Progetto lauree scientifiche Unità 3 numeri complessi e poligoni regolari A cura di Maurizio Dini e Paola Gario Dipartimento di Matematica “F. Enriques” Università degli Studi di Milano

numero immaginario i -1 non è un quadrato in R i2 = -1 Poiché non esiste alcun numero reale il cui quadrato sia -1, i matematici hanno inventato il attribuendogli la proprietà desiderata: i2 = -1 numero immaginario i

un nuovo insieme numerico L’insieme dei numeri reali viene ampliato con gli “oggetti” a + i b dove a e b sono numeri reali. a = a + i b si chiama numero complesso il numero a + i b è definito dalla coppia (a, b) di numeri reali. Denotiamo con il nuovo insieme. è un’estensione di

la struttura algebrica di Definito il nuovo insieme di numeri, dovremmo definire l’uguaglianza e le operazioni tra numeri complessi. Allora passiamo oltre... ...ma questo lo sapete!

rappresentazione sul piano Poiché il numero complesso  = a + i b è definito dalla coppia di numeri reali (a, b) può essere rappresentato sul piano: Come se a+ib fosse il punto di coordinate (a,b) !

coordinate polari (; ) Ne ho già sentito parlare? coordinate polari (; ) Nel piano cartesiano, un punto P può essere individuato dalla sua distanza  ( 0) dall’origine O e dalla rotazione antioraria  che il semiasse positivo delle ascisse deve compiere per sovrapporsi ad OP (angolo orientato). Figura

dalle coordinate polari alle coordinate cartesiane abbiamo il punto P di coordinate polari (, ) vogliamo le sue coordinate cartesiane Qui serve la trigonometria! x =  cos  y =  sen  (x, y) sono le coordinate cartesiane del punto P . Figura

dalle coordinate cartesiane alle coordinate polari Elevando al quadrato le precedenti relazioni e sommandole ricaviamo il raggio: Mettendole a rapporto ricaviamo invece l’angolo: Adesso, però, fate voi!

la “forma polare” di  = a + i b Il numero complesso  individua il punto P (a, b): se P ha coordinate polari (, ):  si chiama modulo di   si chiama argomento di  Attenzione!  è un numero positivo  è definito a meno di multipli di 2.

la forma trigonometrica di  = a + i b Se (, ) sono le coordinate polari del punto P (a, b) , con le formule di passaggio a =  cos  b =  sen  il numero complesso  = a + i b si scrive anche in questo modo: a + i b =  (cos  + i sen )

forma trigonometrica e prodotto Che gusti! forse è “comodo” Fare i conti con i numeri complessi in forma trigonometrica è “interessante”… Dati i numeri complessi  = a + i b =  (cos  + i sen ) ’ = a’ + i b’ = ’(cos ’ + i sen ’) con le formule della trigonometria si ottiene  ’ =  ’ (cos ( +’) + i sen (+’))

forma trigonometrica e potenze Applica la formula del prodotto per calcolare n Ottieni: 2 =   =   (cos ( +) + i sen (+)) = = 2 (cos 2 + i sen 2) 3 = 2  = 2  (cos (2 +) + i sen (2+)) = = 3 (cos 3 + i sen 3) interessante... e così via fino a n = n (cos n + i sen n)

potenze di un numero di modulo 1 E ora lavora con i numeri di modulo r = 1  = cos  + i sen  le potenze successive 2 = cos 2 + i sen 2 3 = cos 3 + i sen 3 …..… n = cos n + i sen n sono numeri di modulo 1 e argomento  , 2 , 3 , ... , n

Questi punti si trovano tutti e sono alla stessa distanza potenze di un numero di modulo 1 i punti del piano che rappresentano i numeri complessi  , 2 , 3 , … , n in coordinate polari sono: U1 (1, ) , U2 (1, 2) , U3 (1, 3) , … , Un (1, n) Questi punti si trovano tutti sulla circonferenza unitaria di centro O e sono alla stessa distanza l’uno dall’altro. Figura