q che, sostituiti nell’equazione, ci forniscano equazioni del tipo x=0 oppure x=k. Un’equazione che rappresenti tutte le possibili rette del piano è della forma , dove a, b, c sono numeri reali (a e b non entrambi nulli). ax+by+c=0 In questo caso, si dice che l’equazione della retta è in forma implicita, nel senso che nessuna tra le variabili x e y è scritta esplicitamente in funzione dell’altra. CASI PARTICOLARI caso a=0 caso b=0 caso c=0 y y y y= c x= c =k - = h b a x O x O x O y= a x = mx b

Dalla forma implicita a quella esplicita E’ possibile trasformare un’equazione in forma implicita alla forma esplicita ricavando la y. a c y= x b b a c Osserviamo il coefficiente angolare è e il termine note è b b ESEMPIO Scriviamo in forma esplicita l’equazione 6x – 2y + 1=0. Ricaviamo y: -2y= -6x – 1 2y= 6x + 1 y= 3x + 1 2 1 Il coefficiente angolare è 3, il termine noto è . 2